Centre Régional des Métiers Cycle secondaire qualifiant

Calcul de contraste des franges : Le contracte ou le facteur de visibilité des franges est donné par : C= Avec (0≤ C ≤ 1) Dans le cas des interférences données par une lame à faces parallèles, d’indice n = 1.5, placée dans l’air, le contraste est : Par réflexion : C = (2×0.21×0.19) / (0.04+0.038) ≈ 1 Par transmission : C = (2×0.96×0.038) / ((0.96)²+(0.038)²) ≈ 0 Les franges par réflexion sont très contrastées, et beaucoup moins par transmission. IV- Interféromètre de Michelson Interféromètre de Michelson théorique C’est un dispositif interférentiel à deux ondes. Il est constitué essentiellement d’une lame semi-réfléchissante dite séparatrice notée SP de deux miroirs plans M1 et M2 Figure 2 Interféromètre de Michelson théorique Les vis V3 et V4 permettant un réglage d’orientation grossier de M2 Les vis V1 et V2 permettant un réglage d’orientation plus fin de M1 Les vis V4 permettant un translation de M2 appelée parfois chariotage. V4 étant graduée, elle permet de repérer la position de M2 d’orientation Shema équivalent D’après la figure 2 ci-contre, la difference de marche Optique En un point M est : Figure 2 Montrons que la figure 3 ci-contre est équivalente à la figure 2 au point de vue différence de marche optique (n’’oublions pas que l’on s’intéresse à des phénomènes d’interférences deux ondes et que l’intensité lumineuse en point M : I(M) I1 + I2+2 En effet, d’après la figure 3,S’,P’et M’2 sont respectivement les images de S,P et M2 par la séparatrice (Sp),donc :SK=S’K,KP=KP’,PN=P’N et SI=S’I et par conséquent : Figure 3 D’où : (S’P’+P’M)-(S’J+JM)=((S2P’+P’+P’M)-(S1J+JM) Avec :S1image de S’ par M’1, et S2image de S’ par M2 = S2M-S1M Par conséquent, le schéma équivalent de l’interféromètre de Michelson théorique est : Figure4 :schéma équivalent de l’interféromètre de Michelson théorique Franges d’égale inclinaison ou Franges d’Hedinger Dans ce cas, les images M1 et M2 sont perpendiculaires c'est-à-dire M1 et M2’ sont parallèles. On dit que l’interféromètre de Michelson est en lame d’air à faces parallèles. 2 clairons l’interféromètre de Michelson avec une source étendue monochromatique de longueur d’onde et émettant un faisceau convergent sur le miroir M2 (figure 5) Figure 5 On observe donc une figure d’interférence avec le maximum de contraste à l’infini, puisque la surface de localisation des franges est l’ensemble de points M où interférent deux rayons lumineux issus d’un même rayon incident. Pratiquement, on observe cette figure sur un écran loin de quelques mètres de l’interfère ou sur le plan focal image d’une lentille convergente. Calcul de différence de marche en un point M à l’infini Si e est la différence de marche entre M1 et M’2, alors la distance entre S1 et S2 est S1S2=2e. effectivement, si on écarte un miroir de e,l’image d’un objet s’écarte de 2e On en déduit la différence de marche en un point M à l’infini (figure 5) L’ordre d’interférence au point M est donc : P(M) = On en déduit l’ordre d’interference au centre de la fégure (i=0) P(M) Comme p0 est quelconque, l’intensité du centre est quelconque(il peut être brillant,sombre ou d’intensité intérmédiaire.) Calcul de l’intensité lumineux au point M : I(M) I1 + I2+2 Les franges dégale intensité vérifient I(M)=cte,ce sont donc des anneaux d’égales inclinaisons localizes à l’infini. Série d’exercices Optique Ondulatoire : Interférences Lumineuses Exercice 1 : Superposition de deux vibrations Soient deux vibrations cohérentes Ψ1 = a1 cosω t et Ψ2 = a2 cos (ωt – φ) Calculer l’intensité lumineuse résultante en un point M où ces deux vibrations se superposent. En déduire : La valeur maximale de l’intensité lumineuse et l’équation générale des franges brillantes. La valeur minimale de l’intensité lumineuse et l’équation générale des franges sombres. Le contraste des franges en fonction des amplitudes a1 et a2. Exercice 2 : Fentes d’Young On réalise l’expérience de Young en utilisant un système de deux fentes (F1, F2) placé dans l’air et éclairé par une source de lumière monochromatique de longueur d’onde λ. Les fentes F1 et F2 sont distantes de a et les franges d’interférences sont observées sur un écran (E) parallèle au plan des fentes et situé à la distance D = 100 cm de ce Plan. Qu’observe-t-on sur l’écran (E) ? Pourquoi ? quel est l’avantage d’utiliser les fentes à la place des trous ? Calculer la différence de marche δ en un point de l’écran (E) en fonction de x, a et D. On pose que : x = O’M et D >> a. En déduire la position des franges brillantes et l’interfrange i. quelle est la position x0 de la frange centrale ? quelle est sa nature ? justifier votre réponse. Le centre de la 7ème frange brillante est à 14 mm de la frange centrale d’ordre zéro. Déterminer la longueur d’onde λ de la source, (a = 0.25 mm). Exercice 3 : Miroir de Lloyd On éclaire un miroir (m) par une source lumineuse ponctuelle (S), située à une hauteur d = 2 mm du plan du miroir. (S) émet une radiation de longueur d’onde λ = 655 nm. A et B sont les deux points extrémités du miroir dans le plan de la figure, AB = b = 15 cm, HA = c = 25 cm (H étant la projection orthogonale de (S) sur le plan (m)). Pour observer la figure d’interférences, donnée par ce dispositif, on place un écran (E) perpendiculairement au plan du miroir à 60 cm de