Un scénario d’activité pédagogique








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ANNEXE 2 : Plan de cours (Algèbre linéaire et géométrie vectorielle)





CÉGEP CONFIDENTIEL

Programme :

Sciences de la nature (200.B0)

Département de mathématiques


Plan de cours
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

Code du cours : 201-NYC-05 (Sciences de la nature)

Pondération : 3-2-3

Unités : 2 2/3

Durée : 75 périodes

Session : Automne 2006
Professeurs : Confidentiel local A-211 téléphone : 2217

Confidentiel local A-210 téléphone : 2173

Confidentiel local A-210 téléphone : 2173







lundi

mardi

mercredi

jeudi

vendredi

Périodes de disponibilité


















  1. PRÉSENTATION DU COURS


Au Cégep, le cours Algèbre linéaire et géométrie vectorielle est obligatoire dans le programme de Sciences de la nature. Il en est de même des cours Calcul différentiel et Calcul intégral.
Le cours Algèbre linéaire et géométrie vectorielle contribue à atteindre plusieurs des buts généraux du programme de Sciences de la nature :


  1. Appliquer la démarche scientifique

  2. Résoudre des problèmes de façon systématique

  3. Raisonner avec rigueur

  4. Communiquer de façon claire et précise

  5. Apprendre de façon autonome

  6. Développer des attitudes propres au travail scientifique

  7. Traiter des situations nouvelles à partir de ses acquis


De façon plus concrète, le cours permet :


  1. de maîtriser les techniques de résolution des systèmes d’équations linéaires;

  2. d’acquérir une connaissance pratique des espaces euclidiens;

  3. de développer une vision dynamique des matrices et des vecteurs comme outils facilitant l’étude de la droite et du plan.


Dans ce cours, l’élève apprendra à faire des preuves, à présenter sa démarche mathématique de façon rigoureuse, à visualiser dans l’espace et à maîtriser de nouveaux algorithmes. La synthèse des savoirs, savoir-faire et savoir-être conduira au développement des habiletés en résolution de problèmes, problèmes associés aux concepts de matrice, de déterminant, de vecteur et de géométrie analytique de l’espace.
Les apprentissages seront transférables à d’autres cours de mathématiques et à d’autres disciplines : chimie, physique, économie, etc. À cet effet, de nombreux exemples interdisciplinaires viendront enrichir le cours. Le professeur situera les principaux concepts dans leur contexte historique.


  1. OBJECTIFS DE FORMATION FONDAMENTALE


Le cours propose quelques mesures pour faciliter l’atteinte de quatre des cinq objectifs prioritaires du projet de formation fondamentale du Cégep.


    1. Maîtriser la langue française orale et écrite et être capable de s'exprimer et d'écrire de façon cohérente


L'élève devra accorder une attention particulière aux exerci­ces et problèmes nécessitant la lecture et la compréhension d'un texte. La conclusion devra être écrite à l'aide de phrases complètes.


    1. Développer des habiletés d'analyse, de synthèse, de critique à travers un processus de pensée logique


Pour atteindre cet objectif, le professeur privilégiera les moyens suivants :


  • retours fréquents sur des notions déjà étudiées;

  • preuves ou exercices théoriques;

  • solutions claires et détaillées, avec les justifications;

  • modèles de solution;

  • utilisation de concepts de base pour limiter la mémorisation.




    1. Acquérir une méthode de travail intellectuel organisée et efficace


Le professeur favorisera la production de résumés par les élèves et insistera sur l'importance d'une bonne méthode de travail. Une grande attention sera accordée aux notes de cours et aux solutions des exercices; elles devront être claires et ordonnées.


    1. Maîtriser les habiletés mathématiques de base


Comme tout cours de mathématiques, le cours contribuera à l'atteinte de cet objectif de formation fondamentale.



  1. OBJECTIF TERMINAL


ÉNONCÉ DE LA COMPÉTENCE
Appliquer les méthodes de l’algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle à la résolution de problèmes.
CONTEXTE DE RÉALISATION
L’élève sera soumis à une épreuve finale portant sur la résolution de problèmes, à partir de situations pratiques ou théoriques. Cette épreuve sera réalisée individuellement, sans aucune documentation, au moyen d’une calculatrice.


