III - ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Les paragraphes qui suivent concernent trois deux domaines choisis pour leur richesse mathématique au niveau d'une formation initiale. L'arithmétique est un champ des mathématiques très vivant dont les applications récentes sont nombreuses ; c'est un domaine au matériau élémentaire et accessible conduisant à des raisonnements intéressants et formateurs. C'est un lieu naturel de sensibilisation à l'algorithmique où la nécessité d'être précis impose rigueur et clarté du raisonnement.
Avec l'étude des similitudes directes planes, on vise à la fois une synthèse des études antérieures sur les transformations et une première approche implicite de la structure de groupe.
Quant au paragraphe sur les surfaces, il ouvre le champ des fonctions de plusieurs variables dans un cadre géométrique porteur de sens et peut illustrer les liens entre les représentations en trois et deux dimensions de certains objets.
À titre indicatif, la répartition horaire entre les différents chapitres peut être : arithmétique : 50 % ;
géométrie 50 %.
CONTENUS
|
MODALITÉS DE MISE EN ŒUVRE
|
COMMENTAIRES
|
Arithmétique
Divisibilité dans Z.
Division euclidienne. Algorithme
d'Euclide pour le calcul du PGCD.
Congruences dans Z.
Entiers premiers entre eux.
Nombres premiers. Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers. PPCM
Théorème de Bézout.
Théorème de Gauss.
|
On fera la synthèse des connaissances acquises dans ce domaine au collège et en classe de seconde. On étudiera quelques algorithmes simples et on les mettra en œuvre sur calculatrice ou ordinateur tableur : recherche d'un PGCD, décomposition d'un entier en facteurs premiers, reconnaissance de la primalité d'un entier.
On démontrera que l'ensemble des nombres premiers est infini.
|
On montrera l'efficacité du langage des congruences.
On utilisera les notations : a  b (n) ou a b (modulo n), et on établira les compatibilités avec l'addition et la multiplication. Toute introduction de Z/nZ est exclue.
L'unicité de la décomposition en facteurs premiers pourra être admise.
L'arithmétique est un domaine avec lequel l'informatique interagit fortement ; on veillera à équilibrer l'usage de divers moyens de calculs : à la main, à l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice ou sur un ordinateur
|
Similitudes directes planes
Définition géométrique. Cas des isométries.
Caractérisation complexe : toute similitude directe a une écriture complexe de la forme z az+b ou z a +b (a non nul).
Étude des similitudes directes
|
Les similitudes seront introduites comme transformations du plan conservant les rapports de distances. Les similitudes directes seront introduites comme transformations du plan composées d’une homothétie et d’un déplacement.
On démontrera qu’une similitude directe conserve les rapports de distances et les angles orientés.
On fera remarquer que la réciproque d'une similitude directe est une similitude directe, que la composée de deux similitudes directes est une similitude directe et que, dans le cas général, la composition n'est pas commutative.
On démontrera qu'une similitude directe ayant deux points fixes distincts est l'identité ou une symétrie axiale.
Forme réduite d'une similitude directe. On démontrera la propriété suivante : étant donnés quatre points A, B, A', B' tels que A ≠ B et
A' ≠ B', il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.
Applications géométriques des similitudes directes à l'étude de configurations, la recherche de lieux et la résolution de problèmes de construction
|
La définition générale sera illustrée d'une part avec les transformations étudiées antérieurement, d'autre part avec les transformations d'écriture complexe z az+b ou
z a+b ; ces dernières seront amenées progressivement à travers des exemples.
La caractérisation complexe est un moyen efficace d'établir la plupart des propriétés
La recherche des éléments caractérisant une similitude indirecte est hors programme
On fera le lien avec les triangles semblables ou isométriques introduits en classe de seconde.
|
Sections planes de surfaces
|
Sections de cônes et cylindres illimités d'axes (Oz) par des plans parallèles aux plans de coordonnées.
Surfaces d'équation z = x2+y2 ou
z = xy coupées par des plans parallèles aux plans de coordonnées.
|
L'objectif est de montrer qu'une fonction de deux variables peut être représentée par une surface et que des études de coupes par des plans permettent leur étude à l'aide des outils déjà vus pour les fonctions d'une variable.
Pour les sections de cônes, on pourra faire le lien avec les hyperboles d'équations
xy =k.
On visualisera sur écran les surfaces étudiées.
On entraînera à la reconnaissance des surfaces à partir de coupes parallèles à un plan, et on associera les visions géométrique et analytique.
|
Algorithmique (objectifs pour le lycée)
La démarche algorithmique est, depuis les origines, une composante essentielle de l’activité mathématique. Au collège, les élèves ont rencontré des algorithmes (algorithmes opératoires, algorithme des différences, algorithme d’Euclide, algorithmes de construction en géométrie). Ce qui est proposé dans le programme est une formalisation en langage naturel propre à donner lieu à traduction sur une calculatrice ou à l’aide d’un logiciel. Il s’agit de familiariser les élèves avec les grands principes d’organisation d’un algorithme: gestion des entrées-sorties, affectation d’une valeur et mise en forme d’un calcul.
Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés:
à décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique;
à en réaliser quelques uns à l’aide d’un tableur ou d’un petit programme réalisé sur une calculatrice ou avec un logiciel adapté;
à interpréter des algorithmes plus complexes.
Aucun langage, aucun logiciel n’est imposé.
L’algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme (fonctions, géométrie, statistiques et probabilité, logique) mais aussi avec les autres disciplines ou la vie courante.
À l’occasion de l’écriture d’algorithmes et de petits programmes, il convient de donner aux élèves de bonnes habitudes de rigueur et de les entraîner aux pratiques systématiques de vérification et de contrôle.
Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie).
Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables:
d’écrire une formule permettant un calcul;
d’écrire un programme calculant et donnant la valeur d’une fonction;
ainsi que les instructions d’entrées et sorties nécessaires au traitement.
|
Boucle et itérateur, instruction conditionnelle
Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables:
de programmer un calcul itératif, le nombre d’itérations étant donné;
de programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucle conditionnelle.
|
Notations et raisonnement mathématiques (objectifs pour le lycée)
Cette rubrique, consacrée à l’apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l’objet de séances de cours spécifiques mais doit être répartie sur toute l’année scolaire.
Notations mathématiques
Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble,
d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant: , , , ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles.
Pour le complémentaire d’un ensemble A, on utilise la notation des probabilités A.
|
Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur des exemples:
à utiliser correctement les connecteurs logiques «et », «ou» et à distinguer leur sens des sens courants de «et », «ou» dans le langage usuel;
à utiliser à bon escient les quantificateurs universel, existentiel (les symboles, ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et, particulièrement, dans les propositions conditionnelles;
à distinguer, dans le cas d’une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation;
à utiliser à bon escient les expressions «condition nécessaire », «condition suffisante»;
à formuler la négation d’une proposition;
à utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle;
à reconnaître et à utiliser des types de raisonnement spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde.
|
Inspection de Mathématiques T S
|
