Concours blanc 05/06

CONCOURS BLANC 05/06

EPREUVE DE PHYSIQUE PSI

LUNDI 27 FEVRIER 2006 - 4 h

I . THERMODYNAMIQUE ( CCP MP 05 )
L'objectif de ce problème est l'étude du fonctionnement stationnaire d'une machine ditherme de réfrigération.
Le cycle représenté, dans un diagramme de Clapeyron, par la figure 1 constitue un modèle de fonctionnement d'une machine de réfrigération dans laquelle une masse m de fluide frigorigène subit les transformations suivantes :

• A B : compression adiabatique dans le compresseur .

• B D : refroidissement et liquéfaction isobares de la vapeur dans le condenseur.

• D E : détente adiabatique et isenthalpique dans le détendeur.

• E A : vaporisation isobare dans l'évaporateur.

Les sources froide _F (intérieur de l'enceinte à réfrigérer) et chaude _C (milieu ambiant) sont assimilées à des thermostats de températures, respectives, T_F et T_C constantes.
Les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle du fluide sont négligeables.

Données : m = 1 kg ; T_F = 278 K ; T_C = 293 K
Enthalpies massiques du fluide frigorigène dans les états représentés par les points A, B et D :

h_A = 390,2 kJ.kg^–1 ; h_B = 448,6 kJ.kg^–1 ; h_D = 286,4 kJ,kg^-1





A- Performances de l'installation
A-l Un système fermé subit une transformation isobare qui le fait évoluer de l'état initial i à l'état final f. Au cours de cette transformation le système reçoit les quantités d'énergie par transfert thermique et par transfert mécanique (travail).

A-1-l Appliquer le premier principe de la thermodynamique à cette transformation.

A-1-2 Etablir la relation entre la variation d'enthalpie du système et .
A-2 On désigne par Q_F et Q_C les quantités d'énergie reçues par le fluide, par transfert thermique, respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude, au cours du cycle défini ci-dessus.

A-2-1 Exprimer Q_F et Q_C en fonction des données.

A-2-2 Calculer Q_F et Q_C.
A-3 On désigne par W l'énergie reçue par le fluide, par transfert mécanique (travail), au cours d'un cycle.

A-3-1 Exprimer W en fonction des données.

A-3-2 Calculer W.
A-4 On désigne par S_F et S_C les valeurs algébriques des entropies échangées par le fluide, respectivement, avec la source froide et la source chaude au cours du cycle.

A-4-1 Exprimer S_F et S_C en fonction des données.

A-4-2 Calculer S_F et S_C.

A-4-3 Calculer l' entropie S_p créée au cours du cycle. Conclusion.
A-5 Calculer l'efficacité  de cette installation.
A-6 Sachant que la puissance P_F à extraire de la source froide pour maintenir sa température constante est de 500 W, calculer le débit massique q_m que l'on doit imposer au fluide frigorigène.

B - Etude de la compression de la vapeur
La vapeur issue de l'évaporateur est comprimée de la pression p_l = 2,008 bar (état A) à la pression p₂ = 16,8l0 bar (état B).

Dans cette partie du problème on admettra que l'on peut assimiler la vapeur à un gaz parfait dont le rapport  des capacités thermiques conserve une valeur constante égale à 1,14 dans le domaine étudié.
B-1 On envisage le cas où cette compression pourrait être supposée adiabatique et réversible.

B-1-1 Etablir la relation que vérifieraient les variables température T et pression p.

B-1-2 Sachant que T_A =263 K, calculer la température T' que l'on atteindrait en fin de compression.
B-2 En réalité la compression A B subie par la vapeur peut être supposée adiabatique mais n'est pas réversible car on ne peut pas négliger les frottements fluides qui se produisent à l'intérieur du compresseur ; de ce fait la température en fin de compression est supérieure à celle calculée précédemment.

