Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes








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titreNote de l’éditeur Science et perception dans Descartes
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h, multipliée par un nombre, ne signifie pas l'énergie. Mais elle ne signifie pas non plus une notion autre que la notion d'énergie. Elle joue le même rôle dans les calculs que la formule signifiant l'énergie, et celle-ci est regardée comme un cas limite de celle-là pour les phénomènes à l'échelle desquels la quantité 6,55 X 10-27, rapportée à l'unité de mesure de l'énergie, peut être négligée. Si le rapport était inverse, si la formule quantique était une limite de la formule classique, la signification serait conservée ; mais il n'en est pas ainsi. Or il n'existe pas dans la pensée humaine de notion par rapport à laquelle la notion du travail de soulever un poids puisse être considérée comme une limite valable à une certaine échelle. La formule de Planck, faite d'une constante dont on n'imagine pas la provenance et d'un nombre qui correspond à une probabilité, n'a aucun rapport avec aucune pensée. Comment est-ce qu'on la justifie ? On en fonde la légitimité sur la quantité des calculs, des expériences issues de ces calculs, des applications techniques procédant de ces expériences, qui ont réussi grâce à cette formule. Planck lui-même n'allègue rien d'autre. Pareille chose une fois admise, la physique devient un ensemble de signes et de nombres combinés en des formules qui sont contrôlées par les applications. Dès lors quelle importance peuvent bien avoir les spéculations d'Einstein sur l'espace et le temps ? Les lettres des formules qu'il traduit par ces mots n'ont pas plus de rapport avec l'espace et le temps que les lettres hv avec l'énergie. L'algèbre pure est devenue le langage de la physique, un langage qui a ceci de particulier qu'il ne signifie rien. Cette particularité le rend difficile à traduire.
Ce bouleversement de la physique est l'effet de deux changements, l'introduction du discontinu et le perfectionnement des instruments de mesure qui a modifié l'échelle des observations. La chimie est née le jour où la balance a fait apparaître des rapports numériques simples et fixes entre substances distinctes qui se combinent ; un retour du discontinu et du nombre au premier plan de la science de la nature était déjà impliqué dans cette pesée. D'autre part les appareils nous donnaient accès à l'observation de phénomènes très petits par rapport à l'échelle de nos sens, tels que le mouvement brownien. Discontinu, nombre, petitesse, c'est assez pour faire surgir l'atome, et l'atome est revenu parmi nous avec son cortège inséparable, à savoir le hasard et la probabilité. L'apparition du hasard dans la science a fait scandale ; on s'est demandé d'où il venait ; on n'a pas réfléchi que l'atome l'avait amené ; on ne s'est pas souvenu que déjà dans l'antiquité le hasard accompagnait l'atome, et l'on n'a pas songé qu'il n'en peut être autrement.
On se trompe souvent sur le hasard. Le hasard n'est pas le contraire de la nécessité ; il n'est pas incompatible avec elle ; au contraire, il n'apparaît jamais, sinon en même temps qu'elle. Si l'on suppose un certain nombre de causes distinctes produisant des effets selon une nécessité rigoureuse ; si un ensemble d'une certaine structure apparaît dans les effets ; si on ne peut pas grouper les causes en un ensemble de même structure, il y a hasard. Un dé, par sa forme, n'a que six manières de tomber ; il y a une variété illimitée dans la manière de le jeter. Si je jette un dé mille fois, les chutes du dé se répartissent en six classes qui ont entre elles des rapports numériques ; les jets ne peuvent pas se répartir ainsi. Au reste, je n'imagine pas le moindre défaut dans le tissu de nécessités mécanique qui détermine à chaque fois le mouvement du dé. Si je jette le dé une fois, j'ignore quel sera le résultat, non pas à cause d'une indétermination dans le phénomène, mais parce que c'est un problème dont j'ignore en partie les données. Ce n'est pas cette ignorance qui me donne le sentiment du hasard, mais uniquement l'image, qui accompagne mon mouvement, de pareils mouvements possibles en quantité indéterminée et dont les effets se répartissent en six classes. Il en est de même si l'on considère l'ensemble des positions possibles d'un disque tournant et des impulsions qui peuvent lui être imprimées, d'une part, d'autre part un petit nombre de couleurs sur lesquelles une aiguille peut s'arrêter. Dans de tels jeux, l'ensemble des causes a la puissance du continu, c'est-à-dire que les causes sont comme les points d'une ligne ; l'ensemble des effets se définit par un petit chiffre de possibilités distinctes. Dans l'antiquité, l'image des atomes a aussitôt évoqué dans les esprits les jeux de hasard, et ce n'était pas vainement, malgré les différences. Si je conçois sous le nom d'univers un ensemble d'atomes en mouvement, chaque mouvement étant strictement déterminé, et si je me demande comment se dérouleront les phénomènes à une échelle supérieure aux yeux d'observateurs à qui l'atome est invisible, je ne puis concevoir absolument aucun motif pour que leur déroulement présente aucune apparence de constance, de régularité, de coordination, ou même pour qu'il soit possible de recommencer deux fois une expérience. Il est clair que si l'on ne peut pas recommencer deux fois une expérience, il n'y a pas de physique. La conception des atomes fait aussitôt apparaître le succès de la physique à l'échelle humaine comme un hasard.
