09/2006 Antilles Exercice n°2 ( 5 points) DÉCHarge d'un condensateur

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09/2006 Antilles Exercice n°2 ( 5 points) DÉCHarge d'un condensateur

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O

n envisage le circuit suivant constitué d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C.

À l' instant t = 0, le condensateur est chargé sous la tension U₀ = 10 V.
On notera :

u_c la tension aux bornes du condensateur à l'instant t, et l'on a u_c(0) = U₀
u_R la tension aux bornes du conducteur ohmique à l'instant t,
i l'intensité du courant à l'instant t. Cette intensité a été comptée positivement au cours de la charge du condensateur,
q_A la charge de l'armature A du condensateur à l'instant t.

Établissement de l'équation différentielle lors de la décharge

Quelle relation lie u_R et u_c ?

Rappeler la relation qui lie la charge q_A de l'armature A à la tension u_c.

Quel est le signe de i ? Établir la relation liant l'intensité i du courant à la tension u_c.

Montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de u_c peut s'écrire :

 u_c +

= 0 où  est une constante non nulle.

Donner alors l'expression de  en fonction de R et C.

SOLUTION DE L'ÉqUAtiON DiffÉrentielle

Une solution de l'équation différentielle peut s'écrire u_c = Ae^–^^t où A et  sont deux constantes positives non nulles.

En utilisant l'équation différentielle, montrer que  = .
Déterminer la valeur de A.

Indiquer parmi les courbes 1 et 2 données ci-après, celle qui peut représenter u_c. Justifier la réponse.

Courbe 1

Donner l'expression littérale de la constante de temps .
Montrer par analyse dimensionnelle que  a la même unité qu'une durée.
Déterminer sur la courbe choisie la valeur de la constante de temps  du circuit.
Sachant que R = 33 , en déduire la valeur de la capacité C du condensateur.

3. INTENSITÉ DU COURANT

En utilisant les résultats précédents, montrer que i = .
Déterminer la valeur I₀ de i à t = 0.
En justifiant la réponse, indiquer parmi les quatre courbes ci-dessous celle qui peut représenter i.

Calculer la valeur de i pour t = 0,50 s.
Déterminer la valeur de u_c à la même date.
Le condensateur est-il déchargé ? Justifier la réponse.

4. ÉNERGIE EMMAGASINÉE DANS LE CONDENSATEUR

Rappeler l'expression de l'énergie emmagasinée dans le condensateur du montage étudié en fonction de sa capacité et de la tension u_c à ses bornes, puis en fonction de sa capacité et de la charge q_A de son armature A.
On remplace ce condensateur par un autre condensateur de capacité C' supérieure à C. Ce
condensateur est chargé sous la même tension U₀. L'énergie emmagasinée dans ce condensateur est-elle supérieure à la précédente ?

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