Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge








télécharger 164.9 Kb.
titreLe but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge
page3/4
date de publication01.04.2017
taille164.9 Kb.
typeDocumentos
p.21-bal.com > loi > Documentos
1   2   3   4
Équations de Navier-Stokes

En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires qui décrivent le mouvement des fluides dans l'approximation des milieux continus. Elles gouvernent par exemple les mouvements de l'air de l'atmosphère, les courants océaniques, l'écoulement de l'eau dans un tuyau, et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de fluides. Elles sont nommées d'après deux physiciens du XIXe siècle, Claude Navier et George Stokes. Il est possible de démontrer ces équations à partir de l'équation de Boltzmann.

Formule générale pour un fluide constitué d'une seule espèce chimique

Il existe bien des formes des équations de Navier-Stokes. Nous n'en présenterons que certaines. Ces formes dépendent aussi des notations utilisées. Ainsi, il existe plusieurs façons équivalentes d'exprimer les opérateurs différentiels.

La formulation différentielle de ces équations est la suivante :

Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0

Équation de bilan de la quantité de mouvement

\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\nabla} p + \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{\overrightarrow {\tau}} + \rho \vec{f}

Équation de bilan de l'énergie

\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left[ \; \left(\rho e + p\right) \vec{v} \; \right] = \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \overrightarrow{\overrightarrow {\tau}} \cdot \vec{v} \right) + \rho \vec{f} \cdot \vec{v} - \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{\dot{q}} + r

Dans ces équations :

t représente le temps (unité SI : s) ;

ρ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg.m − 3) ;

\vec{v} = ( v_1, v_2, v_3 )Désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m.s − 1) ;

p désigne la pression (unité SI : Pa) ;

\overrightarrow{\overrightarrow{\tau}} = \left( \tau_{i,j} \right)_{i,j} Est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Pa) ;

\vec{f} Désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : N.kg − 1) ;

E est l'énergie totale par unité de masse (unité SI : J.kg − 1) ;

\vec{\dot{q}}Est le flux de chaleur perdu par conduction thermique (unité SI : J.m − 2.s − 1) ;

R représente la perte de chaleur volumique due au rayonnement (unité SI : J.m − 3.s − 1).

Remarque :

L'énergie totale peut se décomposer en énergie interne u et en énergie cinétique selon

e = u + \frac{1}{2} \; \vec{v} \cdot \vec{v} = u + \frac{1}{2} \; v^2

L'opérateur nabla,

\overrightarrow{\nabla} = \left(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\frac{\partial}{\partial x_3}\right)

en coordonnées cartésiennes, est un opérateur de dérivation spatiale du 1er ordre. Les opérateurs gradient, divergence et laplacien peuvent s'écrire à l'aide de cet opérateur :

\mathrm{div} \; \vec{a} = \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{a} ;

\overrightarrow{\mathrm{grad}} \; a = \overrightarrow{\nabla} a ;

\delta \; a = \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \overrightarrow{\nabla} a \right) = \nabla^2 a.

Expression en coordonnées cartésiennes [modifier]

En coordonnées cartésiennes (x1,x2,x3), les équations de Navier-Stokes s'écrivent :

Équation de continuité :

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} ( \rho v_i )= 0

Équation de bilan de la quantité de mouvement (j = 1,2,3)

\frac{\partial \left( \rho v_j \right)}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\rho v_i v_j \right) = -\frac{\partial p}{\partial x_j} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \tau_{i,j}}{\partial x_i} + \rho f_j

Équation de bilan de l'énergie

\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \; \left(\rho e + p\right) v_i \; \right] = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left( \tau_{i,j} v_j \right) + \sum_{i=1}^3 \rho f_i v_i - \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial x_i} + r

Fluide newtonien, hypothèse de Stokes

En première approximation, pour de nombreux fluides usuels comme l'eau et l'air, le tenseur des contraintes visqueuses est proportionnel à la partie symétrique du tenseur des taux de déformation (hypothèse de Newton) et le flux de chaleur est proportionnel au gradient de la température (loi de Fourier), c'est-à-dire

\overrightarrow{\overrightarrow {\tau}} = \mu \left[ \left( \overrightarrow{\nabla} \otimes \vec{v} \right) + \left( \overrightarrow{\nabla} \otimes \vec{v} \right)^t \right] + \eta \left( \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{v} \right) \; \overrightarrow{\overrightarrow {i}}