Le lien des deux physiques, la physique des atomes et celle des phénomènes que nous percevons, ne peut être établi que par la probabilité. La probabilité est inséparable du hasard, et par elle le hasard est une notion expérimentalement contrôlable. Quand, dans les jeux de hasard, je considère l'ensemble continu des causes et le petit nombre de catégories entre lesquelles se répartissent les effets, j'affirme que, bien que chaque effet découle rigoureusement d'une cause, il n'y a absolument rien dans l'ensemble des causes qui corresponde à ces catégories ; affirmer le hasard, c'est cela. Dès lors ces catégories ont toutes un rapport identique à l'ensemble des causes qui leur est pareillement indifférent. C'est ce que j'exprime en disant qu'elles sont également probables. La notion de probabilité implique toujours une répartition entre Probabilités égales. Si je considère à présent un dé dont cinq faces portent le chiffre un et la sixième le chiffre deux, il y a toujours six probabilités égales, mais cinq d'entre elles coïncident ; c'est ainsi seulement qu'on peut concevoir les probabilités inégales. Quant au rapport de la probabilité à l'expérience, il est analogue au rapport de la nécessité à l'expérience ; l'expérience présente une image de nécessité quand, en faisant varier une cause, on obtient des effets qui varient comme une fonction ; elle présente une image de la probabilité quand la répartition des effets entre catégories se rapproche de plus en plus des proportions indiquées par le calcul à mesure que les effets s'accumulent. Si l'expérience refuse une telle image, on procède comme lorsqu'elle refuse une image de la nécessité ; on suppose qu'on a omis des facteurs dans le calcul.
La tâche de la physique classique transportée parmi les atomes était difficile. Elle devait concevoir des particules très petites et non divisibles, mues par des mouvements soumis aux nécessités de la mécanique classique ; ces mouvements devaient être tels qu'ils fussent unis par des nécessités aux phénomènes observables à l'échelle du microscope, et par des probabilités rigoureusement reconstruites aux phénomènes observables à l'échelle humaine et dont les variations régulières avaient fait jusque-là le seul objet de la physique. La physique classique regarde une pierre soulevée comme un seul point décrivant une trajectoire verticale rectiligne ; elle regarde, en somme, toute la pierre comme un seul atome, et c'est ainsi qu'elle calcule l'énergie. Si au lieu de cela on imagine les combinaisons compliquées des mouvements que décrivent les particules de la pierre et de l'air, il faut, grâce aux notions de hasard, de probabilité, de moyenne, d'approximation, retrouver la formule précédemment calculée. Il fallait ou établir un tel lien, ou renoncer complètement à l'une des deux physiques ; c'est du moins ce qui devait sembler évident ; mais l'événement fut autre. On ne put établir ce lien qu'en supposant les atomes soumis à des nécessités différentes de celles de la physique classique.
Comme la science tout entière se réduisait à l'étude de l'énergie, ce fut dans cette étude, transportée par l'intermédiaire des hypothèses à l'échelle moléculaire, qu'une si étrange transformation apparut d'abord. Planck a raconté comment cela s'est produit. Il cherchait l'expression d'une relation entre l'énergie et la température. À cette fin, il considéra un cas où le régime des échanges d'énergie entre des corps dépend seulement de la température et non de la nature des corps ; tel était, d'après Kirchhoff, le cas du rayonnement noir, c'est-à-dire le cas d'une enceinte close où la température est uniforme. Dès lors il suffisait apparemment de reconstruire mathématiquement un cas particulier de rayonnement noir favorable à une telle reconstruction pour avoir la fonction liant l'énergie à la température. Planck choisit à cette fin les oscillateurs de Hertz ; une première tentative échoua ; puis, cherchant la relation, non plus entre l'énergie et la température, mais entre l'énergie et l'entropie, il trouva que la dérivée seconde de l'entropie par rapport à l'énergie est proportionnelle à l'énergie. Mais, si dans le cas des petites longueurs d'ondes cette relation se trouva vérifiée par l'expérience, il apparut bientôt que pour les grandes cette dérivée seconde était proportionnelle au carré de l'énergie. Planck trouva facilement une formule enveloppant les deux relations ; mais cela ne le satisfit pas ; cette formule, il voulut la reconstruire. À cette fin, il adopta le point de vue de Boltzmann, à savoir que l'entropie, rapportée aux atomes, est la mesure d'une probabilité ; et il retrouva, pour cette probabilité, la formule même qu'il cherchait à retrouver, mais à condition de tenir compte de deux constantes, dont l'une avait rapport à la masse de l'atome, et dont l'autre, 6,55 X 10-27, n'était autre que cette constante h devenue si célèbre par la suite, et correspondait à une énergie multipliée par un temps. Une telle constante n'avait aucun sens par rapport à la mécanique classique, mais « c'est seulement grâce à elle qu'on pouvait connaître les domaines ou intervalles indispensables pour le calcul des probabilités » ; car « le calcul de la probabilité d'un état physique repose sur le dénombrement du nombre fini de cas particuliers également probables par lesquels l'état considéré est réalisé ».
Il apparaît clairement dans ces lignes de Planck que ce qui introduit ici la discontinuité, ce n'est nullement l'expérience -bien que des mesures expérimentales aient dû nécessairement intervenir dans la détermination du chiffre 6,55 x 10-27 - mais uniquement l'usage de la notion de probabilité. Il y a une transition naturelle entre la notion d'entropie et celle de probabilité, par cette considération que, si un système, supposé isolé de l'extérieur, peut passer de l'état A à l'état B, mais non pas inversement, par quelque chaîne d'intermédiaires que ce soit, l'état B est plus probable que l'état A par rapport à ce système. Or, au moment même où s'élaboraient ces conceptions apparaissait aussi le hasard lié à l'atome. L'observation du mouvement brownien montrait qu'un fluide qui est homogène et en repos à l'échelle de nos yeux n'est ni homogène ni en repos à l'échelle du microscope ; chose, certes, très peu surprenante. Or un fluide en équilibre est parfaitement défini, à notre échelle, par les conditions de l'équilibre, au lieu que nous n'avons aucun moyen, en fait, de définir l'état de mouvement de ce même fluide à l'échelle microscopique. D'une manière générale, un système défini à notre échelle ne l'est pas à l'échelle moléculaire ; on peut seulement supposer le système d'atomes qui, à notre échelle, nous apparaîtrait comme un système donné. Mais si l'on établit cette espèce de correspondance, à un état bien défini d'un système à notre échelle correspond plus d'une combinaison d'atomes ; par suite, si l'on transporte la nécessité parmi les atomes, chacune de ces combinaisons possibles est susceptible d'entraîner, à un moment ultérieur, un état différent du système. Ainsi, la nécessité une fois transportée parmi les atomes, la relation entre deux états d'un système définis à notre échelle ne constitue plus une nécessité, mais une probabilité ; cela non pas par suite d'une lacune dans la causalité, mais seulement par un effet inévitable de l'oscillation de la pensée entre deux échelles, et par un processus analogue à celui du jeu de dés. Un mouvement naturel de la pensée amena à rapprocher les deux probabilités surgies simultanément dans les esprits, celle qui est liée à l'entropie et celle qui est liée aux atomes et à les regarder comme une seule et même probabilité. Cette assimilation fut l'œuvre de Boltzmann.
