Rapporter mon expérience de la modélisation et en tirer des problématiques








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Chapitre 1

Problématiques de la modélisation
en physique et en biologie




Objectif : rapporter mon expérience de la modélisation et en tirer des problématiques.

Résumé : je présente mes travaux en me plaçant du point de vue des modèles que j’ai utilisés, tandis que les sujets de modélisation, les systèmes étudiés en physique statistique et en écologie comportementale, sont présentés dans quatre encadrés. Les problématiques de la modélisation auxquelles je m’intéresse tout particulièrement et qui ont émergé de ces travaux sont présentées à la fin de ce chapitre : le rapport expérience/modèle, l’intervention de l’aléa et la transdisciplinarité.



1. Les systèmes désordonnés binaires : modèles pour la physique, outils pour la biologie


Les modèles présentés ici sont issus pour la plupart de la physique statistique, comme en témoignent les applications qui les ont initiées : le ferromagnétisme pour le modèle d'Ising, les verres de spin pour le modèle Edwards-Anderson, les réseaux de neurones pour le modèle de Hopfield et enfin le modèle de percolation qui a suscité de nombreuses applications et développements en physique bien que né de l’imagination d’un mathématicien.

La physique statistique, une des théories fondamentales de la physique, permet de résoudre des problèmes où interviennent un très grand nombre de variables couplées. Ces problèmes étaient, à l’origine, de nature déterministe et portaient sur des fluides décrits au niveau moléculaire par les équations du mouvement de la mécanique. Ensuite, il a été possible de traiter des problèmes de nature stochastique de façon analogue.

Dans une expérience de physique, il n’est pas toujours possible, ni nécessaire, de prévoir la valeur exacte que prendra une certaine quantité. Dans le cas où l’on ne dispose d’aucune information sur cette valeur, on suppose que toutes les valeurs possibles sont équiprobables (plus précisément, dans le langage de la physique statistique, toutes les configurations microscopiques, exprimées en coordonnées canoniques, et compatibles avec les contraintes extérieures connues, telle qu'une énergie totale donnée, sont supposées équiprobables). La totalité des configurations possibles associées à leurs probabilités de réalisation permet de définir (et il y a plusieurs façons de le faire) un des ensembles statistiques à la base des méthodes de calcul de la physique statistique.

Ainsi, la physique statistique s’attache à expliquer des propriétés macroscopiques de systèmes constitués d’un grand nombre de composants, à partir d’une description au niveau microscopique. Typiquement, le lien entre les deux niveaux est fait en écrivant une grandeur physique macroscopique comme la valeur moyenne (dans un sens précis) d’une grandeur microscopique.

La physique statistique a d’abord été utilisée pour étudier la thermodynamique et les transitions de phase dans des systèmes physiques. De nombreuses applications, en dehors du domaine d'origine, sont aujourd’hui explorées, en particulier sur les systèmes complexes, dans des domaines comme l’économie (e.g. Potters et al 1998, Weisbuch et al 2000), la neurophysiologie (e.g. Nadal 1993), l’écologie (voir plus bas), etc. La physique statistique propose des techniques de résolution analytiques, exactes ou par approximations, ce qui en fait un des intérêts pour les autres domaines. Des méthodes numériques ont aussi été développées comme les simulations Monte Carlo (crée, à l’origine, pour la physique de la matière condensée).

Les systèmes désordonnés binaires : qu’est-ce que c’est ?

Les systèmes binaires, sur lesquels nous nous focalisons ici, sont ceux pour lesquels une propriété locale ne peut se réaliser que de deux façons. Ces systèmes sont souvent modélisés sur des réseaux et cette propriété se réalise en général sur un noeud de ce réseau comme résultat d’une interaction avec les noeuds voisins.

Les systèmes désordonnés possèdent deux types de variables microscopiques, et deux échelles de temps de variation associées. Certaines variables évoluent rapidement avec le temps et d’autres variables évoluent lentement et sont modélisées par des variables aléatoires. Les propriétés du système dépendent alors non pas d’un tirage particulier de ces variables mais des paramètres de leur distribution de probabilité. Cependant, ce caractère aléatoire, « désordonné », au niveau microscopique se traduit par des comportements macroscopiques reproductibles.

