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Nombre de Reynolds

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Pour les articles homonymes, voir Reynolds (homonymie). http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/disambig.svg/20px-disambig.svg.png

Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension utilisé en dynamique des fluides. Il a été mis en évidence en 1883 par Osborne Reynolds. Il caractérise un écoulement, en particulier la nature de son régime (laminaire, transitoire, turbulent etc. …).

Sommaire

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  • 1 Définition

  • 2 Interprétation du nombre de Reynolds

  • 3 Exemples

    • 3.1 En médecine

    • 3.2 En Hydromécanique

  • 4 La similitude des fluides

  • 5 Références

  • 6 Voir aussi

Définition [modifier]

Le nombre de Reynolds représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. Il s'énonce généralement de la façon suivante :

 re = {v l\over \nu}

avec les unités S.I. suivantes :

  • V - vitesse du fluide [m/s],

  • L - dimension caractéristique [m] du phénomène :

. diamètre pour une conduite (de section circulaire le plus souvent), diamètre hydraulique.

. dimension jugée la plus pertinente pour une conduite ou un obstacle de forme quelconque,

. abscisse depuis le bord d'attaque pour une plaque plane ou un profil d'aile.

ρ - (rhô) masse volumique du fluide [kg/m³],

η - (êta) viscosité dynamique du fluide [Pa.s],

Le nombre de Reynolds représente également le rapport (qualitatif) du transfert par convection par le transfert par diffusion de la quantité de mouvement.

En magnétohydrodynamique il est aussi possible de définir un nombre de Reynolds: le nombre de Reynolds magnétique.

Interprétation du nombre de Reynolds [modifier]

Le nombre de Reynolds peut s'écrire de la manière suivante :

 re = {{\rho v^2\over l}\over {\eta v\over l^2}} , Il s'interprète alors comme le rapport entre forces d'inertie et forces visqueuses.

On distingue trois principaux régimes.

  • Aux faibles valeurs du Reynolds (inférieures à 2000), les forces de viscosité sont prépondérantes, l'accélération convective étant négligée. On parle d'écoulement de Stokes. L'écoulement est laminaire (des éléments de fluide voisins demeurent voisins). De plus, comme l'inertie est négligeable, l'écoulement du fluide est réversible. Cela donne lieu à des comportements surprenants : si les forces extérieures sont soudainement stoppées, le fluide s'arrête immédiatement. Qui plus est, si les forces extérieures sont inversées, le fluide repart en sens inverse: dans une célèbre expérience de G.I.Taylor, une goutte d'encre, intialement mélangée dans un fluide visqueux, se reconstitue lorsqu'on a inversé le mouvement.

  • Aux valeurs intermédiaires du Reynolds (entre 2000 et 3000 environ), les forces d'inertie sont prépondérantes, mais l'écoulement reste laminaire. Cependant, il n'est plus réversible: si l'on stoppe les forces extérieures, le fluide continue partiellement sur sa lancée.

  • Aux fortes valeurs du Reynolds (au-delà d'environ 3000, voire plus haut), les forces d'inertie sont si importantes que l'écoulement devient turbulent. Entre les régimes laminaire et turbulent, on parle de régime transitoire.

Exemples [modifier]

  • Dans une conduite, l'écoulement est laminaire lorsque le nombre de Reynolds est inférieur à une valeur critique pour laquelle se produit une transition assez brutale vers le turbulent. 2300 est la valeur généralement retenue pour cette transition mais, dans des conditions soignées (paroi particulièrement lisse, stabilité de la vitesse), la transition peut se produire pour une valeur plus élevée. On considère souvent que la transition peut se produire entre 2000 et 3000.

  • Sur un cylindre à section circulaire placé dans un écoulement, on obtient un écoulement proprement laminaire qui s'ajuste parfaitement à l'obstacle jusqu'à un nombre de Reynolds de l'ordre de 1 ; un sillage turbulent apparaît à l'aval aux environs de 105. Entre les deux, la transition se fait à travers diverses formes de sillages tourbillonnaires.

  • Avec une plaque plane située dans le lit de l'écoulement, la dimension caractéristique n'est plus l'épaisseur de celle-ci mais la distance d'un point au bord d'attaque. En effet une couche limite, dans laquelle interviennent la viscosité ou la turbulence, se développe à partir du bord d'attaque. Si celui-ci présente une arête émoussée, la couche limite est turbulente dès le début. Dans le cas d'un bord effilé, la couche limite est laminaire sur une certaine longueur, puis devient turbulente ensuite. Cette laminarité se maintient jusqu'à une distance qui correspond au Reynolds critique de l'ordre de 5.105 marquant la transition du type d'écoulement, la zone située au delà développant une couche limite turbulente.

