GEOMETRIE |
Contenus/ Notions | Attentes dans les Compétences à Développer | Suggestions d’activités d’enseignement/ apprentissage |
Géométrie dans l’espace :
Les solides (cubes, parallélépipède rectangle, pyramide régulière, sphère, cône de révolution, cylindre et prisme droit) ; leurs représentations en perspective cavalière,
Sections planes,
Volumes, aires.
| Représenter les solides en perspective cavalière. Se prononcer sur la nature de la section d’une sphère par un plan. Etant donnés le rayon d’une sphère et la distance au centre de la sphère d’un plan qui la coupe, placer le centre du cercle de section et calculer son rayon. Représenter une sphère et certains de ses grands cercles. Se prononcer sur la nature de la section d’un cube, d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête. Se prononcer sur la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe. Représenter et déterminer les sections d’un cône et d’une pyramide par un plan parallèle ou perpendiculaire à sa base. Déterminer le volume d’un solide, l’aire d’une sphère ou d’un cylindre. |
Utilisation des solides de forme régulière
Manipulations avec des solides ou des constructions à partir de patrons permettront d’illustrer la nature des sections planes rencontrées. Des softwares dynamiques comme Géogébra peuvent être utilisés pour visualiser les différentes perspectives.
Dans les activités sur la sphère, le professeur fera le lien avec la sphère terrestre.
Pour les sections d’une pyramide ou d’un cône par un plan perpendiculaire à sa base, on se limitera au cas où le plan passe par le sommet du cône ou de la pyramide.
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Angles inscrits dans un cercle :
Définition, vocabulaire,
Propriétés : angle inscrit et angle au centre, angles inscrits interceptant le même arc.
| Comparer un angle inscrit avec l’angle au centre qui intercepte le même arc. | Généralisation du résultat à l’angle droit.
Application des angles d’un polygone régulier et d’un quadrilatère inscriptible.
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Trigonométrie dans le triangle rectangle :
Rapports trigonométriques d’un angle aigu,
Propriétés : calculs dans le triangle rectangle,
Rapports trigonométriques des angles, lecture de table, angles de 30°, 45°, 60°.
| Maitriser les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle. Déterminer des valeurs approchées du sinus, cosinus ou tangente d’un angle ou de l’angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente (à l’aide de tables ou la calculatrice). Connaître les rapports trigonométriques des angles usuels. |
Introduction du sinus et du cosinus comme rapports de longueurs. L’unité utilisée sera le degré décimal.
Multiplication des exercices de calcul de mesure de côtés d’un triangle rectangle en utilisant les formules trigonométriques et/ou la formule de Pythagore.
Application de formules de la somme des carrés du cosinus et du sinus d’un angle, relation entre le cosinus et le sinus de deux angles complémentaires.
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Les vecteurs :
Définition, égalité, coordonnées, somme.
Multiplication d’un vecteur par un réel :
Définition, propriétés, vecteurs colinéaires, vecteurs directeurs d’une droite.
Coordonnées d’un vecteur :
Définition, coordonnées d’une somme, du produit d’un vecteur par un réel,
Condition de colinéarité de deux vecteurs,
Condition d’orthogonalité,
Norme d’un vecteur,
Distance de deux points.
| Lire sur un graphique les coordonnées d’un vecteur. Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Calculer les coordonnées d’un vecteur connaissant les coordonnées des extrémités de l’un de ses représentants. Investiguer l’alignement de trois points.
Investiguer le parallélisme de deux droites
Calculer la norme d’un vecteur et la distance de deux points. Calculer les coordonnées du milieu d’un bipoint. Investiguer la colinéarité ou l’orthogonalité de deux vecteurs. |
Rappel sur les acquis de la 9ème année du fondamental sur le parallélogramme et la translation.
Représentation d’un vecteur à partir d’une direction, d’un sens et d’une longueur (cf. cours de physique). AA
Mise en évidence de l’égalité de deux vecteurs  et  à l’aide des milieux de [AD] et [BC].
Liaison de la somme de deux vecteurs avec la composition de deux translations.
Introduction du vecteur nul :  = … ainsi que l’opposé d’un vecteur et la différence de deux vecteurs.
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Symétrie orthogonale, symétrie centrale :
Rappels des définitions et propriétés,
Image d’un point, d’une figure simple,
Image par la composée de deux symétries centrales ou orthogonales d’axes // ou .
Translation :
Rappels des définitions et propriétés,
Image d’un point, d’une figure simple,
Image par la composée de 2 translations.
Rotation, homothétie :
Définition,
Images d’un point, image d’un segment,
Agrandissement, réduction.
| Construire l’image d’un point et d’une figure simple (segment, droite) par une symétrie centrale, une symétrie orthogonale, une translation, une rotation, une homothétie, la composée de deux applications du plan.
Déterminer et caractériser l’image d’une figure par deux symétries centrales de centres différents ou par deux symétries orthogonales d’axes parallèles.
Déterminer et caractériser l’image d’une figure par deux symétries orthogonales d’axes perpendiculaires.
Construire l’image d’un point, d’un segment par une homothétie ou une rotation.
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Des activités de construction permettront de conjecturer le résultat de composition de deux symétries (centrales ou orthogonales). Ce sera l’occasion de revoir la configuration des milieux dans un triangle.
Les activités porteront sur un travail expérimental permettant d’obtenir un inventaire abondant de figures à partir desquelles seront dégagées des propriétés d’une rotation (conservation des longueurs, des alignements, des angles, des aires).
La construction de l’image d’un point ou d’un segment par une homothétie sera l’occasion de faire le lien avec les vecteurs colinéaires et la propriété de Thalès.
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Rappel sur la notion de projection.
Propriété de Thalès :
Propriété directe et réciproque, cas particulier du triangle,
Triangles semblables.
| Utiliser dans une situation donnée les deux théorèmes suivants : 1. d et d’ sont deux droites sécantes en A ; B et M deux points de d distincts de A ; C et N deux points de d’ distincts de A. si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors : =  =  . 2. Si  = et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles ;
connaître le résultat dans le cas général :
deux droites parallèles découpent des segments de mesures proportionnelles sur deux droites qui leur sont sécantes ; appliquer ce résultat.
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Etude de la propriété de Thalès sera l’occasion de traiter des situations de proportionnalité dans le cadre géométrique du plan et de l’espace. La réciproque est formulée en tenant compte de l’ordre relatif des points de chaque droite.
Construction de points définis par des rapports de longueurs permet de mettre en évidence l’importance de la position relative de ces points sur la droite.
Démonstration de la propriété de Thalès à partir de deux points A et B, construire les points C de la droite (AB) sachant que le rapport  a une valeur donnée sous forme de quotient d’entiers.
Utilisation de la propriété de Thalès
Calcul des distances
Démonstration d’un parallélisme de droites
Reconnaissance des triangles semblables, ….
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