P artie a : pendule simple.(10 points)








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Correction compo 2




Partie A : pendule simple.(10 points)



On étudie un pendule simple constitué d’un objet de masse m considéré comme ponctuel, attachée à l’une des extrémités d’un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur L.

C
L cos
e pendule est placé dans le champ de pesanteur dans
le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

L
ZG

’autre extrémité du fil est attachée en un point fixe A. Écarté de sa position d’équilibre G0, le pendule oscille
sans frottements avec une amplitude m.


Gi est la position initiale à partir de laquelle le pendule
est abandonné sans vitesse.


Une position quelconque G est repérée par  ,
élongation angulaire mesurée à partir de la position d’équilibre.



  1. Étude énergétique.

On prendra l’origine des énergies potentielles en G0, origine de l’axe des z.

    1. Donner l’expression de l’énergie cinétique en G. (0,5 point)


Le système étudié est l’objet de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

L'énergie cinétique en G de la masse m animée de la vitesse vG est: EC = (0,5 point)


    1. Montrer que l’expression de l’énergie potentielle en G est EP = mgL(1 – cos ). (1 point)

Par définition : Ep=m.gzG (0,5 point)
avec zG= L – L cos (voir schéma) (0,5 point pour la justification)
Donc EP = mgL(1 – cos)


    1. Donner l’expression de l’énergie mécanique. (1 point)

L'énergie mécanique du pendule simple en G est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur : (0,5 point)

Em = EC + EP

Em = + m.g.L.(1 – cos  ) (0,5 point)

    1. Faire le bilan des forces appliquées à l’objet considéré comme ponctuel. (1 point)

Les forces appliquées à l’objet sont : le poids de l’objet (0,5 point), la tension du fil .(0,5 point)


    1. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que l’énergie mécanique se conserve.

(2 points)

D’après le théorème de l’énergie cinétique entre deux positions G1et G2 de l’objet ponctuel : (0,5 point)

Or est orthogonale au mouvement à chaque instant donc =0(0,5 point)

(0,5 point pour travail du poids)

(0,5 point)


    1. Exprimer la vitesse au passage par la position d’équilibre G0 en fonction de g, L et m. (1,5 point)

L'énergie mécanique étant une constante du mouvement, on peut écrire entre les positions G0 et Gi:

Em(G0) = Em(Gi) (0,5 point)

+ m.g.L.(1 – cos 0 ) = + m.g.L.(1 – cos m )

Or: cos 0 = cos(0) = 1 donc m.g.L.(1 – cos 0 ) = 0 J (0,5 point pour justifications)

et = 0 m.s-1 car pour  = m le pendule est abandonné sans vitesse.

soit = m.g.L.(1 – cosm )

en simplifiant par m:

(0,5 point)



    1. Calculer sa valeur. Données : g = 10 m.s–2 ; L = 1,0 m ; cosm = 0,95. (0,5 point)

= 1,0 m.s-1. (0,5 point)


  1. Isochronisme.

    1. Énoncer la loi d’isochronisme des petites oscillations. (0,5 point)

Dans le cas des "petites oscillations" la période du pendule est indépendante de l'amplitude m. (0,5 point)


    1. Montrer qu’une seule de ces expressions est dimensionnellement correcte :

T0 = 2 T0 = 2 T0 = 2 (2 points)

On a: [T0] = T

[g] = L.T–2 car g est homogène à une accélération (0,5 point pour les dimensions)

[L] = L

[m] = 1 et [] = 1 car un angle n'a pas de dimension physique

[m] = M

  • expression T0 = 2 :

on a: [T0] = donc [T0] = finalement [T0] = T–1

La période n'est pas homogène à une durée, cette expression ne convient pas. (0,5 point)

  • expression: T0 = 2

on a: [T0] = donc [T0] = = L–1/2

La période n'est pas homogène à une durée, cette expression ne convient pas. (0,5 point)

  • expression: T0 = 2

on a: [T0] = donc [T0] = = = T.

La période est homogène à une durée, cette expression convient. (0,5 point)
Finalement la seule expression correcte est: T0 = 2

Partie B : Système solide-ressort.( 30 points)

Un solide (S) de masse m, de centre d’inertie G, peut glisser sans frottements sur une tige horizontale. Il est accroché à un ressort à spires non jointives, de raideur k = 4,0 N.m-1. L’ensemble constitue un oscillateur élastique horizontal, non amorti.

La masse du ressort est négligeable devant m et (S) entoure la tige de telle sorte que G se trouve sur l’axe de celle-ci (voir schéma page suivante).