On part de l'idée que parmi les atomes, pour lesquels on admet seulement les nécessités mécaniques, il n'y a que des nécessités, non des différences de probabilités, et que par suite toute combinaison d'atomes est également probable. On considère un système, un état de ce système défini à notre échelle, et la quantité de combinaisons d'atomes susceptibles de lui correspondre ; la probabilité de cet état est une fonction de cette quantité, et l'on pose que l'entropie est une mesure de cette probabilité. Mais comme le calcul des probabilités est un calcul numérique, on admet, et c'est ici le moment de la rupture avec la science classique, que ces combinaisons d'atomes sont, comme on dit, discrètes, et que leur quantité est un nombre ; ainsi l'entropie est la fonction d'un nombre, elle qu'on a définie, quand on l'a inventée, comme une fonction de l'énergie, qui augmente quand celle-ci prend au moins partiellement la forme de la chaleur. La contradiction est la même que si l'on admettait, par exemple, qu'une quantité se définit comme une fonction de la distance parcourue par un coureur, et que cette même quantité est fonction du nombre de ses pas. C'est cette contradiction qui apparaît dans l'idée de quanta ou d'atomes d'énergie, et c'est elle qui a ôté à la science, à partir de 1900, la signification qu'elle avait eue au cours de quatre siècles, sans qu'on ait pu lui en donner aucune autre. La rupture entre la science du XXe siècle d'une part, la science classique et le sens commun de l'autre, était totale dès avant les paradoxes d'Einstein ; une vitesse infinie et mesurable, un temps assimilé à une quatrième dimension de l'espace, ne sont pas choses plus difficiles à concevoir qu'un atome d'énergie ; tout cela est également impossible à concevoir, quoique très facile à formuler, soit dans le langage algébrique, soit dans le langage commun.
La science devait-elle inévitablement prendre une telle direction - si toutefois on peut parler de direction alors qu'elle a au contraire cessé d'être dirigée ? Cela ne semble nullement évident. La cause de la rupture de continuité étant le caractère numérique du calcul des probabilités, il est difficile de comprendre, à première vue, pourquoi l'on n'a pas choisi de travailler sur le calcul des probabilités plutôt que de bouleverser la physique. On peut concevoir des probabilités qui ne soient ni des nombres entiers ni des fractions. Si l'on suppose, par exemple, qu'on fasse tourner un disque porteur d'une aiguille, et que l'aiguille tourne sur une circonférence immobile dont un arc soit tracé en rouge, la probabilité pour que l'aiguille s'arrête sur du rouge sera mesurée par le rapport de l'arc à la circonférence, rapport qui peut fort bien n'être pas une fraction ; on peut donc facilement concevoir un calcul des probabilités dont la base soit non pas le nombre, mais le nombre généralisé. Pour appliquer un tel calcul à la théorie de Boltzmann, il aurait fallu concevoir un ensemble continu de combinaisons d'atomes correspondant à un système défini à notre échelle, et trouver le moyen de faire correspondre à un tel ensemble, comparé à d'autres ensembles de même espèce, une grandeur analogue à une distance. À première vue, cela ne semble pas impossible. A-t-on essayé d'élaborer une telle théorie, et a-t-on échoué ? En ce cas, quelle est la cause de l'échec ? Ou n'a-t-on même pas songé à essayer, malgré l'extrême simplicité d'une telle idée ? Il est certain, en tout cas, que c'est là le point crucial dans tout examen critique de la théorie des quanta ; il est certain aussi que Planck a pu faire tout un livre, récemment traduit, sur les rapports de la science contemporaine et de la philosophie, sans y faire même une lointaine allusion.
Quoique le bien fût absent de la science classique, aussi longtemps que l'intelligence à l'œuvre dans la science fut une forme seulement mieux aiguisée de celle qui élabore les notions de sens commun, il y eut du moins quelque liaison entre la pensée scientifique et le reste de la pensée humaine, y compris la pensée du bien. Mais même cette liaison si indirecte fut rompue après 1900. Des gens qui se disaient philosophes, fatigués de la raison, sans doute parce qu'elle est trop exigeante, triomphèrent à l'idée d'un désaccord entre la raison et la science ; bien entendu, c'est à la raison qu'ils donnaient tort. Ce qui leur procurait une joie particulière, c'était de penser qu'un simple changement d'échelle apporte dans les lois de la nature une transformation radicale, tandis que la raison exige qu'un changement d'échelle change les grandeurs, non les rapports entre grandeurs ; ou encore ils étaient heureux de penser que les nécessités regardées longtemps comme évidentes deviennent, quand des instruments meilleurs permettent de pénétrer plus avant, grâce aux atomes, dans la structure des phénomènes, de simples à peu près. Leur joie n'était pas seulement impie, étant dirigée contre la raison, elle témoignait aussi d'une incompréhension singulièrement opaque. L'étude des atomes correspond dans la science, non seulement à un changement d'échelle, mais aussi à tout autre chose. Si l'on imagine un petit homme, semblable à nous, de la dimension d'une particule atomique, vivant parmi les atomes, ce petit homme, par hypothèse, sentirait de la chaleur, de la lumière, des sons, en même temps qu'il verrait et accomplirait des mouvements ; mais, dans le monde d'atomes conçu par les physiciens, il n'y a que des mouvements. En passant de notre monde à celui des atomes, on transforme, entre autres, la chaleur en mouvement ; et pour notre sensibilité il y a une différence non de grandeur, mais de nature entre mouvement et chaleur. Il y a aussi une différence de nature entre chaleur et mouvement par rapport aux conditions de notre travail. Non seulement nous ne pouvons jamais espérer, quand nous faisons effort, obtenir par aucun procédé un résultat plus grand que ne comporte notre effort - le principe de la conservation de l'énergie nous interdit cet espoir - mais encore nous ne pouvons pas espérer recueillir tout le résultat que notre effort comporte. Nous perdons de la peine quand nous faisons effort dans le monde, et cette peine perdue, origine de la notion d'entropie, se mesure par un échauffement ; il y a pour nous différence de nature entre cette peine perdue et la peine utile, par exemple, pour un ouvrier, entre l'échauffement de son outil et la fabrication des pièces usinées. C'est parce qu'il n'y a que du mouvement, non de la chaleur, dans le monde purement théorique des atomes, que par rapport à ce monde seul l'entropie n'a aucun sens ; et c'est pourquoi, pour lui donner un sens par rapport à ce monde et au nôtre considérés ensemble, il a fallu faire intervenir cette probabilité qui a détruit la physique classique. La cause n'en est pas dans un changement de dimensions, mais dans la tentative pour définit l'entropie, notion essentiellement étrangère au mouvement, par le mouvement seul.