\vec{\dot{q}} = - \lambda \overrightarrow{\nabla} t

Où :

μ désigne la viscosité dynamique du fluide (unité SI : Po (Poiseuille), 1Po = 1Pa.s) ;

η désigne la viscosité de volume du fluide (unité SI : Po) ;

\overrightarrow{\overrightarrow {i}}Désigne la tenseur unité ;

λ désigne la conductivité thermique du fluide (unité SI : J.K − 1.m − 1.s − 1) ;

T désigne la température (unité SI : K).

L'ensemble des fluides pour lesquels cette hypothèse est vérifiée sont appelés fluides newtoniens. On leur adjoint généralement l'hypothèse de Stokes :

3 \eta + 2 \mu = 0~.

Cette hypothèse se révèle totalement fausse mais est couramment utilisée dans l'aéronautique.

Remarque :

De nombreux fluides, tels que les polymères, les hydrocarbures lourds, le miel, ou encore la pâte de dentifrice, ne vérifient pas ces hypothèses. La science chargée d'étudier les relations entre contrainte et déformation pour de tels fluides s'appelle la rhéologie.

Expression pour les écoulements de fluides compressibles :

L'écoulement d'un fluide est dit incompressible lorsque l'on peut négliger ses variations de masse volumique au cours du temps. Cette hypothèse est vérifiée lorsque le nombre de Mach Ma est faible. En général, on considère l'écoulement incompressible lorsque Ma < 0.3. Dans le cas contraire, c'est-à-dire pour un écoulement compressible, on adjoint pour fermer le système une équation d'état du fluide, de la forme

f(p,\rho, t) = 0\,

Pour un gaz parfait, cette équation d'état s'écrit

p = \rho \frac{r}{m} t

Où R désigne la constante des gaz parfaits et M la masse molaire du fluide.

Expression pour les écoulements de fluides incompressibles :

Pour un fluide visqueux newtonien et lorsque l'écoulement est incompressible, l'équation de l'énergie est découplée des équations de continuité et de quantité de mouvement, c'est-à-dire qu'on peut déterminer la vitesse et la pression indépendamment de l'équation de l'énergie. L'expression des équations de continuité et de quantité de mouvement sont considérablement simplifiées. On obtient alors

Équation de continuité appelée alors équation d'incompressibilité

\overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{v}= 0

Équation de bilan de la quantité de mouvement

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \overrightarrow{\nabla} p + \nu \nabla^2 \vec{v}+ \vec{f}

\nu = \tfrac{\mu}{\rho} désigne la viscosité cinématique du fluide (unité SI : m2.s − 1)

Interprétation :

L'équation de quantité de mouvement est l'équivalent de la relation fondamentale de la dynamique (aussi appelée seconde loi de Newton) : \sigma\vec{f} = m \vec{a}.

Dans cette formule, on voit apparaître trois types de forces :

Les forces de pression, spécifique de la mécanique des fluides.

Les forces de viscosité. Le second terme contenant la viscosité de volume disparait si le fluide est incompressible.

D'autres forces massiques, qui peuvent être des forces de gravité (\vec{f}=\vec{g}) ou

électromagnétiques (\scriptstyle\vec{f}=\frac{q}{\rho}(\vec{e}+\vec{v}\wedge\vec{b})). Pour le cas de la gravité, ce terme représente le poids

d'une particule fluide et représente la poussée d'Archimède. En effet, lorsque le fluide est au

repos, on retrouve immédiatement l'équation de l'hydrostatique :

\vec{\nabla}p= \rho \vec{g}

L'expression de l'accélération est plus délicate et s'exprime de deux manières.

La description lagrangienne consiste à suivre les particules de fluides. L'accélération est la dérivée particulaire de la vitesse : \tfrac{\mathrm d \vec{v}}{\mathrm dt}.

La description eulérienne consiste à se placer en une position fixe. L'accélération est alors la somme de la dérivée partielle de la vitesse \tfrac{\partial\vec{v}}{\partial t}(accélération locale) et d'un terme advectif (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\nabla})\vec{v}.

