La cinématique est l'étude des mouvements relatifs au solide de référence choisi sans tenir compte des causes qui leur donnent naissance








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date de publication28.03.2017
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Classe: TD - Année :2016-2017 - OG 1: - Chap. 1 Cinématique du point sur

Activités, questions

Professeur

Activités, réponses

Apprenants

Trace écrite

Observation










Chapitre 1

Cinématique du point



La cinématique est l'étude des mouvements relatifs au solide de référence choisi sans tenir compte des causes qui leur donnent naissance.


  1. Rappels

    1. Notion de système mécanique

Un système mécanique est un objet ou un ensemble d'objets sur lequel porte une étude. Il est ponctuel si ses dimensions sont suffisamment petites pour qu'on puisse l'assimiler à un point.


    1. Référentiel

Un référentiel est un solide ou un ensemble de solides de référence par rapport auquel on décrit le mouvement d'un mobile.


    1. Repères

L'étude du mouvement d'un corps nécessite un système de coordonnées ou repère:

- un repère d'espace ou système d'axe(s) est lié à un référentiel

- un repère de temps a une origine liée à un événement connu; l'unité de mesure du temps peut être: seconde, heure, mois, année, …


    1. Trajectoire

La trajectoire d'un point mobile est l'ensemble des positions successives qu'il occupe au cours de déplacement dans un repère donné.


  1. Position d'un point dans un repère




    1. Coordonnées cartésiennes

      1. Vecteur position

Dans un repère cartésien , la position d'un mobile M est repéré par le vecteur position

Les coordonnées x, y et z de M s'expriment en mètres (m).


      1. équations horaires

Si un objet est en mouvement dans un repère R, les coordonnées sont des fonctions du temps; elles sont appelées équations horaires ou équations paramétriques du mouvement.

Exemple:

Les équations horaires du mouvement d'un point mobile M sont:



N.B. En dimension 3, si une ordonnée est constante, le mouvement est plan.

Application

Donner la position du mobile ci-dessus à chacun des instants: t0=0 et t1=4s.


      1. équation de la trajectoire

Trouver l'équation de la trajectoire à partir des équations paramétriques revient à éliminer le paramètre t. En général, il faut:

        • exprimer le paramètre t en fonction d'une ordonnée

        • remplacer le paramètre t par son expression dans les autres équations paramétriques


Quelques formes d'équation dans le plan

- Droite: y = ax +b ou x = ay +b ou ax+by+c=0

- Parabole: y=ax2+bx+c ou x=ay2+by+c

- Cercle: : cercle de centre Ω(a,b) et de rayon R

Exemple

On donne les équations horaires du mouvement d' un mobile: x(t) = 3t+9, y(t) = 2t + 2

(1) Déterminer l'équation de la trajectoire du mobile

(2) Donner la nature de la trajectoire

Résolution

(1) De x = 3t + 9, on déduit l'expression de t en fonction de x: [t = (x – 9)/3] que l'on porte dans l'équation y = 2t + 2; on obtient:

(2) La trajectoire est une droite.
Application

On donne les équations horaires du mouvement d' un mobile:

(1) Déterminer l'équation de la trajectoire du mobile

(2) Donner la nature de la trajectoire
Résolution

(1) De y = 2t + 1, on déduit l'expression de t en fonction de x: [t = (y – 1)/2] que l'on porte dans l'équation x = t2 + 4; on obtient:

(2) La trajectoire est une parabole ( forme de l'équation: x = ay2 + by +c.


    1. coordonnées curvilignes

Si la trajectoire est curviligne, le mobile peut être repéré par son abscisse curviligne.



s = f(t) est l'équation horaire du mouvement.



  1. Vecteur vitesse

Soit un référentiel et M un point mobile qui passe d'une position Mi à une position Mf entre les instants ti et tf.

    1. Définitions

        • Vitesse moyenne



        • Vitesse instantanée

La vitesse instantanée à l'instant t est:

        • Vecteur vitesse instantanée

La vitesse instantanée à l'instant t est:

Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée première du vecteur position par rapport au temps.

Ses caractéristiques sont:

- point d'application: point M où l'on veut définir la vitesse

- direction: la tangente à la trajectoire en ce point M

- sens: du point Mi vers le point Mf

- norme: la vitesse instantanée en m/s


    1. Expression du vecteur vitesse

      1. En coordonnées cartésiennes


On pose

il vient:

La valeur de la vitesse est
application

les équations horaires du mouvement d'un point M sont données par: x(t) = 2t2 + 5, y(t) = 3t+1, z(t) = 10

        • déterminer les coordonnées du vecteur vitesse

        • calculer la valeur de la vitesse instantanée à t = 3s


Résolution

Vx = 4t ; Vy = 3; Vz = 0





      1. En coordonnées curvilignes

vitesse instantanée:

La dérivée par rapport au temps de l'abscisse curviligne s= AM donne la valeur de la vitesse instantanée

Si l'on désigne par le vecteur unitaire, tangent à la trajectoire en M et orienté dans le sens du mouvement, il vient:

  1. Vecteur accélération

    1. Vecteur accélération moyenne

Si la vitesse d'un mobile varie de à correspondant aux dates respectives ti et tf, on appelle vecteur accélération entre les dates ti et tf le vecteur:

La norme am s'exprime en m.s-2.