Au reste un changement d'échelle doit nécessairement produire un bouleversement dans la physique en raison du rôle joué par la notion de négligeable. Quand on énonce des considérations générales sur la physique, on passe rapidement sur cette notion, comme par une sorte de refoulement ou de pudeur. Les physiciens non seulement négligent ce qui est négligeable, comme ils doivent faire par définition, mais ils sont enclins aussi à négliger, tout en en faisant usage, la notion même de négligeable, qui est très exactement l'essentiel de la physique. Le négligeable, ce n'est pas autre chose que ce qu'il faut négliger pour construire la physique ; ce n'est nullement ce qui est de peu d'importance, car ce qui est négligé est toujours une erreur infinie. Ce n'est négligé est toujours aussi grand que le monde, exactement aussi grand, car un physicien néglige toute la différence entre une chose qui se produit sous ses yeux et un système parfaitement clos, parfaitement défini qu'il conçoit dans son esprit et représente sur le papier par des images et des signes ; et cette différence, c'est le monde même, le monde qui se presse autour de chaque morceau de matière, s'infiltre à l'intérieur, met une variété infinie entre deux points si rapprochés soient-ils ; le monde qui empêche absolument qu'il y ait aucun système clos. On néglige le monde, parce qu'il le faut, et, ne pouvant appliquer la mathématique aux choses à un prix moindre, on l'applique au prix d'une erreur infinie.
La mathématique même implique déjà une erreur infinie pour autant qu'elle a besoin d'objets ou d'images. Si je vois deux étoiles, je pense entre elles une droite, la plus pure possible, puisqu'elle n'est pas tracée ; mais il s'en faut que ces étoiles soient des points, elles qui sont plus grandes que notre terre. Si j'écrase de la craie sur un tableau noir, j'obtiens - puisque ici il ne peut être question de l'échelle des grandeurs - quelque chose qui diffère d'une droite autant qu'un océan tout entier, quelque chose qui diffère infiniment d'une droite. Et, cependant, quelque chose qui n'est pas sans rapport avec la droite ; le rapport consiste en ceci, que cette craie sur le tableau noir me permet d'imaginer la droite ; c'est en ce sens seulement que les figures sont les images des notions géométriques, non pas qu'elles leur ressemblent, mais pour autant qu'elles nous permettent de les imaginer. C'est cela seulement qu'on veut dire quand on dit d'un peu de craie écrasée que c'est à peu près une droite. Or, en un sens, une observation, une expérience sont exactement pour un physicien ce qu'est une figure pour un géomètre. Platon, qui savait que la droite du géomètre n'est pas celle qui est tracée, savait aussi que les astres qui décrivent des mouvements circulaires et uniformes ne sont pas ceux que nous voyons la nuit ; et Archimède, qui avait lu Platon, savait certainement, sans avoir eu besoin d'observer le mouvement brownien, qu'il n'y a pas dans la nature de fluide homogène ni de fluide en repos ; il savait aussi que le fléau d'une balance est de la matière et non pas une droite. À notre époque aussi, l'entropie a été calculée d'après la relation entre l'énergie, le volume et la température dans les gaz parfaits, ainsi nommés parce qu'ils n'existent pas. Le géomètre, toutes les fois qu'il examine un problème, conçoit un système parfaitement défini par quelques éléments - positions, distances, angles - qu'il s'est lui-même donnés ; il trace une figure propre à lui faire imaginer ces éléments ; si elle le porte aussi, en même temps, à imaginer autre chose que ce qu'il s'est donné lui-même, ou il en fait abstraction, ou il change la figure ; mais en aucun cas il ne se donne licence d'imaginer autre chose que ce qu'il s'est donné lui-même et qui est exprimable en un petit nombre de phrases. De même un physicien, quand il étudie un phénomène, conçoit un système parfaitement défini, parfaitement clos, où il ne laisse entrer que ce qu'il s'est lui-même donné et qui est exprimable en un petit nombre de phrases. Souvent il représente son système, à la manière du mathématicien, par des figures, par des formules ; mais il le représente aussi par des objets, et c'est ce qu'on appelle faire une expérience. Son système contient ou ne contient pas un facteur de changement ; dans le premier cas, le physicien, dans son esprit, conduit le système défini par lui d'un état initial à un état final par l'intermédiaire de la nécessité ; et il cherchera un dispositif expérimental dont l'état initial d'abord imite l'état initial du système clos comme un triangle à la craie imite le triangle théorique, puis dont la transformation ait avec celle du système clos le même rapport. S'il s'agit d'un état d'équilibre, au contraire, le dispositif expérimental doit rester immobile. Bien entendu, tantôt il y a réussite et tantôt non.
