Ce livre s'adresse aux йtudiants de licence (L2, L3) en mathйmatiques et/ou physique ainsi qu'aux йlиves des grandes йcoles scientifiques et techniques. IL peut
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| Ce livre s'adresse aux йtudiants de licence (L2, L3) en mathйmatiques et/ou physique ainsi qu'aux йlиves des grandes йcoles scientifiques et techniques. Il peut йgalement кtre utile а des йtudiants plus avancйs : CAPES, agrйgation, master de mathйmatiques (M1, M2). Il est bien connu que les formes diffйrentielles jouent un rфle crucial dans plusieurs domaines aussi bien thйorique que pratique. Les sujets traitйs interviennent dans plusieurs domaines des mathйmatiques et sont des outils indispensables aux mathйmaticiens, physiciens, ingйnieurs et autres scientifiques. L’ouvrage se subdivise en trois grandes parties : Thйorie, Exercices et Appendices. Dans la partie thйorique, on y trouve douze chapitres. Dans le premier chapitre, on commence par йtudier quelques gйnйralitйs sur les formes diffйrentielles de degrй 1, les formes diffйrentielles de degrй 2 et en gйnйral les formes diffйrentielles de degrй k. On йtudie au chapitre 2, le produit extйrieur qui est une opйration souvent utilisйe lors de manipulations des formes diffйrentielles. Dans le chapitre 3, on йtudie la diffйrentielle extйrieure et on verra ses diffйrentes liaisons avec les opйrateurs classiques tels que : le gradient, le rotationnel, la divergence, le laplacien et l'opйrateur de Hodge. On aborde ensuite, au chapitre 4, les formes fermйes et les formes exactes. Une attention particuliиre est donnйe au lemme (ou thйorиme) de Poincarй considйrй comme fondamental aussi bien en thйorie qu'en pratique. Nous verrons que toute forme diffйrentielle exacte est fermйe et que la rйciproque est fausse en gйnйral. Le lemme de Poincarй assure qu'elle est vraie sous une condition relativement simple. D'autres rйsultats liйs а la mйthode du facteur intйgrant, aux йquations diffйrentielles exactes ainsi qu'aux groupes de cohomologie seront йtudiйs. Le chapitre 5, est consacrй а l'йtude de l'intйgration des formes diffйrentielles que ce soit dans le contexte des formes diffйrentielles oщ les simplexes sont utilisйs ou pas. Nous faisons d'abord de brefs rappels sur les simplexes. Le cas des chaоnes sera йvoquй plus loin et peuvent se visualiser comme une rйunion de surfaces, celles dйfinies par les simplexes les composants. Dans le chapitre 6, on aborde l'йtude de la transposйe ou image inverse d'une forme diffйrentielle par une application diffйrentiable. Il s'agit d'une opйration qui joue un rфle important dans le calcul diffйrentiel extйrieur. Elle a pour objectif le changement de variables dans les formes diffйrentielles. Dans le chapitre 7, on dйfinit le bord d'un simplexe et celui d'une chaоne et on donne quelques informations sur le groupe d'homologie. Dans le chapitre 8, on йtudie le thйorиme de Stokes-Cartan sur l'intйgration des formes diffйrentielles et ses cas particuliers (formules de Green-Riemann, de Stokes-Ampиre et de Gauss-Ostrogradski). Ces rйsultats possиdent de multiples applications et sont souvent utilisйs en physique. Dans le chapitre 9, aprиs de brefs rappels sur les fonctions holomorphes, on йtudie quelques relations entre l'intйgration de ces derniиres et les 1-formes diffйrentielles complexes. Le chapitre 10, est consacrй а l'йtude des formes symplectiques et а plusieurs notions liйes а ces formes. Le chapitre 11, est une introduction calcul variationnel. On y йtudie les йquations de Lagrange, de Hamilton et d'Hamilton-Jacobi. Le chapitre 12, est consacrй а l'йtude des formes diffйrentielles sur les surfaces de Riemann compactes ou courbes algйbriques complexes. On verra comment les formes diffйrentielles jouent un rфle crucial pour la preuve de plusieurs rйsultats importants. Le long de ces chapitres, de nombreux exemples d'applications se trouvent dissйminйs dans le texte. Dans la partie concernant les exercices, on y trouve de nombreux exercices et problиmes de difficultй variйe complиtement rйsolus ainsi que des exercices proposйs avec des rйponses ou indications. Parmi ces exercices il y en a des classiques, que l'on retrouvera certainement ailleurs. Certains exercices ont fait l'objet de questions d'examen au cours des derniиres annйes. On a rassemblй dans la partie concernant les appendices, quelques notions sur divers thиmes (les intйgrales multiples, les variйtйs diffйrentiables, le thйorиme de Riemann-Roch, le thйorиme de Riemann-Hurwitz, le thйorиme d'Abel et le problиme d'inversion de Jacobi), а la fois pour leurs intйrкts propres et parce que cela conduit а clarifier un certain nombre de rйsultats obtenus dans cet ouvrage. Il est prйfйrable de les passer en premiиre lecture et de se borner а les consulter au moment de l'usage. La bibliographie sйlective en fin du livre offre quelques suggestions d'ouvrages fondamentaux facilement accessibles. Le livre est publiй aux йditions Ellipses, que l'on remercie d'une part pour la confiance qu'elles nous ont renouvelйe, d'autre part pour la qualitй de leur travail, leur sйrieux et leur professionnalisme. Ce livre est dйdiй а la mйmoire de ma grand-mиre paternelle. A. Lesfari E-mail : lesfariahmed@yahoo.fr |
