II.2 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES
Après avoir introduit en classe de seconde la nature du questionnement statistique à partir de travaux sur la fluctuation d'échantillonnage, on poursuit ici la présentation entreprise en première des concepts fondamentaux de probabilité dans le cas fini avec la notion de conditionnement et d'indépendance et l'étude de quelques lois de probabilité.
On vise aussi, en complément à l'usage des simulations introduit dès la seconde, une première sensibilisation à d'autres classes de problèmes, notamment celui de l'adéquation d'une loi de probabilité à des données expérimentales
CONTENUS
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MODALITÉS DE MISE EN ŒUVRE
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COMMENTAIRES
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Conditionnement et indépendance
Conditionnement par un événement de probabilité non nulle puis indépendance
de deux événements.
Indépendance de deux variables aléatoires.
Formule des probabilités totales
Statistique et modélisation Expériences indépendantes.
Cas de la répétition d'expériences identiques et indépendantes.
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On justifiera la définition de la probabilité de B sachant A, notée PA(B), par des calculs fréquentiels.
On utilisera à bon escient les représentations telles que tableaux, arbres, diagrammes.... efficaces pour résoudre des problèmes de probabilités.
Application à la problématique des tests de dépistage en médecine et à la loi de l'équilibre génétique lors d'appariements au hasard.
Application aux expériences de références vues en seconde et première (dés, pièces, urnes.).
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Un arbre de probabilité correctement construit constitue une preuve.
Les élèves doivent savoir appliquer sans aide la formule des probabilités totales dans des cas simples
On conviendra, en conformité avec l'intuition, que pour des expériences indépendantes, la probabilité de la liste des résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
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Lois de probabilité
Exemples de lois discrètes Introduction des combinaisons, notées
Formule du binôme.
Loi de Bernoulli, loi binomiale ; espérance et variance de ces lois.
Exemples de lois continues
Lois continues à densité :
loi uniforme sur [0,1] ;
loi de durée de vie sans vieillissement.
Statistique et simulation
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On introduit la notation n !
L’élève devra savoir retrouver les formules = +
=
La simulation de tirages avec remise proposée comme activité algorithmique.
On appliquera ces résultats à des situations variées.
Application à la désintégration radioactive : loi exponentielle de désintégration des noyaux.
Étude d'un exemple traitant de l'adéquation de données expérimentales à une loi équirépartie.
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Le symbole peut être désigné par la locution "p parmi n".
Pour les dénombrements intervenant dans les problèmes, on en restera à des situations élémentaires résolubles à l'aide d'arbres, de diagrammes ou de combinaisons.
La formule donnant l'espérance sera conjecturée puis admise ; la formule de la variance sera admise.
Ce paragraphe est une application de ce qui aura été fait en début d'année sur l'exponentielle et le calcul intégral. L'élève devra être capable de poser le problème de l'adéquation à une loi équirépartie et de se reporter à des résultats de simulation qu'on lui fournit. Le vocabulaire des tests (test d'hypothèse, hypothèse nulle, risque de première espèce) est hors programme.
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II.3 GÉOMÉTRIE
L'objectif de ce paragraphe est d'entretenir la pratique des objets usuels du plan et de l'espace et de fournir quelques notions nouvelles permettant de parfaire l'approche entreprise dans les classes antérieures sur la géométrie vectorielle ou repérée. Dans le prolongement du repérage polaire introduit en première, les nombres complexes, outre leur intérêt historique, algébrique et interdisciplinaire pour la poursuite des études, fournissent un outil efficace dans les problèmes faisant intervenir les transformations planes. L'extension à l'espace du calcul vectoriel et du produit scalaire permet de résoudre de nouveaux problèmes et, de ce fait, d'approfondir la vision de l'espace.