S'il n'y a pas réussite, le physicien peut modifier son dispositif expérimental pour mieux imiter le système théorique, comme un géomètre efface sa figure et la recommence avec plus de soin ; après quoi, de nouveau, il réussira ou non. Il peut aussi juger son système impossible à imiter avec des objets, et s'en donner un autre un peu différent à partir duquel il espère réussir une tentative du même genre ; et, bien entendu, il tiendra compte pour se le donner de son échec précédent. Mais l'ordre est toujours le même ; le dispositif expérimental est toujours une imitation d'un système purement théorique, et cela même au cas où, après un échec, le système a été refait d'après l'expérience. Il n'en peut être autrement ; on ne peut pas autrement penser la nécessité. Car la nécessité est essentiellement conditionnelle, et elle apparaît à l'esprit de l'homme seulement à la suite d'un petit nombre de conditions distinctes et parfaitement définies ; or c'est l'homme seul qui peut se donner à lui-même, dans son esprit, à titre d'hypothèse, un certain nombre de conditions parfaitement définies, car les conditions que le monde impose en fait à son action sont en quantité illimitée, non dénombrable, inexprimable, et c'est pourquoi il doit toujours s'attendre à être surpris. Au reste, se donner un système parfaitement clos, c'est-à-dire où l'on ne laisse rien entrer, de conditions parfaitement déterminées et en nombre fini, et chercher quelles nécessités, quelles impossibilités y apparaissent, c'est faire de la mathématique ; la méthode mathématique, à quelque objet qu'elle s'applique, n'est pas autre chose ; et par suite, dans toute la mesure où la notion de nécessité joue un rôle en physique, la physique est essentiellement l'application de la mathématique à la nature au prix d'une erreur infinie.
Mais quand on a compris que les lignes tracées par le géomètre, que les choses objets de l'observation ou de l'expérimentation du physicien, sont des imitations des notions mathématiques, on a compris bien peu de chose encore. Car on ignore en quoi consiste ce rapport que l'on peut nommer, faute de mieux, imitation. J'écrase à deux reprises de la craie sur un tableau noir ; j'obtiens deux fois quelque chose d'autre qu'une droite, autre et infiniment différent ; cependant il me semble avoir tracé la première fois à peu près une droite, la deuxième fois à peu près une ligne courbe. En quoi consiste la différence entre ces deux masses de craie ? Le géomètre peut laisser de côté une pareille question, lui qui s'intéresse à la droite ; le physicien ne le peut pas, car il s'intéresse non pas aux systèmes clos qu'il bâtit dans son esprit en s'aidant de signes et de figures, mais au rapport des choses avec ces systèmes. Ce rapport est d'une obscurité impénétrable. Si l'on examine l'exemple le plus simple, la droite, on trouve que ce qui porte l'homme à penser la droite, c'est le mouvement dirigé, c'est-à-dire le projet du mouvement ; les spectacles qui lui font penser la droite sont ou celui d'un point, c'est-à-dire d'un lieu, s'il pense à y aller, ou celui de deux points, s'il pense à un chemin menant de l'un à l'autre, ou celui de la trace d'un mouvement accompli en pensant la droite, trace de craie sur un tableau noir, d'un crayon sur du papier, d'un bâton sur le sable, ou toute autre trace. C'est parce que celui qui a écrasé de la craie sur un tableau noir pensait la droite en l'écrasant que celui qui regarde la craie écrasée est amené par ce spectacle à penser lui aussi la droite. Cette parenté entre le mouvement et la vue, fondement de la perception, est un mystère ; il suffit de contempler certains dessins de Rembrandt ou de Léonard, par exemple, pour sentir combien ce mystère est émouvant.
Ce n'est pas le seul mystère lié à la droite ; il y en a d'autres, tous impénétrables, et auxquels on ne peut apporter de clarté qu'en les énonçant et en les séparant. Que la droite pure, l'angle pur, le triangle pur, soient des ouvrages de l'attention qui fait effort en se détachant des apparences sensibles et des actions, nous en avons conscience toutes les fois que nous pensons ces notions, et ainsi il nous apparaît que ces notions nous viennent de nous-mêmes ; mais les nécessités, les impossibilités qui leur sont attachées, d'où nous viennent-elles, elles qui s'imposent à notre esprit ? Par exemple, l'impossibilité de compter les points d'une droite, ou l'impossibilité de joindre deux points par plus d'une droite. Nous pouvons refuser d'admettre certaines d'entre elles, comme on a fait pour la seconde, comme on n'a pas osé faire pour la première ; mais même pour le plus profond mathématicien, les géométries non euclidiennes ne sont pas sur le même plan que la géométrie euclidienne ; nous croyons à celle-ci même malgré nous, au lieu que nous ne pouvons pas tout à fait croire aux autres, et devons, pour les élaborer, imaginer des courbes quand nous parlons de droites. Deuxièmement, l'effort d'attention nécessaire pour se détacher des choses et penser le point, la droite, l'angle purs ne peut être accompli qu'en s'appuyant sur les choses, et la craie écrasée, le sable creusé par des mouvements humains, ou certains objets, constituent des auxiliaires indispensables ; de plus n'importe quelle chose ne permet pas d'imaginer n'importe quelle notion, mais il y a pour notre imagination des