Le but de ce tp consiste à construire la ligne piézométrique et la ligne de charge








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Conservation du débit masse :




Pendant l'intervalle de temps dt, infiniment petit, la masse dm1 de fluide ayant traversé la section dS1 est la même que la masse dm2 ayant traversé la section dS2.

Les volumes correspondants sont égaux à M1 M1'. dS1 et M2M2'. dS2. La conservation de la masse s'écrit :

Soit encore :

En régime stationnaire, le débit masse est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant.

Expression en fonction de la vitesse :


La distance MM' s'écrit v dt en fonction de la vitesse du fluide et donc la relation précédente se met sous la forme : soit : ou Pour un écoulement isovolume ( = Cte) : soit : ou On retrouve évidemment la relation : dqm = dqv

Vitesse Moyenne :


En général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (forces de frottement). Le débit masse ou le débit volume s'obtient en intégrant le débit élémentaire sur toute la surface S.

Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne vm la vitesse telle que :

ou



La vitesse moyenne vmoy apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section S qui assurerait le même débit que la répartition réelle des vitesses.

Si l'écoulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle à l'aire de la section droite.
  1. Equation de conservation de l'énergie :


Le théorème de Bernoulli : 

Qui a été établi en 1739 par Daniel Bernoulli exprime le bilan hydraulique simplifié d'un fluide dans une conduite. Il a posé les bases de l'hydrodynamique et, d'une façon plus générale, de la mécanique des fluides.

 \frac{v^2}{2 \cdot g} + z + \frac{p}{\rho \cdot g} = \text{constante}

v = vitesse en [m/s]

g = accélération de la pesanteur en [N/kg] ou [m/s²]

z = altitude en [m]

p = pression dans la conduite en [Pa] ou [N/m²]

ρ = masse volumique du fluide en [kg/m³] ou [g/ℓ]

Il suppose un fluide incompressible (ρ constant), « parfait » (sans viscosité), en régime permanent, irrotationnel (et sans transfert de chaleur).

Cette équation traduit en fait la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant :

e_c = \tfrac1v \cdot \tfrac12 \cdot m \cdot v^2 = \tfrac12 \cdot \rho \cdot v^2 Est la densité volumique d'énergie cinétique (énergie cinétique par unité de volume, m étant la masse du volume V de fluide) ;



e_z = \tfrac1v \cdot m \cdot g \cdot z = \rho \cdot g \cdot z

Est la densité volumique d'énergie potentielle de gravité ;

e_p = \tfrac1v \cdot p \cdot v = p Est la densité volumique d'énergie élastique.

La loi de conservation s'écrit donc

ec + ez + ep = constante

ce qui amène à l'équation ci-dessus en divisant par ρ·g.

On peut aussi retrouver ce résultat en intégrant l'équation de Navier-Stokes sur une ligne de courant.

La constante à droite de l'équation est appelée charge ; avec ce choix de normalisation, elle est homogène à une longueur.

Applications :

À vitesse nulle (v = 0), on retrouve la loi de la statique des fluides

Supposons maintenant que la vitesse ne soit pas nulle, mais que l'on reste toujours à la même altitude (z constant).

Si un liquide s'écoule dans une canalisation, alors comme il est incompressible, son débit (volume transitant à travers une surface par unité de temps) est constant. Si la canalisation s'élargit, alors la vitesse diminue (puisque le débit est le produit de la vitesse par la section, les deux varient à l'inverse). Le théorème de Bernoulli nous indique alors que la pression augmente. À l'inverse, si la canalisation se rétrécit, le fluide accélère et sa pression diminue ; c'est l'effet Venturi.

Ce résultat est assez peu intuitif (on s'attendrait à ce que la pression augmente lorsque la section diminue).

Si maintenant la conduite reste de section constante mais que l'on met un obstacle à l'intérieur ; l'obstacle diminue la section, on a donc le même effet. Si cet obstacle est un cylindre tournant, d'axe perpendiculaire à l'axe de la canalisation, alors le frottement accélère le fluide d'un côté et le ralentit de l'autre. On a donc une diminution de pression d'un côté et une augmentation de l'autre, le cylindre subit une force : c'est l'effet Magnus (notons que l'on considère souvent l'effet Magnus dans l'air, qui est un fluide compressible, mais le principe général reste le même).