La résolution de l'équation de Navier-Stokes est extrêmement difficile. Elle reste l'une des grandes enigmes mathématique non résolues à ce jour. Elle fait partie des Problèmes du prix du millénaire.

À la complexité inhérente aux équations aux dérivées partielles s'ajoutent celle de la non-linéarité introduite par le terme d'advection de l'accélération. La plupart du temps, on essaie de résoudre une version simplifiée de l'équation en éliminant l'un de ces termes. Par exemple, à faible nombre de Reynolds, on peut négliger le terme advectif (écoulement de Stokes) et à fort nombre de Reynolds, on s'affranchit de la viscosité (équation d'Euler).

  1. Équation de Darcy-Weisbach

L'équation de Darcy-Weisbach est une importante équation très utilisée en hydraulique. Elle permet de calculer la perte de charge due à la friction dans une conduite.

Initialement l'équation est une variante de l'équation de Prony ; développée par Henry Darcy, puis modifiée en la forme actuelle par Julius Weisbach (scientifique saxon) en 1845 :

h_f = f \cdot \frac{l}{d} \cdot \frac{v^2}{2g}

H: représente la perte de charge due à la friction

f : le facteur de friction

L : la longueur de la conduite, D son diamètre

V : la vitesse du flux

g : la constante d'accélération due à la gravité

  1. Analyse dimensionnelle :

L'analyse dimensionnelle est le domaine (restreint) de la physique qui concerne les unités des grandeurs. Notamment, le fait que les unités soient arbitraires fait que toute équation valable de la physique est homogène : quelque chose qui se mesure en mètres par seconde ne peut pas être égal à quelque chose qui se mesure en kilogrammes par mètre. C'est un moyen très prisé et très efficace de vérifier des calculs. D'autre part, cela peut permettre dans certains contextes d'établir des relations entre différentes données.



Étalons, unités et équation aux dimensions :

L’équation aux dimensions est la formule qui permet de déterminer l'unité dans laquelle doit être exprimé le résultat d'une formule. C'est une équation de grandeurs, c'est-à-dire dans laquelle on représente les phénomènes mesurés par un symbole ; par exemple, une longueur est représentée par la lettre « L ».

Une grandeur est un paramètre mesurable qui sert à définir un état, un objet. Par exemple, la longueur, la température, l'énergie, la vitesse, la pression, une force (par exemple le poids), l'inertie (masse), la quantité de matière (nombre de moles)... sont des grandeurs.

La mesure d'une grandeur fait appel à la métrologie. Il faut définir un phénomène de référence, ou étalon, qui va permettre de dire : « le phénomène actuel fait x fois le phénomène de référence ». Pour simplifier l'énoncé, on définit une unité et l'on dit : « le phénomène actuel fait x unités ». Par exemple, si une barre fait trois fois l'étalon-mètre, on dit que « la barre mesure 3 mètres », le mètre étant l'unité de longueur.

Il faudrait ainsi trouver un phénomène de référence par phénomène observé. Heureusement, on peut construire des étalons à partir d'étalons déjà existants : par exemple, l'étalon-vitesse peut se construire à partir de l'étalon-longueur et de l'étalon-temps :

la vitesse de référence est la vitesse d'un objet qui parcourt un étalon-longueur durant un étalon-temps, soit un mètre par seconde.

On ne définit ainsi pas d'unité spécifique, mais on compose l'unité à partir d'unités existantes.

On a pu ainsi se ramener à seulement sept étalons :

Longueur L (mètre — m) ;

Masse M (kilogramme — kg) ;

Temps T (seconde — s) ;

Courant électrique I (ampère — A) ;

Température Θ (kelvin — K) ;

Quantité de matière N (mole — mol) ;

Intensité lumineuse J (candela — cd).

Notons que l'on aurait pu choisir sept autres grandeurs de référence, par exemple définir la vitesse comme grandeur de base et définir l'étalon-longueur en fonction de l'étalon-vitesse et de l'étalon-temps (c'est ce qui est d'ailleurs fait implicitement, l'étalon-vitesse étant la vitesse de la lumière dans le vide) ; le choix de ces sept grandeurs est une construction historique, les grandeurs ont été choisies depuis le XVIIIe siècle en fonction des besoins et des étalons que l'on pouvait fabriquer de manière simple et précise.