La transformation polytropique A B est la transformation réversible qui permettrait au fluide d'évoluer de l'état A à l'état B en recevant, par transfert thermique, une quantité d'énergie Q_f équivalente à celle générée par les frottements internes au cours de la transformation irréversible A  B.

Pour établir la loi d'évolution polytropique, on considère une transformation élémentaire réversible caractérisée par les variations d'énergie interne dU, d'entropie dS et de volume dV. La quantité d'énergie Q_f reçue par le fluide, par transfert thermique, au cours de cette transformation, s'écrit Q_f = adU. Dans cette expression a désigne un facteur qui sera supposé constant dans tout le domaine étudié.

B-2-1 Exprimer dU en fonction de dS et dV.

B-2-2 Montrer qu'au cours de l'évolution polytropique A B les variables pression p et volume V vérifient la relation pV^k = constante dans laquelle k désigne une constante appelée facteur polytropique.

B-2-3 Exprimer k en fonction de a et de y.

C – Détermination des conditions de fonctionnement permettant d’obtenir l’efficacité

maximale.
C-l Préciser la nature du cycle réversible que devrait décrire le fluide afin de parvenir à l'efficacité maximale µ_max de la machine de réfrigération. On indiquera avec précision la nature et le rôle des différentes transformations subies par le fluide au cours de ce cycle.

C-2 Sachant qu'au cours de ce cycle la variation d'entropie massique S_C du fluide au cours de la transformation qu'il subit au contact de la source chaude est de – 0,416 kJ.kg^–1.K^–1, calculer les quantités d'énergie Q'_F, et Q'_C reçues, par transfert thermique, par 1 kg de fluide frigorigène, au cours d'un cycle, respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude.

C-3 Exprimer l'efficacité _max en fonction des températures T_F et T_C et calculer _max.
A-1 (Cours) H = Q pour une transformation isobare

A-2 Q_F = m(h_A – h_D) = 103,8 kJ Q_C = m(h_D – h_B) = - 162,2 kJ

A-3 W = - Q_F – Q_C = m(h_B – h_A) = + 58,4 kJ

A-4 S_F = Q_F/T_F = 373 J.K^-1 S_C = Q_C/T_C = - 554 J.K^-1

S_p = -S_F – S_C = +180 J.K^-1 donc irréversible

A-5  = Q_F/W  1,78 A-6 q_m = P_F/Q_F puisque Q_F correspond à 1 kg; q_m  4,82 g.s^-1

B-1-1 (Cours) P^1-T^ = constante B-1-2

B-2-1 dU = TdS – pdV

B-2-2 dU = Q_f – pdV = adU – pdV donne pdV = (a-1)dU = (a-1)C_VdT = (a-1)[R/(-1)]dT

Puis RT = pV donne RdT = pdV + Vdp et finalement (1-a)dp/p + (-a)dV/V = 0

B-2-3 s’écrit pV^k = constante pourvu que

C-1 Cours : cycle de Carnot : deux isothermes et deux adiabatiques réversibles

C-2 Q’_C = T_CS_C = -121,9 kJ Q’_F = - T_FS_C = + 115,6 kJ C-3 _max = T_F / (T_C – T_F) = 18,5

II. ÉTUDE D'UN HAUT-PARLEUR ( CCP PSI 05 )
Un signal électrique est transformé en signal sonore par le biais d'un haut-parleur.

La membrane et la bobine du haut-parleur sont solidaires l’une de l’autre. L’ensemble est appelé équipage mobile et sa masse est notée m.

La bobine circulaire est réalisée par l'enroulement d'un fil de longueur On pourra la considérer comme l'union de N spires identiques de rayon a

L’équipage mobile est relié au bâti par un ressort de raideur k, d’axe Oz. La bobine évolue dans l’entrefer d’un aimant imposant un champ magnétique stationnaire radial (voir figure 1).