Si la canalisation a une section constante, et qu'elle ne présente pas d'obstacle, alors la vitesse est constante. Si l'altitude varie, alors l'équation de Bernoulli nous indique que la pression varie à l'opposé de l'altitude.

Calcul de la pression dynamique : q = \tfrac12 \cdot \rho \cdot v^2

En hydraulique, la charge est la constante qui constitue le membre de droite de l'équation de Bernoulli.

 \frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = constante

On l'exprime typiquement :

Sous la forme d'une pression : constante × ρ

Sous la forme d'une hauteur de la colonne d'eau : constante / g

où ρ est la masse volumique du fluide, g l'accélération de la gravité, z la hauteur à laquelle se trouve le fluide, p la pression statique et v la vitesse du fluide.

Lorsque l'on est en présence de frottements, le théorème de Bernoulli ne s'applique plus et la charge n'est plus constante. On parle alors de perte de charge.

On utilise dans ce cas le théorème de Bernoulli généralisé, qui s'écrit :

 \frac{v^2_1}{2 g} + z_1 + \frac{p_1}{\rho g} = \frac{v^2_2}{2 g} + z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + \delta h

où le terme Δh représente la perte de charge en mètres entre le point 1 (en aval) et 2 (en amont de l'écoulement). Cette perte de charge peut s'exprimer comme étant la différence de hauteur entre la hauteur géométrique entre les points 1 et 2 et la hauteur utile qui va déterminer l'énergie réelle à fournir pour passer de 1 à 2.

Ce terme sera positif dans le cas d'un écoulement dans une conduite, mais pourra être négatif si les deux points considérés sont de part et d'autre d'une turbomachine génératrice (pompe, ventilateur, turbine génératrice…)

Cas d'un fluide incompressible dans une canalisation fixe

Dans le cas d'un fluide incompressible, ρ est une constante, et le débit est une constante. Si la section du tuyau est constante, alors, la vitesse est également constante. L'altitude z étant imposée par l'installation de la canalisation, on voit que la perte de charge se traduit par une diminution de pression.

  1. Ligne de courant :

Une ligne de courant est une courbe de l'espace décrivant un fluide en mouvement. Considérons à titre d'exemple un fluide s'écoulant dans un tuyau. Plaçons-nous à un instant t fixé dans le temps – car il s'agit d'une notion de l'approche eulérienne. En chaque point M(x,y,z) du tube, l'écoulement a une certaine orientation illustrée par la direction de son vecteur vitesse V(x,y,z,t), de coordonnées Vx(x,y,z,t), Vy(x,y,z,t) et Vz(x,y,z,t). Une ligne de courant à un instant t est la ligne en tout point tangente au vecteur V(x,y,z,t) (vecteur courant). En considérant cette courbe comme une relation entre x, y et z (à t fixé !), on obtient, en exprimant la tangence :

\frac{\mathrm dx}{v_x}= \frac{\mathrm dy}{v_y} = \frac{\mathrm dz}{v_z}

On appelle tube de courant tout volume formé uniquement de lignes de courant. Il convient de distinguer la ligne de courant de la trajectoire d'une particule : l'un et l'autre ne sont confondus que dans le cas d'un écoulement stationnaire, c’est-à-dire un écoulement où V(x,y,z) n'est pas fonction de t.

  1. Tube de Pitot

One of the most immediate applications of Bernoulli's equation is in the measurement of velocity with a Pitot-tube. L'une des applications les plus immédiats de l'équation de Bernoulli est en mesure de la vitesse avec un tube de Pitot. The Pitot tube (named after the French scientist Pitot) is one of the simplest and most useful instruments ever devised. Le tube de Pitot (du nom du scientifique français de Pitot) est l'un des plus simples et les plus utiles instruments jamais conçu. It simply consists of a tube bent at right angles (figure 17). Il consiste simplement d'un tube courbé à angle droit (fig. 17).

http://www.princeton.edu/~asmits/bicycle_web/pictures/pitot_tube.gif




Figure 17. Figure 17. Pitot tube in a wind tunnel. Tube de Pitot dans une soufflerie.