Éléments de la compétence

Critères de performance

  1. Traduire des problèmes concrets sous forme d’équations linéaires.

(5 %)

  • Justification des étapes du raisonnement.

  • Utilisation d’une terminologie appropriée.

  1. Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de méthodes matricielles.

(20 %)

  • Application correcte d’algorithmes.

  • Résolution juste de systèmes linéaires.

  • Manipulations algébriques conformes aux règles.

  • Exactitude des calculs.

  • Interprétation juste des résultats.

  1. Établir des liens entre la géométrie et l’algèbre.

(10 %)

  • Représentation adéquate de lieux de l’espace.

  • Interprétation juste des résultats.

  1. Établir l’équation de lieux géométriques (droites et plans) et déterminer leurs intersections.

(15 %)

  • Représentation de situations sous forme de vecteurs et de matrices.

  • Application correcte d’algorithmes.

  • Représentation adéquate de lieux de l’espace.

  • Manipulations algébriques conformes aux règles.

  • Interprétation juste des résultats.

  • Utilisation d’une terminologie appropriée.

  1. Calculer des angles, des longueurs, des aires et des volumes.

(20 %)

  • Utilisation appropriée des concepts.

  • Représentation de situations sous forme de vecteurs et de matrices.

  • Justification des étapes du raisonnement.

  • Exactitude des calculs.

  1. Démontrer des propositions.

(10 %)

  • Utilisation appropriée des concepts.

  • Justification des étapes du raisonnement.

  • Interprétation juste des résultats.

  • Utilisation d’une terminologie appropriée.

  1. Construire des représentations de lieux géométriques dans le plan et dans l’espace.

(5 %)

  • Représentation adéquate de lieux de l’espace.

  1. Reconnaître les propriétés et les opérations de structures algébriques telles que les vecteurs, les nombres complexes et les polynômes.

(15 %)

  • Utilisation d’une terminologie appropriée.

  • Manipulations algébriques conformes aux règles.


  1. OBJECTIFS D’APPRENTISSAGE


PREMIER BLOC


Objectifs

spécifiques

Éléments

de

compétence


Contenu


Activités d’enseignement et

d’apprentissage;

évaluations


Périodes

S’approprier le plan de cours.




1

Effectuer des opérations sur les matrices.

A

  • Définition de matrice, situations concrètes, matrices particulières.

  • Addition de matrices, multiplication d’une matrice par un scalaire.

  • Produit matriciel.





Exposés magistraux

Prise de notes


2

Démontrer et utiliser

des propriétés sur les matrices.


F

  • Propriétés des opérations matricielles.


Exercices

2

Résoudre un système d’équations linéaires (S.E.L.) par la méthode de Gauss et la méthode de Gauss-Jordan.


B

  • Opérations élémentaires, matrice échelon, matrice augmentée.

  • Inversion de matrice (Gauss-Jordan).


Production de résumés


5

Résoudre des problèmes à contexte par un S.E.L.

A-B

  • Mise en équations.

  • Résolution.

  • Interprétation des résultats.




Évaluations formatives

1










Exercices

Test 1 (10 %)

1

1


Premier bloc 13
DEUXIÈME BLOC


Objectifs

spécifiques

Éléments

de

compétence


Contenu


Activités d’enseignement et

d’apprentissage;

évaluations


Périodes

Calculer des déterminants,

démontrer et utiliser leurs propriétés.


F

  • Définition, mineurs, cofacteurs.

  • Méthode de Sarrus.

  • Propriétés.


Exposés magistraux


5

Résoudre un S.E.L.

à l’aide de la matrice inverse.

B

  • Inversion de matrices par la méthode des cofacteurs.

  • Résolution d’une équation matricielle.


Prise de notes



3

Résoudre un S.E.L.

à l’aide des déterminants.

B

  • Règle de Cramer.

  • Applications à d’autres disciplines.


Exercices

2

Effectuer des opérations sur les nombres complexes.

H

  • Formes rectangulaires et polaires.

  • Addition, soustraction, multiplication, division.



3

Reconnaître l’utilité du vecteur géométrique en mathématiques et en sciences.


C

  • Définitions et caractéristiques.

  • Utilisation: force, vitesse, moment.