Ainsi, la dimension d'une grandeur est la manière dont se compose le phénomène-étalon à partir des sept étalons de base. Par exemple, on dit que « la dimension d'une vitesse est une longueur divisée par une durée » (on dit aussi « la vitesse est homogène à une longueur divisée par une durée). On note ceci de manière abrégée par une équation aux dimensions :

\left[ v \right] \; = \; \frac{l}{t}.

L'unité utilisée représente cette équation aux dimensions, par exemple pour la vitesse, l'unité est le « mètre par seconde », noté m.s-1 (ou m/s).

La composition peut devenir plus complexe. Ainsi, la force a la dimension d'une masse multipliée par une longueur et divisée par une durée au carré :

\left[ f \right] \; = \; \frac{m.l }{t^2} \; = \; m.l.t^{-2} Que l'on peut aussi noter \left[ f \right] = \frac{m.v}{t}.


et l'unité de force, le newton (noté N) est donc homogène à des kg.m.s-2 (kilogramme mètre sur seconde carrée). Cela signifie que l'étalon-force est un phénomène permettant de faire passer une masse de 1 kg d'une vitesse 0 à 1 m.s-1 en 1 s.

Signification des exposant :s

Les exposants indiquent le degré d'influence d'un paramètre composant le phénomène sur l'intensité finale du paramètre. Ce sont précisément ces exposants qu'on appelle « dimensions » dans l'expression « équation aux dimensions ».

Par exemple, dans le cas de l'étalon-force, considérons la forme intermédiaire de l'équation aux dimensions :

\left[ f \right] = \frac{m.v}{t}.

Si l'on double la force :

on peut accélérer une charge double sur une même durée et atteindre la même vitesse, le [M] a donc un exposant 1 (stricte proportionnalité) ;

on peut accélérer la même charge sur une même durée pour atteindre une vitesse double, le [V] a donc un exposant 1 ;

on peut accélérer la même charge durant la moitié du temps pour atteindre la même vitesse, le deuxième [T] a donc un exposant -1 (1/[T]).

Prédictions

L'analyse dimensionnelle permet de trouver la solution de certains problèmes sans avoir à résoudre d'équations grâce au théorème de Buckingham (parfois appelé « théorème Pi »). Deux exemples célèbres sont le calcul de la puissance de la première bombe atomique et le modèle de Kolmogorov de la turbulence homogène isotrope, qui a influencé grandement toute la mécanique des fluides. Ce type de calcul n'est valable que si un petit nombre de paramètres contrôlent la solution d'un problème (2 ou 3).

  • Le nombre de Reynolds :

Le nombre de Reynolds représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. Il s'énonce généralement de la façon suivante :

 re = {v l\over \nu}

Avec les unités S.I. suivantes :

V - vitesse du fluide [m/s],

L - dimension caractéristique [m] du phénomène :

. Diamètre pour une conduite (de section circulaire le plus souvent), diamètre hydraulique.

. Dimension jugée la plus pertinente pour une conduite ou un obstacle de forme quelconque,

. Abscisse depuis le bord d'attaque pour une plaque plane ou un profil d'aile.

ν - (nu) viscosité cinématique du fluide : ν = η/ρ [m²/s].

ρ - (rhô) masse volumique du fluide [kg/m³],

η - (êta) viscosité dynamique du fluide [Pa.s],

Le nombre de Reynolds représente également le rapport (qualitatif) du transfert par convection par le transfert par diffusion de la quantité de mouvement.

En magnétohydrodynamique il est aussi possible de définir un nombre de Reynolds: le nombre de Reynolds magnétique.

Interprétation du nombre de Reynolds [modifier]

Le nombre de Reynolds peut s'écrire de la manière suivante :

 re = {{\rho v^2\over l}\over {\eta v\over l^2}} , Il s'interprète alors comme le rapport entre forces d'inertie et forces visqueuses.

On distingue trois principaux régimes.

Aux faibles valeurs du Reynolds (inférieures à 2000), les forces de viscosité sont prépondérantes, l'accélération convective étant négligée. On parle d'écoulement de Stokes. L'écoulement est laminaire (des éléments de fluide voisins demeurent voisins). De plus, comme l'inertie est négligeable, l'écoulement du fluide est réversible. Cela donne lieu à des comportements surprenants : si les forces extérieures sont soudainement stoppées, le fluide s'arrête immédiatement. Qui plus est, si les forces extérieures sont inversées, le fluide repart en sens inverse: dans une célèbre expérience de G.I.Taylor, une goutte d'encre, intialement mélangée dans un fluide visqueux, se reconstitue lorsqu'on a inversé le mouvement.