FIG. 1 - Modèle d'un haut-parleur

Du point de vue mécanique,

– on note respectivement z et les position et vitesse de l'équipage mobile qui se translate sans frottements solides ;

– on note la force de rappel élastique exercée par le ressort ;

– on note , la force de frottements fluides que subit la membrane lors de ses déplacements dans l'air.
Du point de vue électrique,

– on notera R la résistance du bobinage et L son inductance ;

– un courant électrique d'intensité i(t) peut circuler dans le fil bobiné, sous l'effet d’une tension v_s(t) dont il n'est pas nécessaire de connaître l’expression.
A.APPROCHE THÉORIQUE :

Principe de fonctionnement du haut-parleur :

1. Lorsque le haut-parleur est alimenté, on observe la mise en mouvement de la membrane de celui-ci. Expliquer qualitativement :

– l'origine de ce mouvement ;

– le mécanisme à la base de l'émission sonore.
2. À l'aide d'un schéma clair et détaillé d'un tronçon de spire, représenter et exprimer la force élémentaire s'exerçant sur l'élément de courant i(t)d. Calculer sa résultante, notée sur l’ensemble de la spire.

3. Le mouvement de l’équipage mobile dans l’entrefer est responsable de l'apparition d'une grandeur électrique. Justifier qualitativement son existence et préciser sa nature (tension, courant, impédance…).

Établir son expression, en vous appuyant sur un schéma électrique équivalent à la bobine faisant apparaître, si nécessaire, les conventions employées.
Mise en équations différentielles :

4.Établir l'équation différentielle électrique que vérifie l'intensité i(t) du courant circulant dans la bobine alimentée par la tension v_s(t).
5.Établir l'équation différentielle du mouvement de l'équipage mobile.

Impédance du haut-parleur :

6.On s'intéresse à la réponse du système soumis à une excitation électrique sinusoïdale de la forme v_s(t)= v_s0cos(t). Exprimer l'impédance du haut-parleur sous la forme Z = R+jL+Z_em dans laquelle Z_em dépend de B, , f, m, k et  .

Bilan de puissances :

7. Afin d'évaluer le rendement de ce convertisseur électromécanique, on s'intéresse à la nature et à la répartition des différentes grandeurs énergétiques en jeu.
7.a) Établir, à l'aide des équations différentielles électrique et mécanique, une nouvelle équation différentielle traduisant le bilan électromécanique de puissance du système. Préciser clairement le sens physique de chacun des 6 termes qu'elle comporte.
7.b) Justifier soigneusement que plusieurs termes de ce bilan de puissance sont de valeur moyenne temporelle nulle. En déduire l'expression de la puissance moyenne délivrée en entrée du haut-parleur.
7.c) Montrer que le rendement du haut-parleur peut se mettre sous la forme



où
J> représente la puissance moyenne dissipée par effet Joule et
S

Mesure de la puissance moyenne consommée et du rendement :

Mesure du coefficient de frottement f et de la masse m de l’équipage mobile

FIG. 4 – Enregistrement de la percussion

Mesure de l’inductance L de la bobine

• 
  le bâti principal qui sert de base rigide à l'ensemble des composants,
  
• 
  la table de translation horizontale : elle assure le contrôle de l'épaisseur de la cavité ;
  

• 
  une équerre (E1) verticale, solidaire de la table de translation. Elle est évidée en son centre pour laisser passer le faisceau laser de lecture. Elle supporte la lame de verre dite de « lecture » ;
  
• 
  une équerre (E2) verticale, fixe, dont le plan est perpendiculaire à l'axe de translation horizontal de l'équerre (E1). Elle est évidée en son centre. Elle supporte la lame de verre dite « d'entrée » qui peut être orientée grâce à un dispositif précis et sans jeu.
  

• 
  le capteur interférométrique qui est disposé sur une table anti-vibration,
  
• 
  le laser continu He-Ne (laser de lecture, de longueur d'onde dans le vide  = 632 nm et de puissance P = 6 mW) qui illumine l'interféromètre et crée le réseau de franges,
  
• 
  l'optique d'adaptation, constituée de lentilles, pour éclairer le plus uniformément possible, la cavité sur une surface d'environ 7 cm²,
  
• 
  une lame semi-réfléchissante qui permet d'observer les interférences,
  
• 
  l'ensemble de détec­tion cons­titué d'une caméra CCD et de son sys­tème d'acquisi­tion associé.
  

