Programme de TS
INTRODUCTION
Le programme de terminale S s'inscrit dans la continuité de celui de première et il en reprend de ce fait les éléments. La classe terminale signe la fin des études secondaires ; son contenu doit donc répondre à une double exigence :
s'inscrire dans la cohérence des connaissances transmises aux élèves dans leur cursus scolaire,
ouvrir à des horizons neufs et variés.
Les formations supérieures sont naturellement diverses et offrent aux mathématiques une place variable. Dans certaines filières, elles seront une matière centrale et pour toutes un outil de modélisation et de calcul. La réussite des jeunes étudiants dépendra donc crucialement de leur maîtrise des sciences mathématiques ; pour les préparer, le programme prend en compte les évolutions de la discipline et différentes demandes qui sont l'expression des besoins mathématiques croissants de notre société. Les élèves à qui ce programme est destiné ont grandi dans un environnement technologique, qui façonne leur comportement et leurs valeurs et crée des centres d'intérêt profondément nouveaux. La puissance d'investigation des outils informatiques et l'existence de calculatrices performantes dont la plupart des élèves disposent sont des progrès bienvenus, et leur l'impact sur la pédagogie des mathématiques est considérable. Il faut accompagner cette évolution, notamment en utilisant ces outils dans les phases de découverte et d'observation par les élèves. Certains éléments (par exemple les équations différentielles ou la statistique) apparaissent immédiatement utiles aux autres disciplines scientifiques. Mais utile ne signifie pas utilitaire. Les mathématiques, science du calcul, ne sont pas que cela, et il est important que les élèves comprennent qu'elles sont aussi une école de rigueur qui exige une pensée claire. Il faut pour cela maintenir l'équilibre entre l'entraînement au calcul et la réflexion, également indispensables au progrès mathématique, et donc présenter, dans le cadre nécessairement modeste du programme, des démonstrations qui nourrissent cette réflexion. Les élèves pourront ainsi expliciter des raisonnements sans se limiter à quelques démarches stéréotypées, voir clairement la différence entre ce qu'on établit et ce qui est provisoirement admis et comprendre comment les mathématiques se construisent.
Un programme doit se limiter à ce qui peut être effectivement enseigné dans le temps imparti. Or le cursus en mathématiques des élèves qui accèdent maintenant à la classe terminale est différent de celui des générations antérieures. Son contenu réaliste tient compte de cette situation. Il permettra au professeur d'enseigner toutes les notions du programme, et de prendre le temps d'approfondir les concepts importants et d'éveiller la curiosité de ses élèves. Certains théorèmes du programme sont admis. Il convient alors d'en faire assimiler le contenu en montrant comment ils s'appliquent, et en considérant éventuellement des cas particuliers dont on peut faire la démonstration. Certaines propriétés sont considérées comme règles opératoires (par exemple, si deux fonctions admettent une limite en un point, la limite de leur somme est la somme de leurs limites). Dire qu'une propriété est utilisée comme règle opératoire signifie qu'on n'est pas tenu d'en justifier l'usage dans une démonstration ou dans un calcul.
Ce programme est complété par un document d'accompagnement : celui-ci en explicite certaines intentions et propose des pistes de mise en œuvre.
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
Il est demandé d'introduire la fonction exponentielle très tôt dans l'année, dans un souci de cohérence entre les enseignements de mathématiques, de physique-chimie et de sciences de la vie et de la Terre. Pour l'introduction des autres concepts, l'enseignant reste libre de l'ordre de présentation.
À titre indicatif, la répartition horaire entre les différents chapitres peut être : analyse 45 % (environ 14 semaines), géométrie 35 % (environ 11 semaines), probabilité et statistique 20 % (environ 6 semaines).
II.l Analyse
Deux objectifs majeurs fédèrent les éléments de ce chapitre :
l'extension du champ des suites et des fonctions vues en classe de première à quelques nouvelles fonctions classiques : exponentielles, logarithmes, trigonométriques (telle la fonction tangente) ou faisant intervenir des radicaux ;
l'initiation au calcul intégral et à la problématique des équations différentielles : la présence de ces dernières, bien que modeste dans le libellé du programme, est fondamentale pour amener à la compréhension de la puissance des mathématiques pour la modélisation ; un travail conjoint avec les autres disciplines favorisera cet objectif.
L'étude des suites et fonctions sera motivées par la résolution de problèmes : elle n'est pas une fin en soi. Ces problèmes pourront être d'origine mathématique, physique, biologique, économique ou autre et amèneront à des recherches d'extrema, des comparaisons de fonctions, des résolutions graphiques d'équations ou d'inéquations, etc. On privilégiera les problèmes mettant en jeu des liens entre une fonction et sa dérivée première ou seconde. On pourra remarquer en parti culier que certains phénomènes peuvent être étudiés soit en temps discret - à l'aide d'une suite -, soit en temps continu - à l'aide d'une fonction (évolution d'un capital par exemple).