1.1 Du modèle d'Ising à la biodiversité


Le modèle d'Ising (1925) permet de représenter un grand nombre de situations physiques. Les caractéristiques essentielles de ce modèle sont :

  • Un réseau, régulier ou non :
    par exemple une grille bidimensionnelle aux mailles carrées.

  • Les nœuds du réseau portent une variable prenant 2 valeurs (2 états) :
    Si = 1

  • Les liens du réseaux sont les interactions entre noeuds :
    par exemple chaque paire de proches voisins interagit avec une amplitude J.

  • Un paramètre de contrôle :
    par exemple la « température », T.

Dans la version la plus simple du modèle d’Ising, le Hamiltonien (la fonction énergie qu’il s’agit de minimiser si T=0) s'écrit



Si J>0, l'interaction est dite « ferromagnétique » et tend à aligner les deux spins (Si .Sj = 1), en effet le minimum d'énergie est obtenu si J Si .Sj reste positif. Inversement, si J<0, l'interaction est dite « antiferromagnétique » et tend à anti-aligner les spins voisins (Si .Sj = -1).

Ce modèle a ouvert le champ de recherche sur les phénomènes critiques et il reste un modèle de prédilection pour les étudier puisqu'il est assez simple pour permettre des développements analytiques et en même temps assez compliqué pour posséder une transition de phase critique non-triviale.

Le modèle d’Ising est donc un modèle privilégié pour expliquer certaines transitions de phase macroscopique à partir de la description microscopique d’un mélange binaire. Une grandeur macroscopique qui caractérise la transition est l’aimantation (calculée à partir d’une moyenne des orientations des spins individuels, des Si). A température nulle, il y a deux configurations des spins qui minimisent l’énergie, soit ils sont tous positifs, Si = 1, soit ils sont tous négatifs, Si = -1. Puis, sous l'effet de la température (le paramètre de contrôle), des ilôts d’une phase vont se constituer dans une « mer » de la phase opposée : l'ensemble des spins va se structurer en une mosaïque compliquée d'agrégats de -1 ou de 1, perçue comme aléatoire par un observateur macroscopique (figure 1). On peut dire, en quelque sorte, que la température contrôle le hasard. Dès que l’on dépasse la température transition, l’aimantation s’annule car il y autant de spins +1 que de spins -1 en moyenne. On parle de la « phase désordonnée » ou « phase paramagnétique ». Pour autant, cela n'en fait pas un système désordonné dont on verra la définition dans la section suivante.

Ce modèle se prête particulièrement bien aux simulations numériques sur ordinateur. Dans un de mes articles (Ney-Nifle et Mangel 2000), j'utilise un algorithme (Kawasaki 1979) basé sur le modèle d'Ising, afin de générer des configurations binaires : présence ou absence de l'espèce végétale sur un site. L’intérêt d’utiliser ce modèle était de pouvoir générer des paysages d’agrégats désordonnés tout en contrôlant le degré d'agrégation. En terme biologique, ces agrégats représentent les îlots d’individus d’une même espèce et l’on souhaite représenter des espèces dont les îlots sont plus ou moins gros et plus ou moins nombreux et rapprochés (voir l’encadré «  la biodiversité » pour une présentation de la problématique). En terme physique, ce sont les agrégats de spins dont la forme et le nombre évoluent avec le temps (figure 1). Le degré d’agrégation de l’espèce est donc contrôlé par le temps de simulation.



Figure 1

Configurations des spins pour six températures proches de la température de transition. En haut à gauche, en dessous de la température de transition, la majorité des spins sont alignés (ici en noir). En bas à droite, au dessus de la température de transition, on se trouve dans la phase paramagnétique (ou désordonnée). Il y a autant de spins dans un sens que dans l’autre (noir et blanc).



