L es lois de Kepler








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Les lois de Kepler


  1. Rappels historiques :


« Au début du XVIè siècle, le polonais Nicolas Copernic rejette le système

géocentrique proposé par le Grec Ptolémée dans le 2ème siècle après J.C.

et accepté jusqu’alors, car ce système ne permettait pas d’expliquer

simplement le mouvement apparent des planètes, comme par exemple

le mouvement rétrograde de la planète Mars.
Copernic publie en 1543 un traité dans lequel il propose un modèle

héliocentrique de l’univers.

Toutefois les mesures astronomiques réalisées par les astronomes pendant

les siècles précédents lui permettaient d’affirmer que l’orbite terrestre était

un cercle dont le centre ne coïncidait pas exactement avec le centre du soleil.
Au début du XVIIè siècle, l’allemand Johannes Kepler est fasciné par les

idées de Copernic et cette position excentrée du soleil dans l’orbite terrestre

l’intrigue : il utilise la planète Mars pour repérer la position de la terre à

intervalles de temps réguliers.
Kepler publie en 1609 les deux premières lois des orbites planétaires, la

troisième loi ne sera publiée que dix ans plus tard.
Il faudra attendre 1687 pour qu’Isaac Newton trouve une explication à ces lois

en proposant une expression mathématique de la force gravitationnelle s’exerçant entre deux corps.
Plus tard, Le Verrier observera des perturbations sur la trajectoire de la planète Uranus... En utilisant la loi de la gravitation universelle de Newton, il calculera la masse et la position de l’objet perturbateur et, pointant son télescope dans cette direction... il découvrira une nouvelle planète : Neptune ! »


  • Quelle différence essentielle y a-t-il entre le modèle de l’univers proposé par Ptolémée et celui proposé par Copernic ?



  • Le modèle de Copernic est-il toujours valable aujourd’hui ? justifie ta réponse.


  • Quelle est l'observation qui s'explique simplement par le modèle de Copernic mais qui exige des complications difficilement acceptables dans le modèle de Ptolémée ?


  • Comment a été découverte la planète Neptune ?



  • Quelles sont les quatre étapes de la démarche scientifique mises en évidence dans ce texte ?




  1. Les trois lois de Képler :


Première loi de Kepler :
« Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des trajectoires planes elliptiques dont le centre S du soleil occupe un des foyers »


  • Rappelle comment est défini le référentiel héliocentrique. Quel autre nom lui donne-t-on ?





  • Une ellipse possède 2 foyers F1 et F2 .

Un point P situé sur l’ellipse vérifie la propriété: PF1 + PF2 = constante
Montre qu’un cercle est un cas particulier d’ellipse.

Deuxième loi de Kepler (ou loi des aires)
« Le rayon SP qui relie le centre du soleil au centre de la planète

balaie pendant des intervalles de temps égaux des aires

(ou surfaces) égales, quelle que soit la position de la

planète sur son orbite »


  • Vérifie la validité de cette loi à partir du document

ci-contre correspondant à la planète Mercure,

pour deux positions particulières de celle-ci.


  • Déduis-en que la vitesse de la planète varie en

fonction de sa position par rapport au soleil.

  • Cette vitesse est-elle plus grande à l’apogée (point de la trajectoire le plus éloigné du soleil) ou au périgée ?

Calcule numériquement le rapport entre ces deux vitesses.

  • Que peut-on dire des vecteurs accélération de la planète en chaque point de sa trajectoire ?

Etait-ce prévisible d'après la deuxième loi de Newton ?