    1. Vecteur accélération instantanée

On appelle vecteur accélération instantanée d'un point mobile à la date t () , le vecteur:
On appelle vecteur accélération instantanée d'un point mobile à la date t, le vecteur dérivé par rapport au temps du vecteur vitesse.



    1. Expression du vecteur accélération

      1. En coordonnées cartésiennes

application

Les équations horaires du mouvement d'un point M sont données par: x(t) = 2t2 + 5, y(t) = 3t+1, z(t) = 10

- déterminer les coordonnées du vecteur accélération

- calculer la valeur de l'accélération

Résolution




a = 4 m/s2


      1. En coordonnées curvilignes

        • base de Frenet

Soient

- le vecteur unitaire tangennt en M à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement;

- le vecteur unitaire orthogonal à et orienté vers l'intérieur de la trajectoire.

La base constitue la base de Frenet

        • Composantes du vecteur accélération

Dans la base de Frenet, le vecteur accélération peut se décomposer en deux vecteurs:

- l'accélération tangentielle:

- l'accélération normale:

On a donc:

        • Application

Les coordonnées d’une particule sont données par les fonctions du temps : x = 2t et y=4t (t-1).

- Exprimer la vitesse à l’instant t.

- Montrer que le mouvement a une accélération constante dont on déterminera les composantes tangentielle et normale.

Résolution

- expression de v

=>

On a =>

- De , on déduit : , donc L'accélération est constante.

L'accélération tangentielle :

Cherchons

=>



L'accélération normale:

=> =>

On a :  ; il vient :



=>

    1. Types de mouvements

Un mouvement est dit accéléré si la norme v = du vecteur vitesse augmente, retardé si elle diminue, uniforme si elle est constante.

Le produit scalaire du vecteur accélération et du vecteur vitesse permet de distinguer les types de mouvements :








  1. Étude de quelques mouvements

    1. Mouvement rectiligne uniforme

      1. définition

Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniforme :

        • si la trajectoire est une droite et la vitesse est constante

        • ou si le vecteur vitesse est constant.

      1. Accélération

Le vecteur accélération est nul



      1. équation horaire

Conditions initiales: à t = t0,

et





      1. application

Les équations paramétriques du mouvement suivantes donnent le vecteur position :

x =t+2; y=4t+5; z = 7

Montrer que le mouvement est rectiligne uniforme.

Montrons que la trajectoire est rectiligne

x = t+2 ⇒ t = (x – 2)

y = 4(x – 2) + 5 ⇒ y = 4x – 3

La trajectoire est une droite

Montrons que la vitesse est constante



La vitesse est constante

    1. Mouvement rectiligne uniformément varié

      1. définition

Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniformément varié si sa trajectoire est une droite et son vecteur accélération est constant.

      1. Accélération

      2. équation horaire

Conditions initiales:

À



=> 

Il vient :







soit

En utilisant les coordonnées dans l'espace  :




En utilisant les coordonnées sur la trajectoire:



      1. Relation entre accélération, vitesse et position









De même, on a:

et



Remarque : Si l'on fait l'étude sur l'axe du mouvement , on a :

      1. application

Un point mobile M décrit un mouvement rectiligne uniformément varié d'accélération . A l'instant t=0, le vecteur vitesse est et le vecteur position est

        1. établir les coordonnées du vecteur vitesse

        2. déterminer les coordonnées du vecteur position

        3. déterminer la date et la position pour lesquelles la vitesse s'annule.

        4. Entre quelles dates le mouvement est-il accéléré? Retardé?

Résolution

  • vecteur vitesse



on a

  • vecteur position





  • détermination de la date t

v = 0 <==> ==>

v = 0 ==> t = 4 s

A ce moment, la position est:

  • détermination des intervalles



t

0

4



v




0








-


0


+




décéléré




accéléré




Durée:2h







    1. Mouvement circulaire uniforme

      1. définition

Un mobile est animé d'un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est un cercle et la norme de son vecteur vitesse est constante.

      1. Accélération







Le vecteur accélération d'un mouvement circulaire uniforme est centripète ( dirigé vers le centre de la trajectoire).

      1. équation

En coordonnée curviligne:



En coordonnée angulaire

La position du mobile peut être repérée par son abscisse angulaire



La vitesse angulaire est définie par :

Unité: rad/s

On a:

on a donc: et



      1. application

Les coordonnées d'un mobile M, animé dans le plan muni d'un repère (O,i,j), s'expriment par:



ω est une constante.

- montrer que le mouvement est circulaire uniforme;

- déterminer les coordonnées du vecteur accélération;

- quelle est l'expression de l'abscisse curviligne s si l'on prend comme origine des abscisses curvilignes le point E de coordonnées (-2,4)?

Résolution

  • Montrons que la trajectoire est un cercle

=> ==>

, sachant que

il vient

Ceci est l'équation du cercle de cente O1(-5,4) et de rayon R=3m noté C(O1,3)

Le mouvement est donc circulaire.

  • Montrons que la vitesse est constante

==>

==> v = 3ω est constante Au total, le mouvement est circulaire uniforme.



Physique -Tle D – Chap.1: Cinématique du point sur

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