Classe: TD - Année :2016-2017 - OG 1: - Chap. 1 Cinématique du point sur
Activités, questions
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Activités, réponses
Apprenants
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Trace écrite
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Observation
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Chapitre 1
Cinématique du point
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La cinématique est l'étude des mouvements relatifs au solide de référence choisi sans tenir compte des causes qui leur donnent naissance.
Rappels
Notion de système mécanique
Un système mécanique est un objet ou un ensemble d'objets sur lequel porte une étude. Il est ponctuel si ses dimensions sont suffisamment petites pour qu'on puisse l'assimiler à un point.
Référentiel
Un référentiel est un solide ou un ensemble de solides de référence par rapport auquel on décrit le mouvement d'un mobile.
Repères
L'étude du mouvement d'un corps nécessite un système de coordonnées ou repère:
- un repère d'espace ou système d'axe(s) est lié à un référentiel
- un repère de temps a une origine liée à un événement connu; l'unité de mesure du temps peut être: seconde, heure, mois, année, …
Trajectoire
La trajectoire d'un point mobile est l'ensemble des positions successives qu'il occupe au cours de déplacement dans un repère donné.
Position d'un point dans un repère
Coordonnées cartésiennes
Vecteur position
Dans un repère cartésien  , la position d'un mobile M est repéré par le vecteur position 
Les coordonnées x, y et z de M s'expriment en mètres (m).
équations horaires
Si un objet est en mouvement dans un repère R, les coordonnées sont des fonctions du temps; elles sont appelées équations horaires ou équations paramétriques du mouvement.
Exemple:
Les équations horaires du mouvement d'un point mobile M sont:
N.B. En dimension 3, si une ordonnée est constante, le mouvement est plan.
Application
Donner la position du mobile ci-dessus à chacun des instants: t0=0 et t1=4s.
équation de la trajectoire
Trouver l'équation de la trajectoire à partir des équations paramétriques revient à éliminer le paramètre t. En général, il faut:
exprimer le paramètre t en fonction d'une ordonnée
remplacer le paramètre t par son expression dans les autres équations paramétriques
Quelques formes d'équation dans le plan
- Droite: y = ax +b ou x = ay +b ou ax+by+c=0
- Parabole: y=ax2+bx+c ou x=ay2+by+c
- Cercle:  : cercle de centre Ω(a,b) et de rayon R
Exemple
On donne les équations horaires du mouvement d' un mobile: x(t) = 3t+9, y(t) = 2t + 2
(1) Déterminer l'équation de la trajectoire du mobile
(2) Donner la nature de la trajectoire
Résolution
(1) De x = 3t + 9, on déduit l'expression de t en fonction de x: [t = (x – 9)/3] que l'on porte dans l'équation y = 2t + 2; on obtient: 
(2) La trajectoire est une droite.
Application
On donne les équations horaires du mouvement d' un mobile: 
(1) Déterminer l'équation de la trajectoire du mobile
(2) Donner la nature de la trajectoire
Résolution
(1) De y = 2t + 1, on déduit l'expression de t en fonction de x: [t = (y – 1)/2] que l'on porte dans l'équation x = t2 + 4; on obtient:
(2) La trajectoire est une parabole ( forme de l'équation: x = ay2 + by +c.
coordonnées curvilignes
Si la trajectoire est curviligne, le mobile peut être repéré par son abscisse curviligne.
s = f(t) est l'équation horaire du mouvement.
Vecteur vitesse
Soit  un référentiel et M un point mobile qui passe d'une position Mi à une position Mf entre les instants ti et tf.
Définitions
La vitesse instantanée à l'instant t est: 
Vecteur vitesse instantanée
La vitesse instantanée à l'instant t est: 
Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée première du vecteur position par rapport au temps.
Ses caractéristiques sont:
- point d'application: point M où l'on veut définir la vitesse
- direction: la tangente à la trajectoire en ce point M
- sens: du point Mi vers le point Mf
- norme: la vitesse instantanée en m/s
Expression du vecteur vitesse
En coordonnées cartésiennes  
On pose 
il vient: 
La valeur de la vitesse est 
application
les équations horaires du mouvement d'un point M sont données par: x(t) = 2t2 + 5, y(t) = 3t+1, z(t) = 10
déterminer les coordonnées du vecteur vitesse
calculer la valeur de la vitesse instantanée à t = 3s
Résolution
Vx = 4t ; Vy = 3; Vz = 0
En coordonnées curvilignes
vitesse instantanée: 
La dérivée par rapport au temps de l'abscisse curviligne s= AM donne la valeur de la vitesse instantanée 
Si l'on désigne par  le vecteur unitaire, tangent à la trajectoire en M et orienté dans le sens du mouvement, il vient: 
Vecteur accélération
Vecteur accélération moyenne
Si la vitesse d'un mobile varie de  à  correspondant aux dates respectives ti et tf, on appelle vecteur accélération entre les dates ti et tf le vecteur: 
La norme am s'exprime en m.s-2.
Vecteur accélération instantanée
On appelle vecteur accélération instantanée d'un point mobile à la date t ( ) , le vecteur: 
On appelle vecteur accélération instantanée d'un point mobile à la date t, le vecteur dérivé par rapport au temps du vecteur vitesse.  
Expression du vecteur accélération
En coordonnées cartésiennes 
application
Les équations horaires du mouvement d'un point M sont données par: x(t) = 2t2 + 5, y(t) = 3t+1, z(t) = 10
- déterminer les coordonnées du vecteur accélération
- calculer la valeur de l'accélération
Résolution
 