Bien que, comme dans les programmes antérieurs, le libellé de cette partie soit relativement concis, on prendra le temps de mettre en œuvre toutes les connaissances de géométrie de l'ensemble du cursus scolaire pour l'étude de configurations du plan ou de l'espace, le calcul de distances, d'angles, d'aires et de volumes, etc. Ces travaux seront répartis tout au long de l'année afin que les élèves acquièrent une certaine familiarité avec le domaine géométrique ; on privilégiera les problèmes dont les procédés de résolution peuvent avoir valeur de méthode et on entraînera les élèves à choisir l'outil de résolution le plus pertinent parmi ceux dont ils disposent (propriétés des configurations, calcul vectoriel, calcul barycentrique, transformations, nombres complexes, géométrie analytique).
CONTENUS
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MODALITÉS DE MISE EN ŒUVRE
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COMMENTAIRES
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Géométrie plane : nombres complexes
Le plan complexe : affixe d'un point ; parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe. Conjugué d'un nombre complexe. Somme, produit, quotient de nombres complexes.
Module et argument d'un nombre complexe ;
module et argument d'un produit,
d'un quotient.
Écriture  = cos + i sin.
Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels.
Interprétation géométrique de
z z' avec z' = z+b ou
z'- w =k(z-w) avec k réel non nul, ou z'- w =  (z-w).
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Le vocabulaire sera introduit à partir de considérations géométriques.
On retrouvera à cette occasion la notion de coordonnées polaires et celle, sous-jacente, d'équation paramétrique d'un cercle (sous la forme z =  + rou x =  + rcos , y= + rsin ).
La notation exponentielle sera introduite après avoir montré que la fonction
cos + i sin vérifie l'équation fonctionnelle caractéristique des fonctions exponentielles.
On utilisera les nombres complexes
pour traiter des exemples simples
de configurations et résoudre des problèmes faisant intervenir des translations, des rotations, des homothéties.
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La vision des nombres complexes est d'abord géométrique : calculs sur des points du plan. Les repérages cartésien et polaire introduits en première conduisent naturellement à deux écritures d'un nombre complexe. L'objectif est ensuite de montrer la puissance de ce calcul dans les problèmes de géométrie.
On introduira dans ce chapitre quelques éléments lui donnant une dimension historique.
Les nombres complexes permettent de retrouver et de mémoriser les formules trigonométriques d'addition et de duplication vues en première.
On exploitera à la fois les possibilités offertes par les nombres complexes et les raisonnements géométriques directs qui réactivent les connaissances antérieures, notamment sur les transformations du plan.
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Calcul vectoriel dans l'espace
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On étendra à l’espace les opérations sur les vecteurs du plan. On introduira la notion de vecteurs coplanaires.
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Produit scalaire dans l'espace
Rappels sur le produit scalaire dans le plan. Définition du produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace. Propriétés, expression en repère orthonormal.
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Expression en repère orthonormal de la distance d'un point à une droite dans le plan.
Plan orthogonal à un vecteur passant par un point. Equation cartésienne en repère orthonormal. Expression de la distance à un plan.
Inéquation définissant un demi-espace.
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On généralisera aux vecteurs de l'espace la définition du produit scalaire donnée dans le plan ; à cette occasion, on présentera la projection orthogonale sur une droite ou sur un plan.
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Droites et plans dans l'espace
Définition de deux droites orthogonales, d’une droite orthogonale à un plan
Caractérisation barycentrique d'une droite, d'un plan, d'un segment, d'un triangle.
Représentation paramétrique d'une droite de l'espace.
Intersection de deux plans, d'une droite et d'un plan, de trois plans. Discussion géométrique ; discussion algébrique.
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On reprendra les problèmes d'alignement et de concours déjà abordés en classe de première.
On fera clairement apparaître que les problèmes géométriques considérés ici sont aussi l'étude des systèmes d'équations linéaires, que l'on résoudra algébriquement. On traitera aussi quelques situations numériques (issues de l'analyse, de situations économiques ou autres) s'y ramenant.
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Les élèves doivent aussi savoir qu'une droite de l'espace peut être représentée par un système de deux équations linéaires.
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