liens entre telle chose et telles de ces notions que nous formons en nous arrachant aux choses. Enfin lorsque nous voyons un lieu où nous désirons aller, nous nous mettons en marche en pensant une direction, c'est-à-dire une droite ; et bien que nous ayons conscience d'accomplir en même temps des mouvements qui diffèrent infiniment d'une trajectoire droite, nous parvenons fort souvent au lieu désiré. Une branche d'arbre agitée par le vent, quoiqu'elle plie un peu, me porte à penser la droite dans son rapport avec l'angle ; si je la casse, glisse un bout sous une pierre et appuie sur l'autre bout pour soulever la pierre, c'est encore en pensant la droite dans son rapport avec l'angle ; et quoiqu'il n'y ait rien de commun entre une branche d'arbre et une droite, et que je le sache, je réussis souvent. La pureté des notions mathématiques, les nécessités et impossibilités qui y sont attachées, les images indispensables de ces notions fournies par des choses qui ne leur ressemblent pas, le succès des actions conduites en confondant, par une erreur volontaire, les choses avec les notions dont elles sont les images, ce sont autant de mystères distincts et irréductibles, et si l'on élabore une solution pour l'un d'eux, on ne diminue pas, on épaissit au contraire le mystère impénétrable des autres. Par exemple, en admettant que les relations géométriques sont réellement les lois de l'univers, on rend plus étonnante encore la réussite d'actions réglées par une application délibérément et infiniment erronée de ces mêmes relations ; si on admet qu'elles sont de simples résumés tirés de beaucoup d'actions réussies, on ne rend pas compte ni de la nécessité qui leur est attachée et n'apparaît pas dans de tels résumés, ni de la pureté qui leur est essentielle et les rend étrangères au monde ; et ainsi de suite. En pensant la géométrie, nous pensons toujours que la droite est quelque chose de pur, œuvre de l'esprit, étrangère aux apparences, étrangère au monde ; que des nécessités lui sont attachées ; que ces nécessités sont réellement les lois mêmes du monde ; que certaines choses dans le monde, qui nous portent à imaginer la droite, et sans lesquelles nous ne pouvons la penser, sont infiniment autres u'elle ; qu'en agissant comme si elles étaient des droites notre action sera efficace. Il y a là plus d'une contradiction. Chose étrange, ces contradictions, impossibles à éliminer, sont ce qui donne à la géométrie une valeur. Elles reflètent les contradictions de la condition humaine.
Un physicien qui dispose un support, un fléau de balance, des poids égaux ou inégaux aux deux bouts, pense une droite tournant autour d'un point fixe, tout en sachant qu'il n'a devant lui ni point fixe ni droite ; une droite n'est pas quelque chose qu'un choc puisse fléchir ou briser, qu'un feu puisse fondre. Le physicien fait avec ce fléau ce que fait le géomètre avec sa craie écrasée ; il fait aussi davantage. La craie suit la main du géomètre, et ce qu'il y a de craie écrasée sur le tableau reste immobile jusqu'à ce qu'on l'enlève avec une éponge ; le géomètre fait de simples dessins sur une surface, soustraite à tout changement, hors ses propres retouches, pendant la durée de sa méditation. Le physicien manie des objets dans l'espace à trois dimensions, et, après les avoir maniés, il les abandonne exposés au changement. Ainsi abandonnés, ils continuent parfois à évoquer dans l'imagination du physicien les mêmes notions mathématiques qu'ils évoquaient lorsqu'il les maniait ; l'expérience alors a réussi. Cette manière de définit une expérience réussie semble étrange ; et pourtant il n'est pas possible de définir le rapport par lequel les objets sont les images de notions mathématiques sans passer par l'imagination humaine. Si, comme on a voulu souvent l'affirmer, ce que le physicien néglige dans l'expérience était une erreur que l'on peut rendre aussi petite que l'on veut, l'omission volontaire du négligeable constituerait un passage à la limite au sens du calcul intégral, et la notion de négligeable aurait une signification mathématique. Mais cela n'est pas vrai ; il n'en est jamais ainsi, même dans les cas les plus favorables. En fait, il n'est pas vrai qu'on puisse à force de soins obtenir une surface aussi lisse qu'on veut ; à une époque donnée, dans un état de la technique donné, certaines surfaces bien déterminées, plus ou moins polies, sont ce qu'on a fait de mieux dans le genre, et on ne peut aller au-delà ; il est toujours permis de supposer que peut-être plus tard des procédés techniques meilleurs produiront des surfaces plus polies, mais on n'en sait rien. Mais si l'on considère un fléau de balance, il est tout à fait clair qu'aucun progrès technique n'en fera jamais rien qui ressemble à une droite tournant autour d'un point fixe. Si étrange que cela paraisse, un physicien, regardant un fléau de balance, sachant que ce n'est pas une droite, mais porté par ce spectacle à imaginer une droite, choisit d'accorder crédit à son imagination plutôt qu'à sa raison. Ainsi fit Archimède, négligeant la différence infinie qui sépare un fléau de balance d'une droite, et inventant ainsi la physique. Ainsi faisons-nous encore aujourd'hui. Mais, à vrai dire, on avait déjà fait ainsi depuis un nombre inconnu de siècles avant Archimède ; exactement depuis qu'on a commencé à se servir de balances.
