Résolution de l’équation différentielle obtenue au tp n°6 par la méthode approximative et itérative d’Euler








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02/06/2005

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TP de physique n°7 (TS) : Chute d’une bille dans un fluide - Résolution de l’équation différentielle du mouvement par la méthode d’Euler.
Objectifs :

  • Résolution de l’équation différentielle obtenue au TP n°6 par la méthode approximative et itérative d’Euler.

  • Confrontation des résultats théoriques et expérimentaux.

  • Choix d’un modèle pour l’expression de la force de frottement.

  • Importance de la valeur du « pas ».



Matériel :

  • Un ordinateur et le logiciel Excel , le fichier Excel tstp7.xls .

I ) RAPPELS ET DONNEES



Vous avez établi lors du TP précédent l’équation différentielle de la chute d’une bille en acier de masse m et de diamètre d dans de l’eau. En supposant l’expression des frottements fluides de la forme ( k constante appelée coefficient de frottement ) vous avez obtenu l’équation différentielle suivante :

avec et

Vous avez, à l’aide d’un enregistrement vidéo de la chute de la bille, pu tracer la courbe expérimentale représentant les variations de la vitesse en fonction du temps.
Données : m = 60,7 . 10-3 kg

d = 2,45 . 10-2 m

eau = 1000 kg.m-3

Pour la bille en acier on prendra k = 0,18 S.I.

g = 9,81 N.kg-1

Volume d’une sphère

II ) PRINCIPE DE LA RESOLUTION



Dire que l’on cherche a résoudre l’équation différentielle c’est dire, ici, que l’on va chercher les valeurs de la vitesse de la bille à différentes dates ti.
L’équation différentielle du mouvement étant on peut écrire qu’on a pratiquement à condition de choisir t suffisamment petit ().
v représente la variation de la valeur v de la vitesse pendant la durée t

Si l’on connaît les valeurs de a et b et les conditions initiales, on peut trouver de proche en proche ( méthode itérative ) les différentes valeurs de v au cours du temps.


date ti


vi vitesse à la date ti




vi = ……………………..


t0 = 0 s

v0 = …..







t1 = t0 + t










t2 = t1 + t











.

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ti =










ti+1 =










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EN RESUME


Conditions initiales


i=0 ; vi = ? ; ti = ?

t = ?






vi = (-avi + b)t




i = i+1









ti = ti-1+t



vi = vi-1 + vi-1






vi = (-avi + b ).t





III ) RESOLUTION A L’AIDE DU TABLEUR EXCEL



III-1 ) Préparation du tableur


  1. Ouvrir le logiciel « Excel ».

  2. Préparer le tableur en inscrivant comme indiqué ci-après les données et les conditions initiales qui correspondent à la chute de la bille en acier .






3. Dans la case F8 programmer l’expression de la masse volumique ( pour entrer le nombre  taper : PI() )

4. Dans la case G8 programmer l’expression de la constante a = k / m de l’équation différentielle 

5. Dans la case H8 programmer l’expression de la constante  de l’équation différentielle

6. Dans la case F12 indiquer le « pas » t. on prendra t = 0,04 s ce qui correspond à la durée entre deux images successives du fichier vidéo.

7. Dans les cases A12 à C12 entrer respectivement les valeurs de t0, v0 et z0.
III-2) Programmation de la résolution



  1. Colonne A : temps ti


Chaque date est égale à la précédente augmentée du pas de calcul t.


  1. Dans la case A18 reporter la valeur de t0 soit 0.

2. programmer la cellule A19 ; =(A18+$F$12) ; le signe $ sert à « fixer » la valeur, ce sera toujours la valeur de la case F12 qui sera utilisée pour incrémenter t. En cliquant sur la poignée ( dans l’angle inférieur droit de la case ) et en tirant vers le bas recopier la formule sur toute la colonne jusqu'à la case A38 ( t = 0,8 s ).


  1. Colonne B : vi




  1. Dans la case B18, programmer l’expression de vi en utilisant les cases préparées au § III-1.

  2. Recopier le programme sur toute la colonne jusqu'à la case B38.




  1. Colonne C : vi




  1. Programmer la cellule C19 de façon à obtenir l’expression de vi en fonction de vi-1 et vi-1 

  2. Recopier le programme sur toute la colonne jusqu'à la case C38.


d) Colonne D : vexp, vitesse expérimentale


  1. Ouvrir le fichier Excel, tstp7.xls Copier les case C4 à C23 qui correspondent aux valeurs expérimentales de la vitesse, obtenues à partir du fichier vidéo de la chute.

  2. Revenir dans le fichier Excel de la méthode d’Euler et coller les cases en partant de la case C18. Attention pour coller les valeurs sans copier les formules, aller dans le menu « édition » sélectionner « collage spécial » puis « valeurs » puis « OK »



IV ) CONFRONTATION DES VALEURS EXPERIMENTALES ET THEORIQUES



IV-1) Courbes vthéo = f(t) et vexp = f(t)


  1. Afficher les graphes vthéo = f(t) et vexp = f(t).

  2. Le modèle théorique qui consiste à prendre comme expression de la force de frottement f = kv vous semble-t-il en accord avec les résultats expérimentaux obtenus ? Pourquoi ?

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IV-2 ) A la recherche d’un nouveau modèle


  1. On utilise maintenant comme expression de la force de frottement f = kv2. On montre qu’alors l’équation différentielle du mouvement s’écrit :

  2. Modifier la programmation de la case B19 de façon à obtenir les nouvelles valeur de v.

  3. Afficher les graphes vthéo = f(t) et vexp = f(t). Lequel des deux modèles proposés ( f =kv ou f = kv2) vous semble le mieux adapté à la description de la chute de la bille d’acier dans l’eau ? Pourquoi ?

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V ) IMPORTANCE DU « PAS » t


  1. Imprimer la courbe vthéo = f(t) obtenue à partir du modèle qui vous semble le mieux adapté.

  2. Déterminer graphiquement la valeur du temps caractéristique .

  3. Modifier le « pas » t en prenant pour celui-ci des valeurs inférieures puis plus grandes que . Quels sont les effets de ces changements sur la courbe vthéo = f(t) et donc sur la modélisation. Conclure.

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