A - Interférences produites par une lame d'air

• 
  bien qu’ il existe d'autres types de rayons (dont on ne tiendra pas compte dans ce problème) on admet que seuls les rayons notés 1 et 2 interfèrent et qu'ils ont la même amplitude ;
  
• 
  on ne tient pas compte des changements de phase par réflexion.
  

A.2) Cas d'une source ponctuelle à distance finie : L'interféromètre est éclairé par une source ponctuelle monochromatique de longueur d'onde , placée en S sur l'axe O1x à une distance O1S = d de la lame. On observe les interférences, par réflexion, sur un écran E placé à une distance D de O1. On suppose qu'un écran opaque P supprime la lumière directe de S sur E.

T².

d) Soit I₀ l'intensité lumineuse du faisceau issu de la sourceS₁ (et donc de S₂). Etablir l'expression de l'intensité I() d'un point M de l'écran en fonction de I₀, a, , D_T et .

e) Donner l'expression de l'ordre d'interférence p₀ au centre de la figure. On suppose que le centre de la figure correspond à un maximum de luminosité. Que peut-on en conclure sur p₀ ? On numérote les franges lumineuses à partir de O par l'entier K (valeur nulle au centre). Exprimer le rayon _K du K^ième anneau lumineux en fonction de D_T, K et p₀. En déduire l'expression de _K+1/_K en fonction de K.

f) Application numérique: on mesure sur l'écran ₁ = 6, 6 mm. En déduire ₂ et ₃. Sachant que  = 632 nm, D = 80 cm et d = 20cm, calculer e.

Que pensez vous de la précision de la mesure de e ?

g) Qu'observe t-on sur l'écran si l'on augmente progressivement la taille de la source S ? Proposer une explication qualitative du phénomène.
A.3) Cas d'une source étendue à distance finie :
L'interféromètre est éclairé par une source étendue monochromatique de lon­gueur d'onde .

a) Soit un point de la source émettant un rayon lumineux sous une incidence i. Rap­peler l'expression, en fonction de i et e, de la différence de marche 2/1 que présentent, dans un plan perpendiculaire aux rayons 1 et 2, le rayon réfléchi 2 par rapport au rayon réfléchi 1. b) La différence de marche précédente ne dépend que de l'incidence i et pas du point de la source. Que peut-on en conclure sur la localisation des franges d'interférences? La largeur de la source intervient-elle sur le contraste? Que détermine t-elle ?

c) Donner l'expression de l'intensité I(i) obtenue à l'infini dans la direction i en fonction de e, i et I₀ l'intensité lumineuse que l'on aurait sur l'écran si seule la lame L₁ était présente.
A.4) Observation avec une caméra CCD :

L'interféromètre, modélisé par une lame d'air, est éclairé par le laser de lecture. Grâce à la lame semi-réfléchis­sante et à la camera CCD on enregistre la figure d'interférence. La caméra est ici réglée pour que le plan d'observation (capteur CCD) soit confondu avec le plan focal image de l'objectif de la caméra assimilé à une lentille convergente de focale f ’ = 50 mm.

a) Soit M un point du capteur CCD. On pose  = FM. Justifier que la différence de marche entre les rayons réfléchis de type 2 et 1 convergeant en M s’écrive _2/1 = 2ecos(i) et déterminer l'expression de la différence de marche en fonction de , e et f ’ (on effectuera, en les justifiant, les approximations usuelles).

b) Donner l'expression de l'ordre d'interférence p₀ au centre de la figure. On suppose que le centre de la figure correspond à un maximum de luminosité. On numérote les franges lumineuses à partir de F par l'entier K (valeur nulle au centre). Exprimer le rayon _K du K^ième anneau lumineux en fonction de f ’, K et p₀.