Aux valeurs intermédiaires du Reynolds (entre 2000 et 3000 environ), les forces d'inertie sont prépondérantes, mais l'écoulement reste laminaire. Cependant, il n'est plus réversible: si l'on stoppe les forces extérieures, le fluide continue partiellement sur sa lancée.

Aux fortes valeurs du Reynolds (au-delà d'environ 3000, voire plus haut), les forces d'inertie sont si importantes que l'écoulement devient turbulent. Entre les régimes laminaire et turbulent, on parle de régime transitoire.

Exemples :

Dans une conduite, l'écoulement est laminaire lorsque le nombre de Reynolds est inférieur à une valeur critique pour laquelle se produit une transition assez brutale vers le turbulent. 2300 est la valeur généralement retenue pour cette transition mais, dans des conditions soignées (paroi particulièrement lisse, stabilité de la vitesse), la transition peut se produire pour une valeur plus élevée. On considère souvent que la transition peut se produire entre 2000 et 3000.

Sur un cylindre à section circulaire placé dans un écoulement, on obtient un écoulement proprement laminaire qui s'ajuste parfaitement à l'obstacle jusqu'à un nombre de Reynolds de l'ordre de 1 ; un sillage turbulent apparaît à l'aval aux environs de 105. Entre les deux, la transition se fait à travers diverses formes de sillages tourbillonnaires.

Avec une plaque plane située dans le lit de l'écoulement, la dimension caractéristique n'est plus l'épaisseur de celle-ci mais la distance d'un point au bord d'attaque. En effet une couche limite, dans laquelle interviennent la viscosité ou la turbulence, se développe à partir du bord d'attaque. Si celui-ci présente une arête émoussée, la couche limite est turbulente dès le début. Dans le cas d'un bord effilé, la couche limite est laminaire sur une certaine longueur, puis devient turbulente ensuite. Cette laminarité se maintient jusqu'à une distance qui correspond au Reynolds critique de l'ordre de 5.105 marquant la transition du type d'écoulement, la zone située au delà développant une couche limite turbulente.

La similitude des fluides :

Deux écoulements à géométrie équivalente pour lesquels les nombres de Reynolds sont égaux sont dits semblables. Pour qu'une expérience de modèle réduit d'un écoulement donne bien un écoulement semblable (c'est-à-dire identique à changements d'échelles de temps, de distance et de masse près) à l'écoulement en grandeur nature, il faut que :

et  \quad\quad {p^{\star}\over \rho^{\star} {v^{\star}}^{2}} = {p\over \rho v^{2}} \; .

Les valeurs marquées d'une astérisque « * » font référence à l'écoulement dans le modèle réduit et les autres valeurs à l'écoulement en grandeur nature. Ceci est utile pour les expériences sur les modèles réduits en veine liquide ou en tunnel aérodynamique où on récupère les données pour les écoulements en grandeur réelle. Pour les fluides compressibles, les nombres de Mach doivent aussi être égaux pour les deux fluides afin qu'ils puissent être considérés comme équivalents. De manière générale, il faut que les nombres sans dimension caractéristiques de l'écoulement soient identiques dans les deux écoulements.

  • Le Nombre De Froude :

De l'hydrodynamicien anglais William Froude, est un nombre adimensionnel qui caractérise dans un fluide l'importance relative des forces liées à la vitesse et à la force de pesanteur. Ce nombre apparaît essentiellement dans les phénomènes à surface libre, en particulier dans les études de cours d'eau, de barrages, de ports et de navires en modèles réduits (architecture navale). Il est également important dans la météorologie pour l'écoulement en montagnes.

Définition

Si le fluide ne peut être assimilé à un fluide parfait, il faut aussi prendre en compte le nombre de Reynolds.