L'homme a toujours tenté de se donner à lui-même un univers fermé, limité, rigoureusement défini ; il y réussit parfaitement dans certains jeux où tous les possibles sont en quantité dénombrable et même finie, tels que les jeux de dés, de cartes, d'échecs. Les carrés blancs et noirs de l'échiquier, les pièces du jeu, les mouvements possibles de chacune en vertu des règles étant en nombre fini, et une partie d'échecs étant quelque chose qui s'achève tôt ou tard, toutes les parties d'échecs possibles sont en nombre fini, quoiqu'une telle énumération soit pratiquement beaucoup trop compliquée. Il en est de même, par exemple, pour toutes les parties possibles de belote. La complication est essentielle à l'intérêt, et l'on ne jouerait pas si l'on pouvait avoir en fait dans l'esprit toutes les parties possibles ; mais quoiqu'elle dépasse la portée de l'esprit humain comme si elle était infinie, elle est finie pourtant, et cela aussi est essentiel au jeu. Le joueur se donne un univers fini par des règles fixes qu'il impose à ses actions, et qui chaque fois qu'il va jouer lui donnent seulement le choix entre un petit nombre de possibles ; mais aussi par des objets solides, qu'il est porté à imaginer comme immuables, quoique rien ne soit immuable en ce monde, et qu'il décide de considérer comme absolument immuables. S'il en est empêché à certains moments par le spectacle d'un pion d'échecs brisé, d'une carte déchirée, il appelle cela un accident, et il y remédie par un nouvel objet, substitué à celui qui a changé et considéré comme ne faisant qu'un avec lui. Est nommé accident toute intervention de l'univers dans le système clos du jeu, et les accidents sont négligés par le joueur ; le jeu est ainsi le modèle de la physique. Il y a d'autres jeux où les possibles ne sont pas en nombre fini, quoiqu'ils forment aussi un ensemble bien défini ; dans ces jeux, le nombre généralisé joue le rôle que joue dans les premiers le nombre proprement dit. Tels sont les jeux où interviennent des objets plus ou moins ronds regardés comme des sphères et des surfaces plus ou moins unies regardées comme des plans, jeux de balles, de billes, de boules, billard. Dans ces jeux aussi des objets solides dont la forme est regardée comme immuable, des règles fixes imposées aux mouvements et limitant les possibles, quoique l'ensemble des possibles y ait la puissance du continu, déterminent un système clos, et les accidents sont négligés.
Les accidents peuvent être négligés dans les jeux, précisément parce qu'il s'agit de jeux. Ils sont plus malaisés à négliger dans le travail, où la faim, le froid, le sommeil, le besoin fouettent sans cesse, où les résultats sont ce qui importe, où un accident rend les efforts vains, cause le malheur ou la mort. Néanmoins la notion d'accident a aussi un sens pour le travailleur, elle est essentielle aussi au travail, et, comme un accident est toujours en un sens ce qu'on néglige, tout au moins dans le projet, on peut conjecturer que le travail a emprunté cette notion au jeu ; le travail en ce cas procéderait du jeu, imiterait le jeu, imitation dont peut-être on trouverait la marque, plus clairement que chez nous, dans les mœurs de certaines populations, dites primitives. Pour chaque être humain en tout cas le jeu précède le travail. Le travail est analogue aux jeux où les possibles forment un ensemble continu ; comme dans les jeux, des objets solides, dont la forme est considérée comme immuable, dont toute déformation est considérée comme un accident, servent d'instrument à classer et définir les possibles, et comme dans les jeux certaines règles déterminent les mouvements. Le travailleur aussi, comme le joueur, quoique à un degré moindre - car il ne peut effacer à chaque instant les résultats de l'action passée et revenir au point de départ - vit dans un monde fermé, limité et défini, grâce aux outils et aux règles d'actions qu'il s'est données. je nuée une bêche en la tenant par le manche, en posant mon pied sur le fer, en imprimant à mon corps, par rapport à la bêche, des attitudes définies ; je la manie en pensant la droite dans son rapport avec l'angle ; et toute la variété de matière que rencontre la bêche s'ordonne en séries de grandeurs continues, selon le plus ou moins de résistance que rencontre chaque mouvement. Quoi de plus incertain et varié que la mer et le vent ? Mais un bateau est un solide fixe, auquel on choisit seulement d'imprimer, en maniant la voilure et le gouvernail, des changements qui forment des séries continues, mais parfaitement définies ; il ne peut subir de changement qui soit hors de ces séries, sinon par l'effet d'un accident ; le matin, en maniant le bateau, en éprouvant l'effort du vent sur les voiles, de l'eau sur le gouvernail, pense des orientations, des mouvements droits, la droite dans son rapport avec l'angle ; et les états infiniment variés de la mer et de l'air s'ordonnent en séries définies par rapport à l'état des voiles et du gouvernail, à l'orientation et à la vitesse du bateau, qui correspondent à chacun. Les outils sont tous des instruments à ordonner les apparences sensibles, à les combiner en systèmes défiés, et en les maniant l'homme pense toujours la droite, l'angle, le cercle, le plan ; ces pensées dirigent son action, au prix d'une erreur infinie qu'il néglige.
L'homme doit se donner à lui-même des systèmes définis en se fixant à lui-même des règles pour ses mouvements, et en se fabriquant des objets solides, de forme bien définie, instruments de jeu ou de travail, ou encore, comme la balance, de mesure. Il ne trouve pas des systèmes définis tout faits dans la nature autour de lui, ou plutôt il en trouve un seul. C'est celui que constituent les astres. Les astres sont des objets séparés, distincts ; l'apparence de beaucoup d'entre eux est immuable si elle n'est altérée par l'accident des nuages ; le nombre de ceux qu'on voit à l'œil nu, ou qu'on voit avec des instruments donnés, est fini, quoiqu'il soit très grand ; les apparences du ciel nocturne correspondant aux diverses formes que prend la lune, à telles et telles positions relatives du soleil, de la lune, des planètes, des étoiles, s'ordonnent en séries parfaitement définies. Les apparences du ciel nocturne forment un système si rigoureusement défini, si bien clos, si bien défendu contre les accidents, quoiqu'une part y soit faite aussi aux accidents grâce aux comètes et aux étoiles filantes, que certains jeux peuvent seuls fournir à la pensée humaine un ensemble de combinaisons aussi maniable ; mais le choix du joueur à chaque coup met dans tout jeu une part d'arbitraire qui ne se trouve pas parmi les astres, et l'attente du joueur qui médite son coup, la