1.2 Du modèle Edwards-Anderson à l’évolution des espèces


Certains matériaux magnétiques appelés « verres de spin » (voir l’encadré « le chaos dans les verres de spin »), dont une propriété caractéristique est de posséder une phase basse-température magnétiquement vitreuse, sont décrits par le modèle Edwards et Anderson (1975). Ce modèle est basé sur un hamiltonien plus général que celui d'Ising :



Ce nouvel hamiltonien a plusieurs variantes (je ne citerai ici que les cas me permettant de situer mes propres contributions). Un exemple est le verre de spin d’Ising où l'on considère des spins d'Ising à une seule composante binaire, Si = 1 (e.g. Nifle 1992). Un autre exemple est la version « champ moyen » pour laquelle chaque spin est en interaction avec tous les autres (Franz et Ney-Nifle 1995). Enfin, dans le modèle dit modèle XY, les spins sont des vecteurs planaires (e.g. Ney-Nifle et Hilhorst 1995). De plus, on peut voir sur l’équation ci-dessus que ce hamiltonien se réduit à celui du modèle d'Ising si les interactions sont constantes Jij = J.

Ce modèle est un prototype pour les systèmes désordonnés et frustrés.

Les systèmes désordonnés sont ceux dans lesquels coexistent au moins deux échelles de temps très différentes. Les degrés de liberté se séparent en deux ensembles. Dans le premier, les variables rapides (ici les spins) atteignent rapidement l'équilibre. Dans le second ensemble, les variables lentes (ici les interactions entre spins) évoluent si lentement qu'elles sont considérées comme gelées. Ces degrés de liberté lents sont en très grand nombre et ne présentent aucun ordre apparent. De plus, leurs valeurs expérimentales dépendent de manière complexe de la préparation du système. Dès lors, il paraît justifié de remplacer ces données par des variables aléatoires fixes. Cela conduit à exprimer certaines propriétés du système en fonction des paramètres de la loi de distribution (et non plus d’un échantillon particulier de cette distribution). Ceci peut s’illustrer sur l’exemple des matériaux verres de spin (figure 5).

De plus, dans le modèle Edwards-Anderson, le désordre s'accompagne de frustration : il est impossible de minimiser tous les termes du hamiltonien en même temps. Cette situation est due à la présence, conflictuelle, d'interactions de signes différents, un spin subissant une interaction avec tous les spins voisins tendant à l’aligner ou l’anti-aligner avec eux. Ces interactions vont générer un conflit, une frustration, lorsque le spin ne peut pas satisfaire toutes les interactions avec ses voisins à la fois.

Un tel modèle conjuguant les propriétés de désordre et de frustration se distingue de par sa transition de phase vers une phase basse température dont l'étude est particulièrement complexe, même à l'état fondamental (T = 0). A température élevée, le système se trouve dans la phase paramagnétique décrite plus haut pour le modèle d’Ising. A basse température, en dessous de la température de transition, les spins se gèlent dans des directions qui peuvent paraître aléatoires, à cause de la frustration et du désordre, mais qui sont déterminées. La dynamique des variables dites rapides (ici les spins, Si) ralentit ce qui peut s’expliquer qualitativement (figure 2).

L’énergie est représentée comme une fonction des configurations des spins. Celle-ci a un grand nombre de vallées et de monts. L’existence de barrières à franchir pour passer d’une vallée à une autre, afin d’atteindre un minimum, fournit une explication qualitative au ralentissement de la dynamique.

J’ai travaillé plusieurs années sur les phénomènes de chaos dans les verres de spin (voir encadré). Par ailleurs, les modèles de verres de spin ont été utilisés par des physiciens pour étudier différents problèmes issus de la biologie, comme celui de la différentiation cellulaire ou de l'évolution des espèces par sélection (e.g. Weisbuch, 1989).




Figure 2

Des configurations éloignées (sur l’axe des x), c’est-à-dire très différentes du point de vue de la direction de chaque spin, peuvent avoir une énergie proche (sur l’axe des y). De plus, deux configurations correspondant à deux vallées (les deux points) séparées par une « barrière », un mont élevé, sont proches du point de vue de leur structure, mais éloignées du fait de cette barrière.



1.3 Du modèle de Hopfield à l’apprentissage chez les boudons


Le modèle de Hopfield a suscité un regain d'intérêt pour les réseaux de neurones (modèles formels de neurones interconnectés) au début des années 1980. Son apport majeur est d'avoir exprimé la recherche d'une configuration par le réseau de neurones comme la recherche du minimum d'une fonction (Nadal 1993). De plus, J. Hopfield (1982) fait un parallèle avec le modèle des verres de spin ce qui permet la transposition de résultats obtenus sur ce modèle (dans sa version champ moyen, voir plus haut) au cas des réseaux de neurones (Weisbuch 1989).