l’extrémité B. Faire un schéma complet du dispositif et expliquer brièvement ce qu’on observe sur l’écran (E). Dire pourquoi ? Soit D la distance entre la source (S) et l’écran d’observation (E). Donner l’expression de la différence de marche δ en un point M de l’écran repéré par son abscisse x. En déduire la nature de la frange située en B. Exercice 4 : Lame à Face Parallèle Une source ponctuelle monochromatique, de longueur d’onde λ, éclaire une lame à faces parallèles d’épaisseur e constituée d’un matériau transparent (verre) d’indice n. La source S émet des rayons dans toutes les directions, et on s’intéresse en particulier à l’un de ces rayons, qui arrive sous l’incidence i sur la lame. Ce rayon se divise en une partie réfléchie et une partie transmise au niveau de la face de la lame (voir figure). On ne s’intéresse qu’aux rayons réfléchis sur la lame (représentés sur la figure), et non aux rayons transmis à travers la lame et émergeant du côté non éclairé. Qu’observe-t-on sur l’écran (E). Calculer la différence de marche δ entres les deux rayons R et R’ Problème : Interféromètre de Michelson On étudie des phénomènes d’interférences a deux ondes qu’on l’on illustre a l’aide de l’interféromètre de Michelson 1. Pour obtenir des interférences a deux ondes on peut utiliser soit un dispositif a diviseur de front d’ondes soit un dispositif à division d’amplitudes. 1.1 Préciser pour les deux cas suivants la localisation des franges en lumière monochromatique avec : a. Une source ponctuelle b. Une source entendue On donnera un dispositif de font d’onde 1.2 Quelle est le rôle de la longueur de cohérence dans les conditions d’observations des franges d’interférences ? 2.Un interféromètre de Michelson est constitué par une lame semi réfléchissante non absorbante appelé séparatrice Sp dont les facteurs de transmission et de réflexion énergétique valent ½ et de deux miroirs plans M1 et M2 perpendiculaire l’un à l’autre. La lame SP inclinée à 45° par rapport aux normales à M1 et M2.L’interféromètre est plongé dans l’air. Dans toue le problème on ne tiendra compte ni des inconvénients liées à l’épaisseur non négligeables de la séparatrice (qui sont supposées parfaitement corrigés à une lame compensatrice), ni d’éventuels changement de phase par réflexion l’indice de l’aire soit pris égale à 1. On utilise comme source étendue S une lampe spectrale de symétrie de révolution autour de l’axe SJ. 2.1 Comment sélectionner une raie quasi-monochromatique de la lumière émise par la lampe ? 2.2 On part de la situation où les deux bras sont égaux (JA1=JA2 ) on observe en lumière monochromatique dans le plan focal d’une lentille mince convergente L d’ax optique Jy et de distance focale f’=1m a. Qu’observe-t-on ? b. Pourquoi est-il nécessaire de diaphragmer la lentille ou de limiter l’inclinaison des rayons incidents issus de la source primaire ? 3. On déplace M2 normalement a son plan de e=1,1mm dans la direction des x positifs. 3.1 Donner le schéma équivalent du dispositif. 3.2 Donner en le justifiant le lieu de localisation des franges d’interférences 3.3 Avec une raie de longueur d’onde dans le vide, déterminer le rayon du premier anneau brillant. 3.4 On place sur le bras JA1et parallèlement au miroir M1 , une lame d’épaisseur e’=9,5 Et d’indice n=1,5117 .Calculer la variation de l’ordre d’interférence au centre et le rayon du premier anneau brillant. 4. A partir de la situation où les deux bras sont égaux (JA1=JA2) , on fait tourner le miroir M2 d’un angle très faible autour d’un axe perpendiculaire JA1A2 et passant par A2. 4.1 Donner le schéma équivalent du dispositif. 4.2 Comment éclairer le coin d’air sous incidence quasi-normale ? 4.3 Pour des rayons lumineux voisins de l’incidence normale, faire apparaitre à l’aide d’un schéma, la position du plan de localisation de la figure d’interférence. 4.4 Comment faut-il placer la lentille L pour observer les interférences sur un écran ? 4.5 Caractériser le système de franges et donner la valeur de l’interfrange i sur l’écran, sachant que le grandissement de la lentille est 4. 4.6 On éclaire le coin d’air en lumière blanche, et on replace la lame d’épaisseur e’.Indiquer un moyen de déterminer l’épaisseur e’ ou l’indice moyen de la lame. 5. L’interféromètre est réglé comme à la question 4, mais la source primaire est maintenant une lampe à vapeur de sodium dont on suppose que le spectre d’émission ne contient que des raies intenses , de couleur jaune et de longueur d’onde 5.1 Expliquer le phénomène. 5.2 En déduire . 6.L’interféromètre est réglé comme à la question 4. La radiation utilisée maintenant, la raie rouge du cadmium (),n’est pas rigoureusement monochromatique. On peut admettre que le spectre d’émission : est une constante entre  ; est la fréquence centrale de la raie correspondant à la longueur d’onde . 6.1 Déterminer le facteur de visibilité V (ou facteur de contraste) des franges en fonction de la différence de marche, de et de la célérité de la lumière dans le vide. 6.2 Pour quelle valeur de , V s’annule-t-il pour la première fois ? On notera Lc la longueur de cohérence temporelle de la source. 6.3 Michelson avait trouvé pour la raie rouge du cadmium Lc= 30cm .Calculer pour la raie rouge du cadmium. En déduire la durée du train d’onde .

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