Cours sur les fonctions lineaires et affines I résolution de systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues








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SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES
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I) Résolution de systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues
Définition

Un système de deux équations à deux inconnues est de la forme :

(a et b non nuls en même temps, de même pour a’ et b’).
1) Résolution algébrique par substitution


Méthode A NOTER AU FUR ET A MESURE DE L’EXEMPLE

1) A l’aide d’une des équations exprimer l’une des inconnues (x par exemple) en fonction de l’autre ;

2) remplacer x dans l’autre équation par ce que l’on a trouvé précédemment ;

3) résoudre alors cette équation d’inconnue y ;

4) remplacer la valeur trouvée pour y dans l’expression obtenue pour x.
Exemple

Résoudre le système





2) Résolution algébrique par combinaison
Voir activité 3 II page 42 : au parc zoologique
Méthode

1) Multiplier les deux membres de chaque équation par des réels non nuls de telle sorte que les coefficients des deux inconnues soient identiques ou opposés ;

2) additionner ou soustraire membre à membre les deux nouvelles équations, il ne reste plus qu’une inconnue à calculer ;

3) calculer l’autre inconnue.
Exemple

Résoudre le système




3) Résolution graphique

Méthode

1) On considère deux droites (d) et (d’) d’équations respectives ax + by + c = 0 et a’x + b’y + c’ = 0 ;

2) on détermine les équations réduites des droites (d) et (d’) ;

3) on trace (d) et (d’) ;

4) les solutions se déterminent selon les cas suivants :

Droites sécantes

Droites parallèles

Droites confondues

Le système a un unique couple de solutions qui sont les coordonnées du point d’intersection des deux droites

Le système n’a aucun couple solution

Le système a une infinité de solutions (les coordonnées des points de la droite)


Exemple :


1ère étape

Soit (d) d’équation et (d’) d’équation
2ème étape



-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

yx

yx

(d) a pour équation réduite et (d’) :
3ème étape

On trace maintenant (d) et (d’)


(d) d’équation réduite passe par le point de coordonnées (0 ; -4). -4 est l’ordonnée à l’origine.

Le coefficient directeur de cette droite est 2.
(d’) d’équation réduite passe par le point de coordonnées (0 ; 2). 2 est l’ordonnée à l’origine.

Le coefficient directeur de cette droite est 1.
4ème étape

Les deux droites sont sécantes. Le couple de solutions de ce système est
Exemple


1ère étape

Soit (d) d’équation et (d’) d’équation
2ème étape



(d) a pour équation réduite et (d’) :
3ème étape

On trace maintenant (d) et (d’)
yx

yx

-2

-1

0

1

2

3

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8


(d) d’équation réduite passe par le point de coordonnées (0 ; 5). 5 est l’ordonnée à l’origine.

Le coefficient directeur de cette droite est -1.
(d’) d’équation réduite passe par le point de coordonnées (0 ; 3). 3 est l’ordonnée à l’origine.

Le coefficient directeur de cette droite est 1.

4ème étape

Les deux droites sont sécantes. Le couple de solutions de ce système est



II) Mise en équation d’un problème
Voir activité 3 page 42 : au parc zoologique
Méthode

1) Choisir des inconnues : Repérer dans l’énoncé les grandeurs à déterminer, les choisir comme inconnues et leur donner un nom, par exemple : x, y … ;

2) mettre en équation : traduire les informations de l’énoncé de façon mathématique par une ou plusieurs équations ;

3) résolution : résoudre l’équation ou le système d’équations à l’aide d’une des trois méthodes vues précédemment ;

4) vérification : vérifier la cohérence de la solution trouvée ;

5) conclusion : répondre par une phrase au problème posé.
Exemple
Fabien est 3 fois plus riche que Juliette. Fabien n’a que 36 € de plus que Juliette. Quelle somme d’argent possède Fabien et Juliette ?

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