On étudie le mouvement de translation du solide (S) dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Lorsque le solide (S) est à l’équilibre, son centre d’inertie G se situe à la verticale du point O, origine de l’axe des abscisses. Le solide est écarté de 10 cm de sa position d’équilibre et abandonné sans vitesse initiale à la date t = 0 s.
Dispositif expérimental :


On procède à l’enregistrement des positions successives de G au cours du temps par un dispositif approprié. On obtient la courbe 1 ci-dessous :


T0




Xm



  1. Étude dynamique en l’absence de frottements.

    1. Nommer les forces en G s’exerçant sur le solide (S) puis les représenter, sans souci d’échelle, sur l’annexe.(2 points)


Le solide est soumis à trois forces:

- son poids = m. (0.5 pt)

- la force de rappel du ressort ici x>0 donc est opposée à . (0.5 point+0.5 pt)

- la réaction normale de la tige, (0.5 pt)




    1. En appliquant la deuxième loi de Newton au solide (S), établir l’équation différentielle régissant le mouvement de son centre d’inertie G. (2,5 points)

Le système étudié est le solide (S) dans le référentiel terrestre supposé galiléen. (0.5 pt)

D’après la deuxième loi de Newton appliquée au solide (S): + + = m. (0.5 pt)

En projetant selon l'axe (Ox) : (0.5 pt) 0 – k.x + 0 = m.ax

Or par définition ax =(0.5 pt)

Alors – k.x = m.

Finalement: + (1) (0.5 pt)
La solution de l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme :

x(t) = Xm cos(+ ). (Xm est l’amplitude et  la phase à l’origine)


    1. En vous aidant de la courbe 1, déterminer les valeurs de Xm, ,T0 et .(1,5 point)

D’après la courbe 1 (voir courbe ci-dessus) et le texte : l’amplitude des oscillations est Xm =10 cm et la période des oscillations est T0=1,00 s

Pour t=0 s, x(t) = Xm cos(+ )=0 donc cos( )=0 et donc φ=0 (ou φ=π) (0.5 pt par réponse)

Remarque :

Pour déterminer φ, on doit s’intéresser au signe de la vitesse v=or est le coefficient directeur de la tangente à la courbe.
On a = –Xm. .sin(+ ).
Pour 0<0 donc sin(+ )>0 et donc φ=0

On a donc x(t) = 10 .cos()



    1. En vous aidant de la question1.2, retrouver l’expression de la période T0 en fonction de m et de k. (2 points)

Exprimons la dérivée de x(t): (0.5 pt)

= –Xm. .sin(+ )
Exprimons la dérivée seconde de x(t): (0.5 pt+0.5 pt)

= –Xm. .cos(+ ) = – . x(t)

Donc l’équation différentielle du mouvement s’écrit + . x(t) = 0 ( 2)

En identifiant les équations (1) et (2), = et (0.5 pt)


    1. Calculer la valeur approchée de la masse m du solide (S). Données : π2≈10. (1 point)


A.N (0.5 pt expression+0.5 pt A.N)

La masse approchée du solide est 100 g


  1. Étude énergétique en l’absence de frottements.

Quand un élève déplace le centre d’inertie du solide de la position x = 0 à la position x = Xm, il effectue un travail et fournit au système de l’énergie potentielle élastique.

    1. Donner l'expression du travail élémentaire dW de la force exercée par l'élève au cours du déplacement élémentaire .(0,5 point)



Travail élémentaire : dW =
Sur le schéma ci-contre, pour plus de clarté, le solide n’est pas représenté.


    1. Montrer que dans le cas présent, ce travail élémentaire se met sous la forme dW = k.x.dx. (1,5 point)

La force exercée par l'élève pour étirer le ressort est égale et opposée à la force de rappel du ressort.

(0.5 pt)

On a donc = – = k.x. (0.5 pt)

et =dx.

donc dW = ( k.x.). dx. et . = 1(0.5 pt)
dW = k.x.dx

    1. Par une méthode de votre choix, vérifier que le système acquiert au cours du déplacement, une énergie potentielle élastique Epel =kXm2. (2 points)


Par intégration :

W () = = k = k.= (1.5 pt)
L’élève effectue un travail W() et fournit au système de l’énergie potentielle élastique EPel. (0.5 pt)

EPel = W()

EPel = =
Méthode graphique: Le travail élémentaire dW = k.x.dx correspond à l'aire du petit rectangle, en noir, de hauteur k.x et de largeur dx.

Le travail W est la somme de tous les travaux élémentaires dW donc W =dW.

Graphiquement W représente l'aire du triangle (en gris) sous la droite FE = k.x, de hauteur k.XM et de largeur XM soit :

W() ==

W() =

On a EPel = W()
EPel = =


    1. Pourquoi ne peut-on pas utiliser dans ce cas l’expression  ? (1 point)

On ne peut-on pas utiliser dans ce cas l’expression car la force de rappel n'est pas constante (0.5 pt)au cours du déplacement : sa valeur dépend de x(0.5 pt).