Production de résumés

1

Utiliser l’addition de vecteurs géométriques et le produit d’un vecteur par un scalaire dans des situations concrètes.


C-F

  • Définition et propriétés.

  • Loi de Chasles.

  • Loi des sinus et loi du cosinus.

  • Applications.


Évaluations formatives


5










Laboratoire informatique
Exercices
Test 2 (25 %)



2
2
2


Deuxième bloc 25

Cumulatif 38
TROISIÈME BLOC


Objectifs

spécifiques

Éléments

de

compétence


Contenu


Activités d’enseignement et

d’apprentissage;

évaluations


Périodes

Utiliser le vecteur algébrique dans la résolution de problèmes.

C-F

  • Définition, norme.

  • Opérations et propriétés.

  • Repérage d’un point sur un segment de droite.


Exposés magistraux


3

Identifier une structure d’espace vectoriel.

F

  • Définition.

  • Exemples: 2, 3, n, Mmxn , [x], etc.

Prise de notes


1

Écrire un vecteur comme une combinaison linéaire d’autres vecteurs.

A-B

  • Définition.

  • Recherche d’une combinaison linéaire.


Exercices

1

Déterminer l’indépendance linéaire de vecteurs et donner l’interprétation géométrique.

A-B-C

  • Définition.

  • Vecteurs parallèles ou coplanaires (critères).



2

Identifier une base d’un espace vectoriel.

A-B-F

  • Définition.

  • Unicité de la décomposition. Dimension.

  • Bases orthogonales ou orthonormées.


Production de résumés

3

Appliquer le produit scalaire à la géométrie.

C-E

  • Angles entre vecteurs.

  • Vecteurs perpendiculaires.

  • Vecteur projection.

  • Travail d’une force qui produit un déplacement.



3


Appliquer le produit vectoriel à la géométrie.

C-E

  • Vecteur perpendiculaire à deux autres.

  • Aire de parallélogrammes.

  • Moment d’une force.


Évaluations formatives

3

Appliquer le produit mixte à la géométrie.

C-E

  • Volume d’un parallélépipède.

  • Vecteurs coplanaires.




2




Exercices

Test 3 (25 %)

2

2


Troisième bloc 22

Cumulatif 60


QUATRIÈME BLOC


Objectifs

spécifiques

Éléments

de

compétence


Contenu


Activités d’enseignement et

d’apprentissage;

évaluations


Périodes

Utiliser les vecteurs dans l’étude des droites de 3.

C-D-G-E

  • Formes vectorielle, paramétrique et symétrique.

  • Positions relatives de deux droites (angle, intersection, distance).

Exposés magistraux

Prise de notes
Exercices

6

Utiliser les vecteurs dans l’étude des plans de 3.

C-D-G-E

  • Formes vectorielle, paramétrique et cartésienne.

  • Positions relatives de droites et de plans (angles, intersection, distance).


Production de résumés

6

Intégrer les principaux concepts du cours.

A-B-C-

D-E-F-G

  • Applications à diverses disciplines.

  • Problèmes de synthèse.

Évaluations formatives

3


Quatrième bloc 15

Cumulatif 75
Un examen final, portant sur l’ensemble du cours et d'une durée de trois heures, sera donné à la fin de la session, à une date fixée par le collège.



  1. MÉTHODOLOGIE


Le cours comporte des exposés magistraux entrecoupés de nombreux exemples et de séances d’exercices à exécuter en classe par les élèves. La pondération de ce cours exige en moyenne trois périodes par semaine de travail personnel à l’extérieur de la classe. Un travail régulier est essentiel à la réussite du cours. Au besoin, l’élève pourra consulter le professeur à son bureau.
Deux périodes de laboratoire informatique sont prévues, dans le but de se familiariser à certains logiciels permettant la résolution de problèmes traités dans le cours.
Selon la politique du collège, et dans le but de favoriser la réussite du cours, la présence au cours est obligatoire en tout temps (voir la rubrique Évaluation). En cas d’absence, l’élève a l’entière responsabilité d’obtenir d’un autre élève les informations relatives au cours manqué.