Les neurones sont connectés entre eux et l'efficacité, ou amplitude, de cette connexion est représentée par des poids, Wij. Chaque neurone est à la fois une entrée et une sortie pour les autres (figure 3). La connexion est symétrique dans ce modèle : i vers j et j vers i. Les neurones sont binaires comme dans les modèles précédents ; ils sont dans deux états possibles, Xi = 0 ou 1, inactif ou actif. Un neurone devient actif si la somme pondérée des signaux reçus des autres neurones est supérieure à un certain seuil.




Figure 3

Les neurones sont interconnectés par des liens. Ces liens ont tous un poids, Wi, qui modélise l’influence des neurones entre eux. La somme des poids des liens qui vont vers un neurone doit dépasser un certain seuil, qui varie d’un neurone à l’autre, pour que celui-ci émette une valeur de sortie, ici Y. Cette valeur de sortie va à son tour influencer d’autres neurones.



La fonction qui permet de définir et calculer l'énergie d'une configuration de neurones possible est



Certaines configurations sont apprises par le réseau qui met à jour des poids et les seuils de façon à correspondre à des minimums locaux (attracteurs) de cette fonction d'énergie. Ces configurations sont présentées au réseau successivement et le construisent. C'est un processus de stockage des configurations que l’on appelle une mémoire associative. Une fois ce processus pour établir les valeurs des poids effectué, la mémoire peut fonctionner : des configurations soumises au système et proches d’un attracteur vont tendre vers cet attracteur sous la dynamique encodée dans les poids.

Quel est le lien avec le modèle de verre de spin précédent ? Un réseau a une capacité de mise en mémoire limitée. Trop de configurations apprises conduit à une matrice des connexions  Wij  pratiquement aléatoire. On retrouve alors le modèle des verres de spins qui correspond donc à un système ayant une mauvaise mémoire.

J'ai utilisé un modèle de réseau de neurone non pas pour étudier ce modèle en tant que tel mais comme outil d'analyse de données temporelles issues d’une expérimentation sur le butinage des bourdons (au moment où des travaux originaux venaient tout juste d’être publiés, Montague et al 1995 et Schultz et al 1997). Mes données étaient issues du « beehave lab » décrit dans l’encadré « interactions plantes-pollinisateurs » (section 2). Il s'agissait d'analyser une série temporelle de choix de fleurs artificielles par des bourdons : choix que nous avons codés binairement car le bourdon avait le choix entre un amas de fleurs bleues et un amas de fleurs jaunes (Ney-Nifle et al 2000). Le but était de caractériser les patrons de choix et d'en déduire les stratégies sous-jacentes du comportement du bourdon, que ce soit en régime de croisière ou bien juste après une perturbation (un changement opéré par l'expérimentateur, comme par exemple une réorganisation des amas de fleurs).

Dans notre modèle (Ney-Nifle et Keasar 1998), un bourdon est un réseau de neurones. A chaque pas de temps, il prédit la récompense (le nectar) qu'il peut tirer de la prochaine visite de fleur. Après cette visite, une fonction erreur est calculée qui compare ce qui est réellement récolté avec la prédiction. De cette erreur dépend le choix de la visite suivante. Une erreur dans le sens « pire que prévu » entraîne une réorientation (quitter l'amas) avec une forte probabilité. Une erreur dans le sens « mieux que prévu » encourage l 'animal à persister dans son choix (rester sur l'amas). Cette stratégie dépend d' inputs externes que sont les stimuli visuels (caractéristique des fleurs sur les amas) et des poids de ces différents stimuli qui sont mis à jour à mesure que l'animal apprend (une préférence pour un type de fleurs pouvant évoluer au court du temps).

Ce modèle a permis, entre autre, de montrer que « tout se passe comme si » le bourdon mémorise entre 3 et 6 visites d’affilées et qu'il suit une stratégie s'apparentant plus à l'échantillonnage (tester régulièrement des amas pour suivre l'évolution de la quantité de nectar) que du simple va-et-vient aléatoire entre amas (qui ne demande pas de mémoriser les visites précédentes).

