On note : =0








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date de publication02.04.2018
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Comportement asymptotique

I. Limites infinies en +õ et en -õ

1. Fonction carré


O

i



j



Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes dans l’intervalle , le nombre devient de plus en grand et finit par dépasser n’importe quel réel.

On dit que tend vers +õ lorsque x tend vers +õ.

On note =+õ.
La représentation graphique de la fonction carré dans un repère orthogonal étant symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, on a aussi : =+õ

O

i



j



2. Fonction cube
=+õ
=

3. Fonction racine carrée


O

i



j


=+õ


II. Limites de la fonction inverse

1. Limites en l’infini


Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes dans l’intervalle , le nombre devient de plus en plus proche de 0 et finit par être aussi proche de 0 que l’on veut.

On dit alors que tend vers 0 quand x tend vers +õ.

On note : =0.


Par symétrie par rapport à l’origine du repère, on a aussi =0.

O

i



j



Graphiquement, la représentation graphique C de la fonction inverse devient très proche de l’axe des abscisses
dés que x est suffisamment grand : on dit que la droite d’équation y=0 est asymptote horizontale à la courbe C en +õ.
De même, la droite d’équation y=0 est asymptote horizontale à la courbe C en –õ.

2. Limites en 0


La fonction inverse n’est pas définie en 0 mais on peut donner à x des valeurs non nulles aussi proches de 0 que l’on veut.

On s’aperçoit alors que l’on n’obtient pas la même limite selon que x se trouve à droite ou à gauche de 0.

Lorsque x est à droite de 0, c’est-à-dire lorsque x est positif, et de plus en proche de 0, le nombre devient de plus en plus grand et finit par dépasser n’importe quel réel.

On dit alors que la fonction inverse a pour limite +õ à droite en 0.


On note =+õ ou encore =+õ.
Par symétrie, =-õ ou encore =-õ.

O

i



j



Graphiquement, la représentation graphique C de la fonction inverse devient très proche de l’axe des ordonnées dés que x est suffisamment proche de 0 : on dit que la droite d’équation x=0 est asymptote verticale à la courbe C.

III. Opérations sur les limites

a désigne un nombre réel ou +õ ou –õ ; L et L’ désignent deux nombres réels.


On admet les théorèmes suivants.

1. Limite d’une somme


Si f(x)=

L

L

L

+õ

õ

+õ

et g(x)=

L’

+õ

õ

+õ

õ

õ

Alors [f(x)+g(x)]=

L+L’

+õ

õ

+õ

õ

F.I


Exemple

  : =0 et =+õ donc par somme  =+õ

2. Limite d’un produit


Si f(x)=

L

L > 0

L > 0

L < 0

L < 0

+ 

+ 

-õ

0

et g(x)=

L’

+ 

– 

+ 

– 

– 

+ 

-õ

+  ou -õ

Alors f(x)×g(x)=

LL’

+ 

– 

– 

+

− 

+ 

+õ

F.I.



Exemples

  1. (x+1)(x−2) : (x+1)=1 et (x−2)=-2 donc par produit (x+1)(x−2)=-2.




  1.  : (-3)=-3 et =+õ donc par produit =-õ.


3. Inverse


Si g(x)=

Lý0

L=0 avec g(x)>0

L=0 avec g(x)<0

+  ou -õ

Alors =




+ 

– 

0



Exemple

Soit f la fonction définie sur -{2} par f(x)=.

=0 et pour xý2, >0 donc f(x)=+õ.

4. Quotient


Pour obtenir la limite du quotient , on écrit =f(x)× et on utilise les règles précédentes (inverse et produit).

5. Fonctions polynômes

Exemple

En factorisant −+1 par pour x non nul, on obtient .

On s’aperçoit que lorsque x tend vers l’infini, tend vers 1 donc en l’infini le polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré.

Propriété

En l’infini :

  • la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré ;

  • la limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.




Exemples

  1. ==-õ

  2. =  = =0



IV. Asymptotes à une courbe


a et b sont des réels et C est la courbe représentative d’une fonction f.

1. Asymptote verticale

Si f(x)=+õ ou –õ alors la droite d’équation x=a est asymptote verticale à la courbe C.




2. Asymptote horizontale

Si f(x)=b alors la droite d’équation y=b est asymptote horizontale à la courbe C en +õ.


On obtient une définition analogue en remplaçant +õ par –õ.

3. Asymptote oblique

La droite d’équation y=ax+b avec aý0 est asymptote oblique à la courbe C en +õ lorsque [f(x)−(ax+b)]=0.





Soient d la droite d’équation y=ax+b, M le point de la courbe C d’abscisse x

et P le point de d d’abscisse x.

Le fait que la droite d est asymptote oblique à C en +õ se traduit graphiquement par le fait que la distance MP tend vers 0 lorsque x tend vers +õ.

660f2f6e



Exemple

Soient f la fonction définie sur −{-1} par f(x)=2x−1+ et C sa courbe représentative dans un repère.

Pour tout xý0, f(x)−(2x−1)= or =0 et =0 donc la droite d d’équation y=2x−1 est asymptote oblique à C en +õ et en –õ.

V. Limite d’un quotient

a désigne un nombre réel ou +õ ou –õ ; L et L’ désignent deux nombres réels.


On admet les théorèmes suivants.

  • Cas où la limite du dénominateur n’est pas nulle


Si f(x)=

L

L

+ 

+ 

-õ

-õ

+  ou -õ

et g(x)=

L′ý0

+  ou -õ

L′>0

L′<0

L′>0

L′<0

+  ou -õ

Alors =




0

+ 

-

+

+õ

F.I.



  • Cas où la limite du dénominateur est nulle


Si f(x)=

L>0 ou +õ

L>0 ou +õ

L<0 ou -õ

L<0 ou -õ

0

et g(x)=

0 avec g(x)>0

0 avec g(x)<0

0 avec g(x)>0

0 avec g(x)<0

0

Alors =

+õ

-õ

+ 

-

F.I.

Exemple

Calculer  .

(2x+3)=5 et (1−x)=0 donc on doit étudier le signe de 1−x :
x

-

1

+

x

0
Ainsi (1−x)=0 et pour x>1, 1−x<0 donc =-õ

et (1−x)=0 et pour x<1, 1−x>0 donc =+õ.

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