Troisième loi de Kepler :
« Pour toute les planètes du système solaire, le carré de la durée d’une révolution T

de la planète est proportionnel au cube de la longueur a du demi grand axe de sa

trajectoire elliptique (voir schéma ci-dessus) »


  • Exprime mathématiquement cette troisième loi :



  1. Le mouvement circulaire uniforme :


Le programme de Term S se limite à l'étude des satellites en orbite circulaire autour de leur planète, ou aux planètes dans l'approximation des orbites circulaires. On note r le rayon de l’orbite.
Pour étudier un mouvement circulaire uniforme, on n’utilise pas un repère

cartésien (C, i , j ) mais le repère de Freinet (G , t , n ) qui est plus pratique:
* le vecteur unitaire t est tangent à la trajectoire et orienté

dans le sens du mouvement de G

* le vecteur unitaire n est dirigé vers le centre C de la trajectoire


  • Quelle différence essentielle y a-t-il entre un repère cartésien et le repère de Freinet ?


  • Représente sur le schéma ci-dessus le repère de Freinet à un autre instant t.




  • Représente le vecteur vitesse V du point mobile G à cet instant.




  • Exprime V en fonction de sa valeur V dans le repère de Freinet.




  • Exprime l’accélération a du mobile G dans le repère de Freinet sachant que l’accélération tangentielle est nulle pour un mouvement uniforme et l’accélération normale a pour valeur V2 / r :



  1. La loi de la gravitation universelle de Newton :


« Deux objets ponctuels A et B, de masses respectives mA et mB exercent l’un sur l’autre une force attractive, de direction AB, dont la valeur est proportionnelle à chacune des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance r séparant ces objets »
La constante de proportionnalité est appelée « constante de

la gravitation universelle » G = 6,67.1011 m3.kg1.s2
Fais ci-contre un schéma correspondant à l’énoncé de cette loi sur

lequel tu représenteras les vecteurs forces concernés, ainsi qu’un

vecteur unitaire uAB de direction AB et orienté de A vers B.
Donne l’expression vectorielle de la force FA/B  exercée par l’objet A sur l’objet B.
Que peut-on dire de la force FB/A  ?

= =
Remarque :
Le soleil et les planètes ne sont pas des « masses ponctuelles ».
Toutefois la répartition de masse de ces objets présentant une symétrie sphérique (la masse volumique n’est pas constante en tout point mais ne dépend que de la distance au centre), on peut montrer que tout se passe à l’extérieur de ces astres comme si toute leur masse était concentrée en leur centre.


  1. La troisième loi de Kepler :


Soit une planète de masse m et de centre d’inertie P, en mouvement circulaire (ceci est une simplification de la réalité) autour du soleil de masse M et de centre S... on notera r = SP le rayon de la trajectoire.
On veut montrer que ce mouvement est uniforme de vitesse V, exprimer V en fonction de G, m, M et r et retrouver la troisième loi de Kepler T 2/r 3 = constante K


  • Fais un schéma correspondant à ce problème après

avoir précisé le système choisi



  • Quel référentiel faut-il choisir ici ?




  • Ecris la deuxième loi de Newton:




  • Projette cette relation vectorielle dans la base de Freinet.



  • Exprime la période de révolution de la planète en fonction de G, m, M et r puis calcule la valeur de la constante K sachant que la masse du soleil est M=1,99.1030kg




  • Déduis de tes calculs une méthode pour déterminer les rayons moyens des orbites de toutes les planètes du système solaire.


  1. Les satellites de la terre :


L’altitude du satellite, en général supérieure à 200km, est suffisante pour qu’on puisse négliger la poussée d’Archimède et les forces de frottement.


  • Justifie cette affirmation



  • Le satellite peut-il être considéré alors comme étant en chute libre ?



Si oui, pourquoi sa trajectoire n’est-elle pas parabolique mais circulaire?
Certains satellites utilisés en télécommunication et en météo sont géostationnaires, c’est à dire qu’ils apparaissent immobiles pour un observateur terrestre.


  • Montre que leur trajectoire est alors forcément dans le plan de l’équateur terrestre.


  • Calcule leur période de révolution dans le référentiel géocentrique, sachant que dans ce référentiel la terre effectue un tour sur elle-même en 23h56min.



  • déduis-en leur hauteur par rapport au sol terrestre, sachant que la masse de la terre est de 5,98.1024kg et son rayon de 6380km






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