    1. Donner l’expression littérale de l’énergie mécanique du système {ressort + solide}, en fonction de k, m, x et v la valeur de la vitesse du centre d’inertie G dans le référentiel terrestre. (2 points)

L'énergie mécanique du système solide ressort est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle élastique : Em = EC + EPel (0.5 pt)

D’après la question 2.3, l’énergie potentielle élastique pour un allongement x est : EPel =(0.5 pt)

L'énergie cinétique du système de masse m animée de la vitesse v est: EC = (0.5 pt)

(0.5 pt)



    1. En dérivant par rapport au temps l’expression trouvée en 2.5 et en appliquant la propriété vérifiée par l’énergie mécanique, retrouver l’équation différentielle trouvée en 1.2. (2,5 points)

v et x sont des fonctions dépendantes du temps.

En dérivant l’expression par rapport au temps : (1 pt)


Le mouvement étant horizontal donc et (0.5 pt)
Sachant que l’énergie mécanique se conserve, en l’absence de frottements, Em=cte donc 0(0.5 pt)

(0.5 pt)
En simplifiant par , on retrouve l’équation différentielle du mouvement :

Soit vm la valeur maximale de la vitesse atteinte par le centre d’inertie G pour les oscillations d’amplitude Xm étudiées.

    1. En traduisant la propriété de l’énergie mécanique donnée au 2.5, montrer que : vm(2,5 points)

L’énergie mécanique se conserve, en l’absence de frottements, Em=cte. (0.5 pt)


En O : (0.5 pt)

La vitesse du système prend une valeur maximale, l’énergie cinétique est alors

L’allongement du ressort est alors nul donc l’énergie potentielle est nulle aussi : 0
En Gmax position d’amplitude maximale positive: (0.5 pt)
La vitesse du système prend une valeur nulle, l’énergie cinétique est alors

L’allongement prend alors une valeur maximale Xm donc l’énergie potentielle est :
(0.5 pt)

car vm>0

or (0.5 pt)

donc


    1. Calculer la valeur maximale de la vitesse vm. (0,5 point)




    1. En vous aidant de la courbe 1, indiquer, en le justifiant, dans les cases grisées du graphe n°2 de l’annexe : (2 points)

  • la durée désignée par la double flèche, en fonction de T0 ;

  • Les énergies : Em, EPel et EC.



Em (1)

Epel (2)

Ec (3)
T0/2



  1. L’énergie mécanique se conserve au cours du mouvement. (0.5 pt)

  2. Le solide est écarté de Xm de sa position d’équilibre et abandonné sans vitesse initiale à la date

t = 0 s. L’énergie potentielle est alors maximale. (0.5 pt)

  1. A la date t=0s, le solide est lâché sans vitesse initiale. L’énergie cinétique est alors nulle. (0.5 pt)

L’énergie potentielle est maximale pour x= Xm et x= -Xm, la durée separant ces deux positions est T0/2(0.5 pt)



  1. Étude énergétique en présence de frottements.

Le système solide-ressort est toujours supposé osciller, mais désormais on tient compte des frottements.

    1. De quel régime s’agit-il dans le cas où l’on observe toujours des oscillations bien que l’on ne puisse plus négliger les frottements ? Comment nomme-t-on le temps caractéristique T correspondant ?

(1 point)

On parle alors de régime pseudopériodique car l’amplitude des oscillations décroit au cours du temps.

Le temps caractéristique T est alors appelé pseudo période. (0.5 pt+0.5 pt)

Soit Em0 la valeur de l’énergie mécanique de l’oscillateur lâché sans vitesse initiale avec un allongement initial Xm.


    1. Établir l’expression de l’énergie mécanique Em0 en fonction de l’allongement maximum initial Xm0. (1 point)

D’après 2.7 :

On constate expérimentalement qu’au bout d’une oscillation, l’amplitude du mouvement est divisée par r (nombre réel positif non nul).

    1. Établir l’expression du rapport de l’énergie mécanique correspondante Em1 sur l’énergie mécanique initiale Em0 en fonction de r. (1,5 point)


D’après le texte : (0.5 pt)et (0.5 pt)

Donc (0.5 pt)



    1. Etablir l’expression du travail des forces de frottements au bout d’une oscillation en fonction de k, Xm et r. (2 points)

Lors d’une oscillation, la perte d’énergie mécanique est du au travail des forces de frottements pendant cette oscillation: (0.5 pt)

(0.5 pt)

et (0.5 pt)donc (0.5 pt)



    1. On mesure . Calculer la valeur du travail des forces de flottements au bout d’une oscillation. (1 point)


(0.5 pt+0.5 pt pour le signe)

On a bien car le travail des forces de frottements est résistant.


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