By pointing the tube directly upstream into the flow and measuring the difference between the pressure sensed by the Pitot tube and the pressure of the surrounding air flow, it can give a very accurate measure of the velocity. En pointant le tube directement en amont dans le flux et de mesurer la différence entre la pression détecté par le tube de Pitot et la pression de l'air ambiant flux, il peut donner une mesure très précise de la vitesse. In fact, it is probably the most accurate method available for measuring flow velocity on a routine basis, and accuracies better than 1% are easily possible. En fait, c'est probablement la méthode la plus précise disponible pour mesurer la vitesse d'écoulement sur une base de routine, et une précision meilleure que 1% sont facilement possible. Bernoulli's equation along the streamline that begins far upstream of the tube and comes to rest in the mouth of the Pitot tube shows the Pitot tube measures the stagnation pressure in the flow. L'équation de Bernoulli le long de la rationaliser, qui commence très en amont du tube et s'immobilise dans l'embouchure du tube de Pitot montre le tube de Pitot la stagnation des mesures de pression dans la circulation. Therefore, to find the velocity V_e, we need to know the density of air, and the pressure difference (p_0 - p_e).Par conséquent, pour trouver la vitesse V_e, nous avons besoin de connaître la densité de l'air, et la différence de pression (p_0 - p_e). La densité peut être trouvée par les tableaux si la température et la pression sont connues. The pressure difference is usually found indirectly by using a ``static pressure tapping'' located on the wall of the wind tunnel, or on the surface of the model. La différence de pression est généralement indirectement en utilisant une pression statique `` écoutes''situé sur la paroi du tunnel de vent, ou sur la surface du modèle.

  1. Effet Venturi

l\'effet venturi. la pression au point 1 est plus grande qu\'au point 2. et la vitesse du fluide au point 2 est plus grande qu\'au point 1.

L'effet Venturi. La pression au point 1 est plus grande qu'au point 2. Et la vitesse du fluide au point 2 est plus grande qu'au point 1.

L'effet Venturi (du nom du physicien italien Giovanni Battista Venturi) est le nom donné à un phénomène de la dynamique des fluides où les particules gazeuses ou liquides se retrouvent accélérées à cause d'un rétrécissement de leur zone de circulation.

Il est également à noter que l'accélération du vent occasionne une chute de la température (décompression adiabatique) et favorise la condensation dans un milieu gazeux.

On peut comprendre cet effet avec le théorème de Bernoulli : si le débit de fluide est constant et que le diamètre diminue, la vitesse augmente nécessairement ; du fait de la conservation de l'énergie, l'augmentation d'énergie cinétique se traduit par une diminution d'énergie élastique, c'est-à-dire une dépression.

Notons que l'effet Venturi ne concerne que les vitesses d'écoulement subsoniques basses (< Mach 0,4).

En zone montagneuse :

Dans les zones montagneuses, l'effet Venturi est tout le temps présent. Si les particules d'air rencontrent une montagne (ou tout terrain surélevé), elles se retrouvent obligées pour la franchir de passer par-dessus (si elles ne peuvent passer sur les côtés). La zone de circulation étant moindre, les particules se retrouvent accélérées, de manière à conserver le même débit qu'avant. C'est pour cette raison que le vent au sommet des montagnes est toujours plus rapide que celui à sa base.

En aéronautique, il est donc très important pour les pilotes d'analyser le terrain les entourant s'ils veulent atterrir en zone montagneuse en sécurité ou même simplement franchir une zone surélevée.

Applications :

Dans les tuyères des moteurs à réaction, juste avant la sortie des gaz d'échappement, un goulot d'étranglement est présent et permet, en utilisant l'effet Venturi, d'accélérer les gaz et ainsi d'augmenter la poussée.

L'effet Venturi peut être utilisé pour créer une dépression et ainsi réaliser une aspiration. Ceci est utilisé par exemple :

Dans les carburateurs des moteurs à combustion interne,

Dans certains détendeurs de plongée sous-marine. Le flux d'air moyenne pression injecté dans le deuxième étage de ces détendeurs est orienté de telle manière qu'il participe à l'aspiration de la membrane. Cette membrane appuyant sur le levier qui provoque l'injection d'air, l'effet venturi réduit alors l'effort inspiratoire.

Pour mélanger des liquides (un liquide mis en dépression aspire l'autre liquide et permet le mélange), par exemple le mélangeur d'émulseur et d'eau des lances à mousse des sapeurs-pompiers,

Un venturi (convergent + divergent) permet de limiter le débit à un seuil déterminé et ce quelle que soit la pression amont sur une canalisation,

Comme appareil de mesure de débit, basé sur la chute de pression au niveau du venturi.

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