Une bonne maîtrise des fonctions classiques (dérivées, extrema, comportements asymptotiques, courbes représentatives) est nécessaire ; elle doit permettre une certaine aisance dans les problèmes qui les mettent en jeu.
La notion de continuité est introduite et permet de disposer du langage nécessaire pour énoncer les théorèmes de façon satisfaisante. L'étude théorique de la continuité des fonctions classiques est exclue.
Dans le cadre de la résolution de problèmes, l'étude d'une fonction se limitera le plus souvent à un intervalle.
CONTENUS
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MODALITÉS DE MISE EN ŒUVRE
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COMMENTAIRES
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Limites de suites et de fonctions
Rappel de la définition de la limite d'une suite. Extension à la limite finie ou infinie d'une fonction en +∞ ou - ∞.
Notion de limite finie ou infinie d'une fonction en un réel a.
Théorème "des gendarmes" pour les fonctions.
Limites de la somme, du produit, du quotient de deux suites ou de deux fonctions ; limite de la composée de deux fonctions, de la composée d'une suite et d'une fonction.
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Pour exprimer que f(x) tend vers L quand x tend vers +∞, on dira que : "tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand." On montrera qu'une suite croissante non majorée tend vers l'infini. On reverra à cette occasion la notion d'asymptote oblique, en se limitant aux fonctions se mettant sous la forme ax+b+h(x), où h tend vers 0 à l'infini. On montrera sur des exemples que l'étude sur calculatrice ou au tableur d'une suite ou d'une fonction permet de conjecturer des limites qui devront ensuite être justifiées.
On démontrera ce théorème lorsque la variable tend vers l'infini. On étendra ce théorème au cas des limites infinies.
On complétera les résultats énoncés en classe de première ; on se bornera à une justification intuitive (calculatoire ou graphique).
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Il s'agit de prolonger le travail fait en première sur les suites. L'expression "pour x assez grand" est l'analogue pour les fonctions de l'expression "à partir d'un certain rang" utilisée pour les suites. Pour les limites en un réel a, aucune définition n'est exigée : on reprendra l'approche intuitive adoptée en classe de première. Sur un exemple, on fera le lien entre limite en un réel a et à l'infini. On pourra parler de limite à droite ou à gauche à l'occasion de certains exemples.
Ces propriétés seront appliquées comme règles opératoires.
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Langage de la continuité et tableau de variations
Continuité en un point a.
Continuité d'une fonction sur un intervalle.
Théorème (dit des valeurs intermédiaires): "soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels dans I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k".
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On définira la continuité de f en un point a par  f =f(a) ou  f(a+h)=f(a).
On illustrera la notion de continuité sur un intervalle en parlant de tracé sans lever le crayon. On présentera à titre de contre-exemple le cas de la fonction partie entière.
Ce théorème pourra être admis ou démontré à l'aide de suites adjacentes. On démontrera le corollaire suivant : "si f est une fonction continue strictement monotone sur [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f((b), l'équation f(x)=k a une solution unique dans [a;b]". On étendra ce corollaire au cas où f est définie sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, borné ou non, les limites de f aux bornes de l'intervalle étant supposées connues. On pourra approcher la solution de l'équation f (x)=k par dichotomie ou balayage avec la calculatrice ou au tableur l’ordinateur
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Les fonctions rencontrées en terminale sont le plus souvent continues sur leur intervalle d'étude ; on indiquera clairement que les fonctions construites à partir des fonctions polynômes, trigonométriques, logarithmes ou exponentielles sont continues. Démontrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle n'est pas un objectif du programme.
On conviendra, dans les tableaux de variations, que les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré. Dans la rédaction de la solution à un problème, une simple référence au tableau de variations suffira pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution d'une équation du type f(x)=k.
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Dérivation
Rappels sur les règles de dérivation et sur le lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction. Application à l'étude de la fonction tangente.
Dérivation d'une fonction composée.
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On rappellera en particulier le théorème
suivant qui sera utilisé à propos des primitives : une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle.
On fera remarquer que toute fonction
dérivable est continue.
Écriture différentielle dy=f(x)dx.
Le principe de la démonstration sera indiqué La notation différentielle est ici un moyen mnémotechnique de retrouver la formule.
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On se contentera d'expliquer que l'écriture différentielle exprime symboliquement l'égalité:
y =f(x) x + (x),
où tend vers zéro avec x.
À l'occasion des exercices, on rencontre des relations entre grandeurs de la forme x=f(t), y=g(x), v=u(t) etc., où t représente un temps, x et y des longueurs, v une vitesse : dans ces conditions,
f ’(t) est une vitesse, g'(x) est un nombre et u'(t) une accélération, ce que l'écriture différentielle met en valeur.