  • Pour un profil d'aile, la distribution d'épaisseur le long de la corde (et le gradient de pression négative associé) de certains profils dits "laminaires" stabilise la laminarité et permet de reculer le point de transition bien au delà de 5.105 : des valeurs de 7.106 sont possibles dans des conditions aérologiques non turbulentes (difficiles à obtenir en soufflerie) sur une surface parfaitement lisse (ailes de planeurs).

  • Un corps profilé comme un fuselage (Piaggio P180 Avanti) peut avoir une transition reculée jusqu'à 50.106, dans des conditions idéales également.

En médecine [modifier]

Les modifications de régime d'écoulement entraînées par la compression d'une artère, en règle générale l'artère humérale, lors de la prise de la pression artérielle sont responsables d'un bruit (« bruits de Korotkoff ») et permettent, par l'auscultation de l'artère en aval de la compression, de connaître la pression systolique -apparition du bruit-, et la pression diastolique -disparition du bruit.

En Hydromécanique [modifier]

Dans un circuit ou système hydraulique ou oléohydraulique l'écoulement doit toujours être, si possible, laminaire avec, comme seule dissipation d'une partie de l'énergie mécanique, sa transformation en chaleur. Au delà il est en phase dite critique, puis en régime turbulent qui utilise une partie de l'énergie mécanique pour créer des mouvements de plus en plus désordonnés, le rendement chutant alors considérablement

Sur un schéma hydraulique pour calculer les pertes en charges et le rendement d'un système hydraulique, il faut soit ajouter chaque élément pour obtenir le nombre de Reynolds complet, soit utiliser un abaque comme ici pour définir les Ø des tuyauteries, raccords et flexibles hydraulique

La similitude des fluides [modifier]

Deux écoulements à géométrie équivalente pour lesquels les nombres de Reynolds sont égaux sont dits semblables. Pour qu'une expérience de modèle réduit d'un écoulement donne bien un écoulement semblable (c'est-à-dire identique à changements d'échelles de temps, de distance et de masse près) à l'écoulement en grandeur nature, il faut que :

 re^{\star} = re \; et  \quad\quad {p^{\star}\over \rho^{\star} {v^{\star}}^{2}} = {p\over \rho v^{2}} \; .

Les valeurs marquées d'une astérisque « * » font référence à l'écoulement dans le modèle réduit et les autres valeurs à l'écoulement en grandeur nature. Ceci est utile pour les expériences sur les modèles réduits en veine liquide ou en tunnel aérodynamique où on récupère les données pour les écoulements en grandeur réelle. Pour les fluides compressibles, les nombres de Mach doivent aussi être égaux pour les deux fluides afin qu'ils puissent être considérés comme équivalents. De manière générale, il faut que les nombres sans dimension caractéristiques de l'écoulement soient identiques dans les deux écoulements

Équation de Darcy-Weisbach


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L'équation de Darcy-Weisbach est une importante équation très utilisée en hydraulique. Elle permet de calculer la perte de charge due à la friction dans une conduite.

Initialement l'équation est une variante de l'équation de Prony ; développée par Henry Darcy, puis modifiée en la forme actuelle par Julius Weisbach (scientifique saxon) en 1845 :

h_f = f \cdot \frac{l}{d} \cdot \frac{v^2}{2g}



  • hf représente la perte de charge due à la friction

  • f le facteur de friction

  • L la longueur de la conduite, D son diamètre

  • V la vitesse du flux

  • g la constante d'accélération due à la gravité

Voir aussi [modifier]

Analyse dimensionnelle


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L'analyse dimensionnelle est le domaine (restreint) de la physique qui concerne les unités des grandeurs. Notamment, le fait que les unités soient arbitraires fait que toute équation valable de la physique est homogène : quelque chose qui se mesure en mètres par seconde ne peut pas être égal à quelque chose qui se mesure en kilogrammes par mètre. C'est un moyen très prisé et très efficace de vérifier des calculs. D'autre part, cela peut permettre dans certains contextes d'établir des relations entre différentes données.

Sommaire

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  • 1 Étalons, unités et équation aux dimensions

  • 2 Signification des exposants

  • 3 Prédictions

    • 3.1 Illustration de la méthode

    • 3.2 « Principe zéro » de la physique théorique

    • 3.3 Exemple : la bombe nucléaire

  • 4 Notes

  • 5 Liens externes

  • 6 Voir aussi

Étalons, unités et équation aux dimensions [modifier]

L’équation aux dimensions est la formule qui permet de déterminer l'unité dans laquelle doit être exprimé le résultat d'une formule. C'est une équation de grandeurs, c'est-à-dire dans laquelle on représente les phénomènes mesurés par un symbole ; par exemple, une longueur est représentée par la lettre « L ».