Le nombre de Froude Fr (Fn en anglais) pour un canal rectangulaire est défini par :

f_r = \frac{v}{\sqrt{g h}}

v est la vitesse de l'écoulement (en m/s);

g l'accélération de la pesanteur (9.81 m / s2);

h une dimension linéaire caractéristique du phénomène;

On peut l'exprimer en fonction du Nombre de Richardson : fr = \frac{1}{{r_i}^2}

Exemples :

Dans le cas des cours d'eau, h représente la profondeur. \sqrt{g h} est la vitesse des vagues dans le cours d'eau. Le nombre de Froude est ainsi l'équivalent hydrodynamique du nombre de Mach (rapport de la vitesse et de la vitesse du son);

En architecture navale, h est la longueur de la carène en mètres;

En météorologie de montagnes, h est la hauteur entre le pied et le sommet de ces dernières;

Valeurs critiques :

Pour un cours d'eau un même débit peut être obtenu de deux façons différentes :

Fr > 1 : régime torrentiel, avec une faible hauteur d'eau et une forte vitesse (équivalent d'un régime supersonique). Dans ce régime, le fluide est "tiré" par les forces qui le meuvent (la gravité le plus souvent), sans que la masse de fluide en avant soit une gène.

Fr < 1 : régime fluvial, avec une forte hauteur d'eau et une faible vitesse (équivalent d'un écoulement subsonique). Ce régime est "piloté par l'aval" : le comportement des particules en mouvement est contraint par celles qui les précèdent.

Dans les deux solutions la hauteur d'eau et la vitesse sont déterminées suivant le nombre de Froude et le débit, mais les solutions ne se calculent pas de la même façon. La détermination du nombre de Froude est donc un préalable au calcul

La transition du régime torrentiel au régime fluvial provoque un ressaut hydraulique (qui ressemble à un mascaret, mais n'en est pas un) : la hauteur d'eau s'accroit brusquement. Le phénomène est observable dans un lavabo : lorsque l'eau qui coule touche la surface, sa vitesse initialement élevée -- nombre de Froude > 1 -- diminue à proportion de sa distance au point d'impact, et Fr finit par descendre en dessous de 1.

  • Nombre de Strouhal :

En analyse dimensionnelle, le nombre de Strouhal est un nombre sans dimension décrivant les mécanismes de circulation oscillante.

Il est définit de la manière suivante:

 sr= {f l\over v}

f la fréquence d'émission de tourbillons

L une longueur caractéristique (par exemple le diamètre hydraulique)

V la vitesse du fluide.

Dans le cas d'un cylindre de diametre "L", placé dans un écoulement de vitesse amont infinie "V", Le nombre de Strouhal du sillage de ce cylindre est une fonction du nombre de Reynolds Re et dans la région 200advection et du temps caractéristique de l'instationnarité.

  1. Type d’écoulement :



  • Écoulement de Poiseuille

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Aller à : Navigation, Rechercher







La loi de Poiseuille est nommée à partir des travaux de Jean-Louis-Marie Poiseuille, médecin et physicien français du XIX siècle. Un fluide visqueux, s'il est en écoulement lent dans un tuyau de petit diamètre ou entre deux plaques proches, est en écoulement de Stokes. En première approximation, si le tuyau est cylindrique ou que les plaques sont parallèles, l'écoulement du fluide est partout parallèle aux parois (approximation de lubrification). Le frottement aux parois implique qu'aux échelles macroscopiques, la vitesse du fluide y est nulle (condition de non-glissement). Par ailleurs, la pression ne varie pas dans l'épaisseur de l'écoulement (approximation de lubrification). Ces trois conditions impliquent que l'écoulement s'organise selon un champ de vitesse parabolique : vitesse nulle aux parois et maximale à mi-hauteur. Ci-dessous, on considère deux problèmes différents qui donnent lieu à un écoulement de Poiseuille : l'écoulement dans un tube de section circulaire et de rayon constant R. l'écoulement entre deux plaques planes et parallèles, distantes de h ; ce calcul permet notamment d'évaluer la force entre deux objets (par exemple deux disques) immergés dans un fluide visqueux et s'approchant à une vitesse donnée. Un cas particulier qui découle des précédents est celui de l'écoulement visqueux d'une couche mince sur une plaque, tel que la surface supérieure est libre (problème voisin des problèmes en canal découvert). Dans ce cas, le cisaillement est nul à la surface supérieure, et le profil de vitesse est le même que celui obtenu pour un écoulement entre deux plaques, mais en ne considérant que la moitié du profil entre une des plaques, et le milieu. En résumé, Poiseuille avec une plaque, c'est "la moitié de Poiseuille avec deux plaques".