durée incertaine et variable d'une partie, empêchent qu'il y ait dans aucun jeu le rythme invariable qui règne dans le ciel. Les astres, ces objets merveilleux, brillants, inaccessibles, au moins aussi lointains que l'horizon, que nous ne pouvons jamais ni changer ni toucher, qui ne touchent en nous que les yeux, sont ce qu'il y a de plus loin et de plus près de l'homme ; seuls dans l'univers ils répondent au premier besoin de l'âme humaine ; ils sont comme un jouet donné à l'homme par Dieu. La divination, qui se sert parfois des cartes, se sert aussi parfois des astres ; entre un système défini de possibles et la divination, il y a une parenté naturelle. Il y a aussi une parenté naturelle entre de tels systèmes et la science. Les astres, les jeux tels que billes , billard, dés, les instruments communs de mesure comme la balance, les outils et machines simples, toutes ces choses ont toujours été par excellence les objets de la méditation des savants. Mais plus les astres conviennent à la science, plus ils sont mystérieux, car cette convenance est un don, un mystère, une grâce. Les Grecs, qui leur attribuaient des mouvements circulaires et uniformes, n'expliquaient ces mouvements que par la perfection des astres et leur caractère divin. L'astronomie classique n'a pas fourni d'explication plus positive, car l'attraction à distance dont parle Newton ne répond nullement à ce que demande la pensée humaine dans la recherche des causes ; comment concevoir que l'espace qui sépare deux astres, lieu sans doute comme tout espace d'événements infiniment variés, ne détermine jamais de changement dans le rapport qui les unit ? Et, malgré la perfection de nos télescopes et les recherches raffinées de la spectroscopie, nous n'en savons pas plus aujourd'hui ; nous ne pouvons pas en savoir plus ; la convenance des astres avec le besoin de l'imagination humaine est un mystère irréductible. Les jeux et les outils semblent d'abord moins mystérieux, puisqu'ils sont fabriqués par l'homme. Mais que nous puissions fabriquer de tels objets, les manier d'après la supposition qu'ils sont, sauf accidents, immuables, les manier en pensant à leur place des sphères, des cercles, des plans, des points, des droites, des angles, et les manier ainsi efficacement, c'est une grâce aussi extraordinaire que l'existence des astres. C'est une seule et même grâce, et, chose étrange, l'objet étudié par la science n'est autre que cette grâce.
Nous refusons le monde pour penser mathématiquement ; et à l'issue de cet effort de renoncement le monde nous est donné comme par surcroît, au prix, il est vrai, d'une erreur infinie, mais réellement donné. Par ce renoncement aux choses, par ce contact avec la réalité qui l'accompagne comme une récompense gratuite, la géométrie est une image de la vertu. Pour poursuivre le bien aussi nous nous détournons des choses, et recevons le monde en récompense ; comme la droite tracée à la craie est ce qu'on trace avec la craie en pensant à la droite, de même l'acte de vertu est ce qu'on accomplit en aimant Dieu, et, comme la droite tracée, il enferme une erreur infinie. La grâce qui permet aux misérables mortels de penser, d'imaginer, d'appliquer efficacement la géométrie, et de penser en même temps que Dieu est un perpétuel géomètre, la grâce liée aux astres, aux danses, aux jeux et aux travaux est merveilleuse, mais n'est pas plus merveilleuse que l'existence même de l'homme, car c'en nt une condition. L'homme tel qu'il est, livré aux apparences, aux douleurs, aux désirs, et destiné à autre chose, infiniment différent de Dieu et obligé d'être parfait comme son Père céleste, n'existerait pas sans une telle grâce. Le mystère de cette grâce est inséparable du mystère de l'imagination humaine , du mystère du rapport qui unit chez l'homme les pensées et les mouvements, inséparable de la considération du corps humain. La science de la nature, qui est un des effets de cette grâce, n'étudie, en dehors des astres, que des objets fabriqués par le travail humain, et fabriqués d'après des notions mathématiques. Dans un laboratoire de physicien, dans un musée de la physique tel que le Palais de la Découverte, tout est artificiel ; il n'y a que des appareils ; et dans la moindre partie d'un appareil, combien de travail, de peine, de temps, d'ingéniosité et de soins dépensés par des hommes ! Ce n'est pas la nature qui est étudiée là. Comment s'étonner que l'échelle du corps humain joue dans la science un rôle qu'à première vue une échelle de grandeurs semblerait ne pas devoir jouer ?
La physique explore le domaine où il est permis à l'homme de réussir en appliquant la mathématique au prix d'une erreur infinie. Le XIXe siècle, ce siècle qui a cru au progrès illimité, qui a cru que les hommes s'enrichiraient de plus en plus, qu'une technique constamment renouvelée leur permettrait de jouir de plus en plus en travaillant de moins en moins, que l'instruction les rendrait de plus en plus raisonnables, que la démocratie pénétrerait de plus en plus les mœurs publiques dans tous les pays, a cru aussi que ce domaine était tout l'univers. Ce siècle, exclusivement attaché à des biens précieux, mais non pas suprêmes, à des valeurs subordonnées, a cru y trouver l'infini ; il était moins malheureux que le nôtre, mais étouffant ; le malheur vaut mieux. En dépit de l'orgueil que nous avons hérité de ce siècle, et dont malgré notre misère nous n'avons pas encore pris la peine de nous dépouiller, il vaut souvent mieux, même aujourd'hui, s'adresser à un vieux paysan qu'à un institut de météorologie si l'on est curieux de savoir le temps qu'il fera le lendemain. Les nuages, les pluies, les orages, les vents, sont encore aujourd'hui en grande partie hors du domaine où nous pouvons substituer aux choses, avec succès, des systèmes définis par nous ; et qui sait si ce n'est pas pour toujours ? Dans les domaines où, au milieu du XIXe siècle, de telles substitutions étaient possibles, les savants étaient parvenus à établir une certaine unité, une certaine cohérence. Cela ne s'était pas fait sans beaucoup d'efforts et de tâtonnements. La pensée humaine a non pas toute licence, mais parfois une certaine licence dans le choix du système rigoureusement défini qu'elle substitue aux choses à l'occasion de tel ou tel phénomène, et peut ainsi choisir en vue de la plus grande cohérence possible entre les différents systèmes ; la pensée peut dans une certaine mesure choisir ce qu'elle décide de négliger. L'histoire des tâtonnements de la science est en grande partie, peut-être tout entière, l'histoire des applications différentes et successives de la notion de négligeable.


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