Une grandeur est un paramètre mesurable qui sert à définir un état, un objet. Par exemple, la longueur, la température, l'énergie, la vitesse, la pression, une force (par exemple le poids), l'inertie (masse), la quantité de matière (nombre de moles)... sont des grandeurs.

La mesure d'une grandeur fait appel à la métrologie. Il faut définir un phénomène de référence, ou étalon, qui va permettre de dire : « le phénomène actuel fait x fois le phénomène de référence ». Pour simplifier l'énoncé, on définit une unité et l'on dit : « le phénomène actuel fait x unités ». Par exemple, si une barre fait trois fois l'étalon-mètre, on dit que « la barre mesure 3 mètres », le mètre étant l'unité de longueur.

Il faudrait ainsi trouver un phénomène de référence par phénomène observé. Heureusement, on peut construire des étalons à partir d'étalons déjà existants : par exemple, l'étalon-vitesse peut se construire à partir de l'étalon-longueur et de l'étalon-temps :

la vitesse de référence est la vitesse d'un objet qui parcourt un étalon-longueur durant un étalon-temps, soit un mètre par seconde.

On ne définit ainsi pas d'unité spécifique, mais on compose l'unité à partir d'unités existantes.

On a pu ainsi se ramener à seulement sept étalons :

Notons que l'on aurait pu choisir sept autres grandeurs de référence, par exemple définir la vitesse comme grandeur de base et définir l'étalon-longueur en fonction de l'étalon-vitesse et de l'étalon-temps (c'est ce qui est d'ailleurs fait implicitement, l'étalon-vitesse étant la vitesse de la lumière dans le vide) ; le choix de ces sept grandeurs est une construction historique, les grandeurs ont été choisies depuis le XVIIIe siècle en fonction des besoins et des étalons que l'on pouvait fabriquer de manière simple et précise.

Ainsi, la dimension d'une grandeur est la manière dont se compose le phénomène-étalon à partir des sept étalons de base. Par exemple, on dit que « la dimension d'une vitesse est une longueur divisée par une durée » (on dit aussi « la vitesse est homogène à une longueur divisée par une durée). On note ceci de manière abrégée par une équation aux dimensions :

\left[ v \right] \; = \; \frac{l}{t}.

L'unité utilisée représente cette équation aux dimension, par exemple pour la vitesse, l'unité est le « mètre par seconde », noté m.s-1 (ou m/s).

La composition peut devenir plus complexe. Ainsi, la force a la dimension d'une masse multipliée par une longueur et divisée par une durée au carré :

\left[ f \right] \; = \; \frac{m.l }{t^2} \; = \; m.l.t^{-2}que l'on peut aussi noter \left[ f \right] = \frac{m.v}{t}.


et l'unité de force, le newton (noté N) est donc homogène à des kg.m.s-2 (kilogramme mètre sur seconde carrée). Cela signifie que l'étalon-force est un phénomène permettant de faire passer une masse de 1 kg d'une vitesse 0 à 1 m.s-1 en 1 s.

Signification des exposants [modifier]

Les exposants indiquent le degré d'influence d'un paramètre composant le phénomène sur l'intensité finale du paramètre. Ce sont précisément ces exposants qu'on appelle « dimensions » dans l'expression « équation aux dimensions ».

Par exemple, dans le cas de l'étalon-force, considérons la forme intermédiaire de l'équation aux dimensions :

\left[ f \right] = \frac{m.v}{t}.

Si l'on double la force :

  • on peut accélérer une charge double sur une même durée et atteindre la même vitesse, le [M] a donc un exposant 1 (stricte proportionnalité) ;

  • on peut accélérer la même charge sur une même durée pour atteindre une vitesse double, le [V] a donc un exposant 1 ;

  • on peut accélérer la même charge durant la moitié du temps pour atteindre la même vitesse, le deuxième [T] a donc un exposant -1 (1/[T]).

Prédictions [modifier]

L'analyse dimensionnelle permet de trouver la solution de certains problèmes sans avoir à résoudre d'équations grâce au théorème de Buckingham (parfois appelé « théorème Pi »). Deux exemples célèbres sont le calcul de la puissance de la première bombe atomique et le modèle de Kolmogorov de la turbulence homogène isotrope, qui a influencé grandement toute la mécanique des fluides. Ce type de calcul n'est valable que si un petit nombre de paramètres contrôlent la solution d'un problème (2 ou 3).

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