I. Principaux concepts
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F.Cas où 1 bloc est dupliqué dans le diagrammeLes méthodes des paragraphes 1 à 5 ne marchent que lorsque aucun bloc n’est dupliqué dans le diagramme. En fait le bloc dupliqué, c’est le bloc gênant, on va donc utilisé le théorème des probabilités totales.  Rs = P(S/A) x Ra + P(S/A)x(1-RA) car A dupliqué est gênant. P(cas 1)  P(cas1) = RC + RbRd – RcRbRd P(cas 2)  P(cas 2) = 0 d’où finalement Rs = (Rc + RbRd – RcRbRd) x Ra  Rs = Ra x R α D α = 1- R β = Dc x D β = (1-Rc)(1-RbRd) R α = Rc + RbRd – RcRbRd G.ExercicesExercice 1  Ra = fiab A Rb = fiab B etc … E1, E2, E3, E4 ont la même fiabilité Re Rs ? On recense en macroéléments.  Rs = R α x Rf Calcul R α  D α = D α 1 x D α 2 (1 – R α) = (1 – R α 1)(1 – R α 2) R α = R α 1 + R α 2 – Rα1xRα2 Calcul de R α1  Calcul de R α11 D α11 = Db x Dc  α21Calcul R α21  Tous les éléments ont la même fiabilité Re On peut appliquer l’astuce (Re + Re)^4=Re^4+4Re^3De+6Re²De² Rs = R α x Rf avec R α =R α1 + R α 2 – R α1xR α2 avec R α1= Ra x R α11 avec R α11 = Rb+Rc-RbRc avec R α2 = Rd x R α21 R α21 = Re^4+4Re^3(1-Re)+6Re²(1-Re)² Exercice 2   Rs = Ra x R α R α = P( α/E)Re + R( α/  )(1-Re)cas 1 cas 2 Calcul R α  H et E gênants R α = P( α/E)Re + R( α/ )(1-Re)cas 1 cas 2 Calcul cas 1 On remplace E par un trait  H nous gêne P(cas 1) = P(cas 1/H)Rh + P(cas1/  )(1-Rh)cas 11 cas 12 Calcul P(cas 11) On remplace H par un trait  On se retrouve finalement avec  P(cas11) = R α1+RfRg – R α1 RfRg avec R α1 = Rb x [Rc + Rd - RcRd] Calcul P (cas12) H en panne on le remplace par un vide  P(cas 2) = RbRC + RfRgRi – RbRcRfRgRi  Calcul cas 2 (E HS)  >  V.Calcul de la fiabilité à partir de l’arbre des causes.Hypothèse 1 : Calculs valides uniquement pour les systèmes non réparables à fonctionnement permanent. Hypothèse 2 : Calculs valides uniquement quand aucun événement n’est dédoublé. A.Cas de la porte ET  Hypothèse 3 : On considère les événements comme indépendants  B.Cas de la porte OUPorte OU à 2 entrée    et  n’ont aucune raison à priori d’être incompatibles en vertu de l’hypothèse 3, on a :  Calcul directement sur l’arbre  C.Cas de la porte combinaison (r/n)Exemple :   Théorème de Poincaré  Quand  ce qui est le cas le plus fréquent, on a alors :  Astuce du jour !  On garde les termes du développement dont les exposants sont >= au chiffre au dessus de la barre de fraction sur la porte  Eléments ayant même fiabilité D  Exercice Soit un système de détection/extinction incendie d’une salle informatique dont le schéma de principe est ci-dessous :  Pour avoir une détection incendie, il faut la détection par au moins 2 détecteurs Extinction obtenue si au moins 1 rampe diffuse de la poudre Réservoir : Dr = 10-6 Vanne : V = 10-4 Pompe : P = 10-4 Vanne MV : Dmv = 10-2 Rampe de diffusion : Drampe = 10-6 Détecteur : Dd = 10-3 Central détection : Dcd = 10-5 Commande contrôle : Dcc = 10-5 Événement redouté= non détection d’un incendie   D.Cas des arbres des causes présentant des événements dédoublésexemple  La méthode présentée aux paragraphes 1 et 3 n’est plus directement applicable. Utilisation du théorème des probabilités totales :  Cas 1 : A ne tombe pas en panne  Cas 2 : A est en panne  On aura finalement  Reprenons l’exercice d’application Schéma 1 sur feuille  Cas 1 :  n’arrive pas je commande l’extinction  Cas 2 : Rα a lieu   VI.Calcul de la fiabilité des systèmes à éléments indépendants à fonctionnement séquentielA.Système dont les éléments principaux et secours ont le même taux de panne en fonctionnement et le taux de panne des éléments secours est nul quand ils sont à l’arrêt.1.Système à un élément principal et un élément secours. λ = taux de panne en fonctionnementde A1 et A2 λ’ = taux de panne à l’arrêt élément secours = 0 λ est constant 1ère étape – recensement des états de BF.  2ème étape – calcul probabilité d’occurrence de ces différents états  3ème étape  Calcul du MTTF :  2.Système à 2 éléments secours λ = constante = taux de panne A, B, C, D en fonctionnement λ’ = 0 = taux de panne à l’arrêt des éléments secours C et D 1ère étape – Recensement des états de bon fonctionnement  2ème étape – Calcul probabilité d’occurrence des états de BF 1 -  donc on a :  2 -   0 T  t1 t2 AB BC CD 3 –  0 T t1 t2  AB BC BD 4 –  3ème étape : calcul de RS  3.Généralisation (Loi de Poisson) Il y a M éléments principaux et N éléments secours  B.Cas où les éléments ont des taux de panne en fonctionnement différents et les éléments secours ont un taux de panne nul à l’arrêtPartons d’un exemple  Cas BF :  Calcul des proba :  Calcul de RS  On peut encore écrire rs sous la forme suivante :  C’est sous cette forme que l’on va procéder à la généralisation en 2 étapes :    C.Cas où les éléments en fonctionnement ont des taux de pannes différents et les taux de panne des éléments secours quand ils sont à l’arrêt sont non nuls. Calcul des probas 1-  2 –  D.Introduction de la fiabilité de l’organe de décision/commutation Cas BF :  Calcul des probabilités :   |
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