1.4 Du modèle de la percolation à la dispersion chez les parasitoïdes


Dans le domaine des mathématiques, l'étude de la percolation tire son origine d'une question posée en 1954 par S.R. Broadbent sur la pénétration d'un fluide ou d'un gaz, dans un labyrinthe formé de passages ouverts ou fermés (Pajot, 2001). J.M. Hammersley, estimant que la singularité du problème nécessitait une terminologie qui lui soit propre, propose de le baptiser du nom de « percolation », par analogie avec la fabrication du café dans un percolateur.

Le modèle de la percolation permet d’étudier les phénomènes qui se propagent dans l’espace au cours du temps, comme un incendie dans une forêt ou de l'eau au travers d'une couche de café en poudre. Prenons le cas des incendies de forêts. Au cours de son déplacement, le feu rencontre des zones qui sont favorables à sa propagation et des zones qui sont défavorables. On peut modéliser ce phénomène sur un paysage bidimensionnel (une vue d'avion) constitué d'une mosaïque de zones favorables (des zones où se trouve du combustible, de la végétation essentiellement, cases grises) et de zones défavorables (cases blanches), voir la figure 4. La dynamique du modèle est la suivante : à chaque pas de temps, le feu (cases noires) qui démarre sur la colonne du bord gauche se propage à toutes les zones favorables contiguës. La zone contiguë peut être définie, par exemple, par les huit cases voisines. La question est de savoir dans quelles conditions le feu va traverser de gauche à droite la mosaïque. Si c’est le cas, on dira que le phénomène a percolé (c'est le cas b).

(a)


















































































(b)


















































































Figure 4
Percolation des sites : un incendie (en noir) se propage sur des zones inflammables (grises) selon une direction du vent indiquée par la flèche. Les zones inflammables sont en nombre identique dans les deux cas mais disposées différemment.

Dans ce modèle, cela va dépendre de la proportion (densité) de zones favorables au sein de la mosaïque (elle est de 9/25 sur a et sur b). Cela peut aussi dépendre de la distribution spatiale des zones favorables dans la mosaïque ou de la taille de cette mosaïque. A chaque densité spatiale de zones favorables va correspondre une probabilité de percoler. Lorsque cette probabilité devient un, on dit que l'on a atteint la « densité critique », ou « seuil de percolation ».

De même que les modèles décrits plus haut, le modèle de la percolation peut donc être simulé sur un réseau régulier, une grille, les zones favorables étant disposés au hasard sur les mailles de la grille et étant connectées entre elles dans un voisinage. Il s'agit d'un modèle de percolation de sites. On peut aussi étudier la percolation de liens qui suppose que ce sont les liens qui sont « conducteurs » ou « isolant » et répartis au hasard sur la grille. Ainsi, il y a de nombreuses versions du modèle de percolation. Par exemple, on peut associer au lien de chaque paire de sites voisins, une valeur aléatoire indépendante et identiquement distribuée. Cette valeur s'interprète comme la durée nécessaire pour que le feu se propage d'une zone à un zone voisine. Différentes quantités peuvent être étudiées en fonction du modèle choisis. En plus de la densité critique de percolation, on peut déterminer l'évolution du nombre d'arbres vivaces et brûlés, l'évolution du front de l'incendie, la durée de l'incendie ou encore le délai nécessaire à la percolation des zones incendiées d'un bout à l'autre de la forêt.

Je me suis attardée sur la percolation et les incendies de forêt car cet exemple me servira d'illustration privilégiée dans le chapitre suivant.