a = 4 m/s2
En coordonnées curvilignes
Soient
-  le vecteur unitaire tangennt en M à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement;
-  le vecteur unitaire orthogonal à et orienté vers l'intérieur de la trajectoire.
La base  constitue la base de Frenet
Composantes du vecteur accélération
Dans la base de Frenet, le vecteur accélération peut se décomposer en deux vecteurs:
- l'accélération tangentielle: 
- l'accélération normale: 
On a donc: 
Les coordonnées d’une particule sont données par les fonctions du temps : x = 2t et y=4t (t-1).
- Exprimer la vitesse à l’instant t.
- Montrer que le mouvement a une accélération constante dont on déterminera les composantes tangentielle et normale.
Résolution
- expression de v
 => 
On a  => 
- De  , on déduit :  , donc  L'accélération est constante.
L'accélération tangentielle : 
Cherchons 
=> 
L'accélération normale: 
 =>  => 
On a :  ; il vient :
=> 
Types de mouvements
Un mouvement est dit accéléré si la norme v =  du vecteur vitesse  augmente, retardé si elle diminue, uniforme si elle est constante.
Le produit scalaire du vecteur accélération et du vecteur vitesse permet de distinguer les types de mouvements :
Étude de quelques mouvements
Mouvement rectiligne uniforme
définition
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniforme :
si la trajectoire est une droite et la vitesse est constante
ou si le vecteur vitesse est constant.
Accélération
Le vecteur accélération est nul
équation horaire
Conditions initiales: à t = t0,
 et 
application
Les équations paramétriques du mouvement suivantes donnent le vecteur position  :
x =t+2; y=4t+5; z = 7
Montrer que le mouvement est rectiligne uniforme.
Montrons que la trajectoire est rectiligne
x = t+2 ⇒ t = (x – 2)
y = 4(x – 2) + 5 ⇒ y = 4x – 3
La trajectoire est une droite
Montrons que la vitesse est constante
⇒  La vitesse est constante
Mouvement rectiligne uniformément varié
définition
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniformément varié si sa trajectoire est une droite et son vecteur accélération est constant.
Accélération 
équation horaire
Conditions initiales: 
À 
⇒  ⇒
 ⇒  => 
Il vient : 
soit 
En utilisant les coordonnées dans l'espace :
En utilisant les coordonnées sur la trajectoire:
 
Relation entre accélération, vitesse et position
 ⇒ 
⇒
⇒ 
⇒ 
De même, on a: 
et
Remarque : Si l'on fait l'étude sur l'axe du mouvement , on a :
application
Un point mobile M décrit un mouvement rectiligne uniformément varié d'accélération  . A l'instant t=0, le vecteur vitesse est  et le vecteur position est 
établir les coordonnées du vecteur vitesse
déterminer les coordonnées du vecteur position
déterminer la date et la position pour lesquelles la vitesse s'annule.
Entre quelles dates le mouvement est-il accéléré? Retardé?
Résolution
  on a 
 
détermination de la date t
v = 0 <==>  ==> 
v = 0 ==> t = 4 s
A ce moment, la position est: 
détermination des intervalles 
-
t
|
0
|
4
|
|
v
|
|
0
|
|
|
-
|
0
|
+
|
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décéléré
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accéléré
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Durée:2h
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Mouvement circulaire uniforme
définition
Un mobile est animé d'un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est un cercle et la norme de son vecteur vitesse est constante.
Accélération
Le vecteur accélération d'un mouvement circulaire uniforme est centripète ( dirigé vers le centre de la trajectoire).
équation
En coordonnée curviligne:
En coordonnée angulaire
La position du mobile peut être repérée par son abscisse angulaire 
La vitesse angulaire est définie par :
 Unité: rad/s
On a: 
on a donc:  et 
application
Les coordonnées d'un mobile M, animé dans le plan muni d'un repère (O,i,j), s'expriment par:
ω est une constante.
- montrer que le mouvement est circulaire uniforme;
- déterminer les coordonnées du vecteur accélération;
- quelle est l'expression de l'abscisse curviligne s si l'on prend comme origine des abscisses curvilignes le point E de coordonnées (-2,4)?
Résolution
Montrons que la trajectoire est un cercle
 =>  ==>
 , sachant que 
il vient 
Ceci est l'équation du cercle de cente O1(-5,4) et de rayon R=3m noté C(O1,3)
Le mouvement est donc circulaire.
Montrons que la vitesse est constante
 ==> 
==> v = 3ω est constante Au total, le mouvement est circulaire uniforme.
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Physique -Tle D – Chap.1: Cinématique du point sur
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