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Introduction de la fonction exponentielle
Étude de l'équation f ’ = kf. Théorème : "il existe une unique fonction f dérivable sur IR telle que f ’= f et f(0) = 1." Relation fonctionnelle caractéristique. Introduction du nombre e. Notation .
Extension du théorème pour l'équation f ’ = kf
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L'étude de ce problème pourra être motivée par un ou deux exemples, dont celui de la radioactivité traité en physique, ou par la recherche des fonctions dérivables f telles que f(x+y)= f (x) f(y).
On construira avec la méthode d'Euler
introduite en première des représentations graphiques approchées de f dans le cas k = 1 ;
on comparera divers tracés obtenus avec
des pas de plus en plus petits.
L'unicité sera démontrée. L'existence sera admise dans un premier temps. Elle sera établie ultérieurement à l'occasion
de la quadrature de l'hyperbole.
Approximation affine, au voisinage
de 0, de h eh.
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Ce travail se fera très tôt dans l'année car il est central dans le programme de mathématiques et de physique. Il fournit un premier contact avec la notion d'équation différentielle et montre comment étudier une fonction dont on ne connaît pas une formule explicite. La méthode d'Euler fait apparaître une suite géométrique et donne l'idée que l'exponentielle est l'analogue continu de la notion de suite géométrique, ce que l'équation fonctionnelle confirme.
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Étude des fonctions logarithmes et exponentielles
Fonction logarithme népérien ; notation ln. Équation fonctionnelle caractéristique. Dérivée; comportement asymptotique.
Fonctions x  pour a>0. Comportement asymptotique ; allure des courbes représentatives.
Croissance comparée des fonctions exponentielles, puissances entières et logarithme.
Fonction racine n-ième
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On mentionnera la fonction logarithme décimal, notée log, pour son utilité dans les autres disciplines et son rapport avec l'écriture décimale des nombres. Approximation affine, au voisinage de 0, de h ln(1+h).
On positionnera, à l'aide d'un grapheur, les courbes représentatives de x et de x lnx par rapport à celles des fonctions x xn.
On établira la limite en +∞ de  et de  ; on en déduira la limite en -∞ de xex ; on aboutira aux règles opératoires : "à l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x" et "les puissances de x l'emportent sur le logarithme de x".
On étudiera les fonctions x e-kx,
ou x  , avec k>0, et on illustrera leur décroissance rapide.
La racine n-ième sera introduite et expliquée ; on utilisera aussi la notation 
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Le mode d'introduction du logarithme n'est pas imposé. On peut, pour l'introduire :
-soit partir des propriétés des fonctions exponentielles ;
-soit poser le problème des fonctions dérivables sur IR+* telles que f (xy)= f (x)+ f (y) et admettre l'existence de primitives pour la fonction x  ;
-soit traiter le logarithme après l'intégration.
À travers des exemples, on étendra ces règles au cas des polynômes (comme pour
la fonction x  )
Ces fonctions sont très utilisées
en probabilité et en statistique, en théorie du signal etc.
On pourra aborder lors de l'étude de problèmes des fonctions du type x  (avec réel) ; l'étude générale de ces fonctions est hors programme.
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Suites et récurrence
Raisonnement par récurrence
Suite monotone, majorée, minorée, bornée.
Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes.
Théorème de convergence des suites croissantes majorées
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On choisira des exemples permettant d'introduire le vocabulaire usuel des suites et nécessitant l'utilisation de raisonnements par récurrence. On s'appuiera sur un traitement tant numérique (avec outils de calcul : calculatrice ou ordinateur) que graphique ou algébrique.
On étudiera numériquement sur un ou deux exemples, la rapidité de convergence d'une suite (un) vers sa limite L , en complétant l'étude sur tableur calculatrice ou ordinateur par des encadrements de (un-L) On traitera quelques problèmes menant à l'étude de suites définies par un+1=aun+b.
Ce pourra être l’occasion d’écrire un programme de calcul mesurant la vitesse de convergence.
La notion de suites adjacentes sera introduite en liaison avec le calcul intégral : encadrements d'aires (par exemple aire d'un cercle par la méthode d'Archimède, aire sous une parabole). On montrera le lien avec l'écriture décimale d'un réel.
Calcul d’une solution d’une équation f(x) = 0 par un algorithme dichotomique.
Calculs d’aires.
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On présentera le principe de récurrence comme un axiome.
On étudiera expérimentalement des suites définies par une relation de récurrence.
Aucune notion théorique de rapidité de convergence n'est au programme.
On fera le lien avec la méthode de dichotomie.