Pour nombre de calculs analytiques sur les modèles de grille, comme pour le verre de spin, les résultats analytiques sont obtenus lorsque la taille linéaire de la grille est infiniment grande par rapport à la taille des constituants élémentaires et que les effets de bords peuvent être négligés. Au contraire, les effets de taille finie deviennent non négligeables dans une situation réelle comme un feu de forêt ou celle que j'ai étudiée dans un modèle de dynamique de populations (Amat et al, à soumettre). Dans cet article, nous utilisons la percolation pour décrire la capacité de dispersion des espèces dans un environnement hétérogène. Nous simulons la dynamique de deux populations en compétition, sur un automate cellulaire (voir section 2.3). L’environnement est décrit par une grille comprenant des zones habitables, où les populations des deux espèces peuvent s’installer, et des zones non-habitables. Lorsque l’on varie le nombre de sites non-habitables, on observe le phénomène de percolation : en faisant varier la densité de sites non-habitables, au voisinage du seuil de percolation, on change brusquement la connectivité de l’environnement. Le point important est que cette connectivité de l’environnement dépend non seulement du processus statique de fragmentation de l’habitat mais aussi du processus dynamique de dispersion de chaque population. En effet, l’environnement est connecté pour une population si ses individus peuvent se mouvoir d’une bout à l’autre de la grille (comme sur la figure 4b), et il devient fragmenté lorsqu’une population est confinée dans des ilôts. Or chaque espèce ne perçoit pas la connectivité de l’environnement de la même manière : cela dépend de son échelle de dispersion, c’est-à-dire sa capacité à franchir les distances qui séparent les îlots de zones habitables (Amat et al, à soumettre). Dans le modèle de percolation, cela se traduit par le fait que la densité critique dépend de la taille du voisinage : elle est de 41% de sites pour un voisinage (ou distance de dispersion) de 4 cellules, de 58% pour un voisinage de 8 cellules, etc.

Pour conclure, le modèle de la percolation partage avec les autres modèles présentés ci-dessus les éléments fondamentaux des systèmes désordonnés :


  • Il y a un grand nombre de composants qui plus est identiques :
    les zones, les spins, etc.


  • Ces composants sont en interaction, le plus souvent via une propriété spatiale (qui dépend de la distance) et locale (la contiguïté physique des zones, le potentiel entre atomes voisins, etc).


  • La structure du système est fortement hétérogène ce qui confère au modèle un caractère aléatoire (distribution aléatoire des positions relatives des composantes ou des interactions).

Ces modèles décrivent, à partir de ces hypothèses, l'apparition d'un phénomène critique (une transition) et font le lien entre le niveau global (les propriétés émergentes au niveau macroscopique) et le niveau local (les interactions entre composants du niveau microscopique). Les trois points ci-dessus sont partagés avec les systèmes complexes, en particulier les modèles d’automates cellulaires (section 2.3), à la différence près que les composants de l’automate cellulaire ne sont plus forcément tous identiques.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figure 5
Sur la première ligne est représenté le verre de spin comme un matériau contenant des impuretés magnétiques disposées aléatoirement dans une matrice régulière d’atomes (a). L’interaction entre ces impuretés dépend de la distance (b). Sur la deuxième ligne, on trouve une représentation du modèle EA, avec des impuretés magnétiques régulièrement espacées (c). L’interaction entre ces impuretés est maintenant une variable aléatoire, avec une densité de probabilité gaussienne (loi normale centrée) dans ce cas (d).




Le chaos dans les verres de spin

Au cours des années où j'ai fait de la recherche en physique (1989-1997), j'ai travaillé sur des matériaux aux propriétés magnétiques particulières, occasionnellement sur les supraconducteurs et principalement sur les verres de spin.

Il existe plusieurs centaines de matériaux reconnus comme étant des verres de spin. Les plus classiquement étudiés sont les matériaux métalliques cristallins où un métal noble (Cuivre, Argent, Or, Platine) est dopé d’ions métalliques magnétiques de Manganèse ou de Fer. Ces impuretés sont dispersées sans ordre particulier, ce qui est une caractéristique que l’on retrouve dans le verre (figure 5).

Les verres de spin possèdent plusieurs propriétés expérimentales remarquables : une transition de phase avec une phase basse température particulière (voir texte), dite phase verre de spin, des effets de vieillissement (ses propriétés à un instant précis dépendent de son âge et de son passé), une relaxation vers l’équilibre extrêmement lente caractéristique des systèmes vitreux.

La phase basse température est particulièrement complexe. Les corrélations spin-spin sont très sensibles à des changements de température (ou de champs magnétique externe) et sont des fonctions qui semblent varier aléatoirement avec la température. Usuellement, les phénomènes chaotiques sont caractérisés par le fait que deux conditions initiales, même extrêmement proches, peuvent provoquer de grands écarts entre deux trajectoires temporelles. Pour le chaos dans les verres de spin, la température fait varier les conditions initiales et l'échelle de longueur joue le rôle de l'échelle de temps.

Pour ma part, j'ai travaillé sur ce phénomène de chaos de façon discontinue entre 1989 et 1997, avec au départ une approche essentiellement mathématique, puis sur la fin en développant des simulations numériques lors d’un séjour à l’Université de Californie, Santa Cruz (Ney-Nifle et Young 1997, Ney-Nifle 1998).