  1. ÉVALUATION


À la fin de chaque chapitre et avant chaque test, il y aura une évaluation formative pour permettre aux élèves de mesurer leur maîtrise de la matière. Le professeur leur fournira un solutionnaire pour qu’ils puissent corriger eux-mêmes leurs erreurs. L’évaluation sommative sera répartie de la façon suivante :


Évaluation

Pondération

Durée

Moment prévu

Test 1

Test 2

Test 3

10

25

25

1 période

2 périodes

2 périodes

période 13

périodes 37 et 38

périodes 59 et 60

Examen final

40

3 heures

fin de la session



Conformément à la politique de présence aux cours de mathématiques, un point pourra être enlevé de la note finale pour chaque période d’absence, à partir de la septième absence. La ponctualité est toujours de mise, ce qui va de pair avec le respect des autres. Les retardataires pourraient se voir refuser l'accès au local de classe. De plus, les départs et retards non justifiés avant la fin d'un cours pourront être considérés comme une absence.
Dans les évaluations sommatives, le professeur tiendra compte de la présentation et de la qualité du français. Le professeur avertira les élèves des modalités de correction. La pénalité maximale sera de 10 % pour la présentation et pour la qualité du français.
En cas d’absence à un test, le professeur devra être prévenu avant la prochaine rencontre. Toute absence non justifiée sera sanctionnée par la note ZÉRO. Dans le cas où le motif de l’absence aura été accepté, le professeur déterminera la forme, la durée, la note maximale, la difficulté et le moment d’un test de remplacement.
En cours de session, toute demande de révision de note doit être faite dans les sept jours ouvrables qui suivent la remise des copies corrigées. S’il n’y a pas entente entre le professeur et l’élève, le département de mathématiques formera un comité pour étudier la question. L’élève peut se faire entendre par le comité.
Les calculatrices permettant de résoudre des systèmes d’équations linéaires pourraient être interdites lors de certaines évaluations. L’élève en sera prévenu à l’avance.



  1. MÉDIAGRAPHIE



Volume obligatoire



CHARRON, Gilles, et Pierre PARENT. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle (3e édition), Laval, GB Groupe Beauchemin, éditeur ltée, 2005, 556 pages.

Volumes disponibles à la bibliothèque pour consultation



AMYOTTE, Luc. Introduction à l'algèbre linéaire et à ses applications (2e édition), Saint Laurent, Éditons du Renouveau pédagogique Inc., 2003, 542 pages.
BEAUDOIN, Germain. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle (Volume 1 et 2), Québec, Les Presses de l’université Laval, 1988.
LACASSE, Raynald, et Jules LALIBERTÉ. Algèbre linéaire, Sher­brooke, Loze-Dion éditeur inc., 1991, 293 pages.
MARTEL, Paul A., et Ginette OUELLETTE. Introduction à l'algè­bre linéaire, Mont-Royal, Modulo Éditeur, 1991, 572 pages.
PAPILLON, Vincent. Vecteurs, matrices et nombres complexes, Mont-Royal, Modulo Éditeur, 1993, 387 pages.
ROSS, André. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle (Applications en sciences de la nature), Mont-Royal, Les Éditions Le Griffon d’argile, 2003, 450 pages.

Autres volumes



BEAUDOIN, Germain. Math 105, Montréal, Les Éditons BL, 1998, 430 pages.
LACASSE, Raynald. Algèbre linéaire (2e édition), Longueuil, Loze-Dion éditeur inc., 2002, 323 pages.
OUELLET, Gilles. Algèbre linéaire - vecteurs et géométrie, Sainte-Foy, Les Édi­tions Le Griffon d'argile, 2002, 528 pages.

BIBLIOGRAPHIE





  1. Aylwin, U. (1992) Les principes d'une bonne stratégie pédagogique. Pédagogie collégiale, 5 :4, 11-15.

  2. Chamberland, G., Lavoie, L., Marquis, D. (2006). 20 formules pédagogiques. Québec : Presse de l’université du Québec.

  3. Ministère de l’éducation, des loisirs et des sports. (2003). « 200-B0, Sciences de la nature ». In Ministère de l’éducation, des loisirs et des sports, Répertoire des programmes et des cours de l’enseignement collégial, [en ligne]. http://www.mels.gouv.qc.ca/ens-sup/ens-coll/Cahiers/program/200B0.pdf (Page consultée le 26 mai 2007).
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