c) On assimile le capteur CCD à un carré formé de pixels carrés jointifs. Soit ℓ la longueur du côté d'un pixel. Les diamètres des anneaux sont déterminés en analysant le profil suivant un axe horizontal passant par le centre du système de franges. Soit N_K le nombre de pixels correspondant au diamètre d_K du K^ième anneau. Déterminer l'expression de l'épaisseur de la cavité en fonction de , K, f ’, N_K, et ℓ.

d) Application numérique. f ’ = 50 mm et ℓ = 23 µm . Pour K = 1, on mesure N₁ = 28 pixels.
Calculer e.
B - Méthode de suivi de franges circulaires.

D'après la section A, l'observation des franges d'interférences renseigne sur l'épaisseur optique de la cavité formée par les deux lames. La figure d'interférence est enregistrée périodiquement par une caméra CCD numérique associée à un système d'acquisition et de traitement d'images.

La déformation de la cavité optique est obtenue par l'action d'un deuxième fais­ceau laser (longueur d'onde  800 nm) sur la lame de verre d'entrée revêtue d'une couche de gélatine, d'une épaisseur de 6 µm environ, qui absorbe l'énergie lumi­neuse d'excitation déposée. L'échauffement local qui en résulte provoque une déformation mécanique et donc une variation de l'épaisseur de la cavité.

La méthode proposée est basée sur le calcul de la variation de l'épaisseur de la lame d'air en fonction de la variation du rayon d'une frange circulaire.
B.1) On considère une frange brillante donnée. Comment varie le rayon de cet anneau lorsque l'épaisseur de la lame d'air diminue ? Déterminer l'expres­sion approchée de e/e (variation relative de l'épaisseur de la lame) en fonction de ,  et f ’. On donnera le résultat sous la forme d'un développement limité à l'ordre 1en  .

Mise en œuvre expérimentale

• 
  on enregistre l'inter­férogramme à un ins­tant t₁. Grâce à cette image, dite de référence, on trace un profil des niveaux de gris le long d'une droite horizontale passant par le centre de la figure.
  
• 
  on détermine alors le rayon d'une frange brillante donnée à l'instant t₁.
  
• 
  on procède de même à un instant t₂ et on détermine le nouveau rayon de la même frange brillante.
  
• 
  grâce à la relation entre e/e et /, on peut en déduire la variation rela­tive de l'épaisseur de la lame.
  

B.2) La figure 8 résume les résultats obtenus à l'aide de cette méthode. Les profils diamétraux correspondent, respectivement, à l'image de référence et à la première image après le début de l'excitation. On cherche à identifier le profil de l'image de référence. a) Chaque profil devrait admettre un axe de symétrie vertical. Pourquoi ? Citer une des causes possibles de cette absence de symétrie. Malgré l'absence de symétrie, comment peut-on repérer les pics correspondants au premier anneau? b) On rappelle que la cavité optique est excitée par l'action d'un deuxième fais­ceau laser sur la lame de verre d'entrée.

Quelle est, selon vous, la conséquence de l'action du laser sur cette lame?
Com­ment varie alors l'épaisseur de la cavité optique ?
c) En déduire le pro­fil de l'image de référence (A ou B). Justifier.
B.3)

Donner une estimation du rayon du premier anneau, avant et après excitation : r_{1, avant} et r_1,après .

Application numérique: largeur d'un pixel ℓ = 23 µm.

B4)

En utilisant les questions A.4c et B.1, déterminer une expression de la variation d'épaisseur e de la lame en fonction de r_{1, avant} , r_1,après et  .

Application numérique :  = 632 nm ; largeur d'un pixel: ℓ = 23 µm.
En répétant cette opération pour tous les instants d'échantillonnage, on peut tracer la courbe de variation de l'épaisseur de la cavité optique en fonc­tion du temps.