Figure 6

Le nombre d’espèces de plantes que l’on trouve dans des quadrats d’aire croissante est une relation linéaire sur une échelle log-log. Il s’agit d’une mise en évidence de la relation espèce-aire dans le conté Hertforshire (en haut) (UK). L’exposant de la loi de puissance est ici de 0.192 (en bas).






Figure 7

Dans ces simulations, l’extension spatiale de l’espèce représentée (cases grises) est de 30% (à gauche) ou de 100% (à droite) tandis que l’occupation est de 10% dans les deux cas.




La biodiversité : évaluation de la diversité des espèces et de son érosion


Un problème crucial de l’écologie est celui désigné par le terme biodiversité (Lévêque 1997). La diversité des espèces, que recouvre en partie ce terme, pose de nombreuses questions comme celles de la quantification et la valeur de cette diversité, son rôle dans l’écosystème ou encore les mécanismes de son érosion, sous l’action de l’homme, et de sa restauration.

Un outil et aussi un modèle central dans l’étude de la diversité des espèces est la relation entre le nombre d’espèces dans un site et l’aire de ce site, souvent désignée par «loi espèce-aire». Cette relation a été observée sur le terrain de nombreuses fois et sa simplicité la rend très attrayante (souvent une loi de puissance avec un exposant plus petit que un, figure 6). Différents mécanismes ont été proposés pour retrouver cette loi de puissance ou d'autres relations plausibles (MacArthur et Wilson 1967, Coleman 1981, Durett et Levin 1996, Rosensweig 1997, Harte 1999). Ces auteurs proposent des facteurs déterminants possibles :

  • l'échelle spatiale (un réseau d'îles, une région, un pays, un continent),

  • la distribution de probabilité du nombre d'individus de chaque espèces en présence,

  • le positionnement dans l'espace des individus (aléatoire ou pas),

  • la dynamique de dispersion et de recolonisation des îlots ou des régions,

  • le rôle de certaines espèces clés dans un écosystème.

La plupart des modèles expliquant la forme de la relation espèce-aire font l’hypothèse que les individus des espèces sont repartis uniformément sur tout le site. Autrement dit, l'hétérogéneïte spatiale n’est pas prise en compte. Notre approche au contraire se base sur la connaissance de la distribution spatiale des espèces. Nous montrons que cet élément est essentiel s’il s’agit de prédire le nombre d’espèces perdues lorsque leur habitat se réduit.

En collaboration avec Marc Mangel, j’ai donc développé un modèle permettant de reconstruire la relation espèce-aire à partir d’informations sur la distribution spatiale des espèces : une distribution de probabilité pour l’extension spatiale et une autre pour le degré d’occupation (figure 7). Par des calculs analytiques puis numériques (cf texte - modèle d’Ising - et Ney-Nifle et Mangel 1999), nous dérivons la relation espèce-aire à partir de ces deux distributions.

Ce modèle nous permet ensuite d’illustrer l’intérêt de mesurer ces deux distributions pour déterminer une politique de conservation des espèces (Ney-Nifle et Mangel 2000). En effet, nous avons considéré le problème de l’estimation du nombre d’espèces perdues après réduction de l’habitat. Cette estimation est souvent basée sur une utilisation erronée de la relation espèce-aire. Le problème vient de la différence qu’il peut y avoir entre deux relations, toutes deux dites « relations espèce-aire ». La première est obtenue à partir du nombre d’espèces dans des sites d’aire de plus en plus grande, nombre moyenné sur des sites en différents endroits. La deuxième est obtenue à partir du nombre effectif (et non moyenné) d’espèces dans une aire donnée, croissante, en particulier celle qui va être détruite.

Notre modèle prédit une nouvelle relation qui dans certains cas sur-estime et dans d’autres sous-estime le nombre d’espèces perdues, par rapport à l’approche classique. Cela dépend de la géométrie de l’habitat détruit (site isotrope ou pas) et de sa connectivité (site plus ou moins fragmenté). Le modèle rend compte du fait que le taux d’extinction est fortement influencé par la présence d’espèces à extension spatiale limitée, des espèces rares ou endémiques.


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