Champ de vitesse dans un tube :

La vitesse est parallèle à l'axe du tube (noté z) :  \vec{v} = v \vec{u}_z .

Équation du profil de vitesse :

 v(r,z,\theta) = v(r) = v_{\rm max}\;\left( 1-\frac{r^2}{r^2} \right)

où la vitesse maximale (au centre du tube) est liée au gradient de pression, à la viscosité et au rayon :  v_{\rm max} = \frac{r^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}

La démonstration de ce résultat est donnée plus bas.

Champ de vitesse entre deux plaque :s

On suppose que le gradient de pression est orienté selon l'axe x et que la normale aux plaques est orientée selon z, avec les plaques situées en  z = \pm h/2. La vitesse est alors parallèle aux plaques, et plus précisément orientée selon l'axe x :  \vec{v} = v \vec{u}_x .

Équation du profil de vitesse :

 v(x,y,z) = v(z) = v_{\rm max}\;\left( 1-\frac{4\,z^2}{h^2} \right)

où la vitesse maximale (au milieu de la couche) est liée au gradient de pression, à la viscosité et à la distance entre les plaques :  v_{\rm max} = \frac{h^2}{8\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} x}

La démonstration de ce résultat est similaire à celle donnée ci-dessous dans le cas du tube circulaire.

Démonstration (dans le cas du tube) :

1. Par symétrie, l'écoulement ne varie ni en z, ni en θ : v(r,z,θ) = v(r)

2. Par conséquent, les seuls efforts de cisaillement sont des forces selon z transmises radialement (selon r) :  \sigma_{rz}(r,z,\theta) = \sigma_{rz}(r) = \eta\;\frac{{\rm d} v(r)}{{\rm d} r}

3. Par symétrie également, la variation de la pression est constante le long de l'axe z :

 \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} = {\rm const}

4. Considérons les efforts subis par une zone cylindrique de rayon r et de longueur Δz.

Les efforts de pression sur les deux faces circulaires du cylindre ont une résultante égale à :

 f_{\rm faces} = \pi\,r^2 \; \delta z \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}

Les contraintes de cisaillement sur le bord du cylindre lui transmettent une force orientée selon son axe z :

 f_{\rm bord} = 2\pi\,r \; \delta z \; \sigma_{rz}(r)

La force totale exercée sur le cylindre de liquide est nulle puisque l'écoulement est permanent. Ainsi :

 \sigma_{rz}(r) = \frac{r}{2} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}


5. Il s'ensuit que le gradient de vitesse est linéaire en r :

 \frac{{\rm d} v(r)}{{\rm d} r} = \frac{\sigma_{rz}(r)}{\eta} = \frac{r}{2\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}


6. Autrement dit, le champ de vitesse est parabolique :

 v(r) = {\rm const} + \frac{r^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}

7. Compte tenu de la condition de non-glissement (v(R) = 0) :

 v(r) = -\frac{r^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} \; \left( 1-\frac{r^2}{r^2} \right)

La vitesse est plus importante au centre du conduit malgré le signe négatif, étant donné que la vitesse est orientée à l'encontre du gradient de pression. Écoulement dans le sens positif pour un gradient négatif... CQFD

1   2   3   4

similaire:

Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge icon1° On considère une ligne de champ électrique. Déterminer la relation...

Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge iconDiscours de soutenance prononcé à l’occasion de la soutenance de
«Les prestations financières en ligne». Cette thèse approfondit la réflexion engagée dans le cadre de mon mémoire de dea ‘’les services...

Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge iconRésumé : L’analyse des sites web des principaux cavistes en ligne...

Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge iconLe gardien est assis sur la ligne des 4 mètres. L'entraîneur se place...

Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge iconReglement du jeu en ligne jurifisca

Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge iconIntention pédagogique/ligne directrice

Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge iconAdresse email pour reservation en ligne

Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge icon3. Clarification sur les concepts d’arrêt et de ligne 10

Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge iconMettre en ligne calendriers 2004-2005 L1 + cfa

Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge iconCours gratuits pour tout apprendre en ligne








Tous droits réservés. Copyright © 2016
contacts
p.21-bal.com