L'objectif est d'enrichir la vision des nombres réels et d'indiquer l'importance des suites adjacentes dans le problème de la mesure des grandeurs géométriques ou physiques.
L'étude de suites un+1= f (un) pour approcher une solution de l'équation f (x)=x n'est pas un objectif du programme : la dichotomie, le balayage suffisent au niveau de la terminale pour des problèmes nécessitant de telles approximations.
L'équivalence avec le théorème des suites adjacentes pourra faire l'objet d'un problème.
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Intégration
Pour une fonction f continue positive sur [a,b], introduction de la notation 
comme aire sous la courbe.
Valeur moyenne d'une telle fonction.
Extension à l'intégrale et à la valeur moyenne d'une fonction de signe quelconque
Linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles.
Inégalité de la moyenne.
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On indiquera que l'aire sous la courbe peut être approchée en l'encadrant par deux suites adjacentes construites en quadrillant le plan de plus en plus finement
Exemple où la fonction intégrée est en
escalier. Exemple de la parabole : on fera apparaître l'intégrale comme limite
de sommes et on admettra que cette situation est généralisable.
On indiquera la convention de signe sur un intervalle où f est négative et on en déduira le cas général ; on pourra aussi ajouter une constante à f pour la rendre positive.
On interprétera ces propriétés en terme d'aire ou en terme de valeur moyenne pour les rendre conformes à l'intuition.
On illustrera l'intérêt de l'intégrale par diverses situations, entre autres :
-expression intégrale de la distance parcourue sur une droite par un point mobile dont on connaît la vitesse instantanée ;
-expression intégrale du volume d'un solide dont on connaît les aires des sections avec les plans d'équation
z =constante ;
-calculs de probabilités d'intervalles pour des lois de probabilités à densité.
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Les élèves ont une notion intuitive d'aire (avec la propriété d'additivité) et savent calculer certaines aires élémentaires ; l'objectif est de leur donner un aperçu de la définition et du calcul de l'aire de domaines plans liés aux fonctions ; tout développement théorique est exclu.
Cette extension doit être faite brièvement. Cette convention de signe prendra tout son sens lors de l'étude de .
Les propriétés générales de l'intégrale seront rapidement commentées et admises ; les élèves s'en serviront comme règles opératoires.
Ce travail est une façon de préparer le théorème liant intégral et primitif, particulièrement frappant dans le cas du point mobile.
Aucune connaissance théorique n'est exigible sur ces activités de modélisation. Dans les problèmes, les expressions intégrales seront toujours données. En lien avec la physique, on mentionnera le problème des unités : si x et y sont deux grandeurs liées par une relation y= f (x), l'intégrale est une grandeur homogène au produit des grandeurs xy tandis que la valeur moyenne est homogène à y.
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Intégration et dérivation
Notion de primitive.
Théorème : "si f est continue sur un intervalle I, et si a est un point de I, la fonction F telle que F(x) = est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a."
Calcul de
à l'aide d'une primitive de f.
Intégration par parties
Exemple de tracé de la courbe approchée de la primitive d’une fonction par la méthode d’Euler.
Intégration par parties
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On démontrera que F est une primitive de f dans le cas où f est continue et croissante, et on admettra le cas général.
Tableau primitives-dérivées des fonctions usuelles (fonctions x  ,
x  , x lnx, x ex, sinus, cosinus).
Application de la dérivation des fonctions composées à la primitivation de  , u'e, u'
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L'intégration permet d'établir l'existence des primitives des fonctions continues et d'en donner des méthodes numériques de calcul ; inversement, la connaissance d'une primitive d'une fonction continue donne une formule explicite pour le calcul des intégrales : les élèves devront percevoir l'intérêt de cette double démarche. L'existence d'une solution de l'équation y'=f (t), admise en première est ainsi justifiée ; de même, est justifiée l'existence du logarithme : celle de sa fonction réciproque en découle alors. La volonté d'introduire rapidement la fonction exponentielle pour la physique aura conduit à admettre un théorème d'existence en début d'année, qui se trouve ici justifié.
On se limitera à des cas simples où l'élève aura à trouver lui-même le recours à la technique d'intégration par parties.
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Équations différentielles y'=ay+b
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On démontrera l'existence et l'unicité de la solution passant par un point donné.
On étudiera quelques problèmes où interviennent des équations différentielles se ramenant à y'=ay+b.
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Ce paragraphe, déjà abordé lors de l'introduction de la fonction exponentielle, pourra être réparti sur l'ensemble de l'année.
On fera le lien avec l'étude de ces
équations en physique ; on définira le temps caractéristique
t =  pour a < 0.
Les indications utiles pour se ramener à y'=ay+b doivent être données.
Des solutions de l'équation
y"+ 2y = 0 seront introduites en cours de physique.
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