Centre Régional des Métiers Cycle secondaire qualifiant

Cas du dispositif des trous d’Young Une frange d’interférence est caractérisée par =cst, ie puisque =nax/D par x=cst : les franges d’interférences sont des portions de droites d’équations ici x=cst, c’est-à-dire perpendiculaires au segment [S1S2]. On peut définir ainsi les franges brillantes et les franges sombres. Les franges brillantes sont obtenus lorsque les deux ondes sont en phase à 2près, c’est-à-dire lorsque la différence de marche est un multiple de la longueur d’onde dans le vide, ou encore lorsque l’ordre d’interférence est entier. On parle d’interférences constructives. Frange brillante FB : lieu des points où l’éclairement est maximum FB :I(M)max=1 =2k Frange brillante  Les franges sombres, quant à elles, sont obtenues lorsque les deux ondes sont en opposition de phase, c’est-à-dire lorsque la différence de marche est un multiple impair de la demi longueur d’onde, ou encore lorsque l’ordre d’interférences est demi entier. On parle d’interférences destructives. FS :I(M)min=-1 =(k+1/2)2 Frange sombres  Frange centrale C’est le lieu des points où la différence de chemin optique pour les deux trajets est nulle. Frange centrale : )=0 )=0rad p()=0 Dans le cas étudié, elle a pour équation : xFC=0 (et sa position ne dépend pas de la longueur d’onde utilisée 0). Interfrange C’est la distance séparant les centres de deux franges brillantes consécutives (ou deux franges sombres consécutives). Nous avons vu que l’éclairement est une fonction périodique de x. L’interfrange est donc la période de cette fonction I(x). I(M) I1 + I2+2 De la forme I(M) I1 + I2+2 L’interfrange est donc la variation |x| de x qui correspond à une variation du déphasage de 2, ou encore à une variation de l’ordre d’interférence d’une unité, ou encore à une variation de la ddm de . I interfrange Contraste Définition générale : On caractérise la visibilité des franges par le facteur de contraste C (aussi appelé « contraste » ou« facteur de visibilité ») défini par : C= où Imax est l’éclairement maximum et Imin l’éclairement minimum. Le contraste est toujours compris entre 0 et 1. Cas du dispositif des trous d’Young : C= Cas usuel I1=I2 : le contraste vaut alors 1 : C=1. influence du déplacement de la source parallèlement à S1S2 Soit O’’X un axe parallèle à O’x, coupant la médiatrice de S1S2 en O’’, position primitive de la source S. Soit XS la nouvelle abscisse de la source S (après déplacement parallèlement à S1S2). Pour calculer la différence de marche, il faut tenir compte cette fois de la contribution non nulle de (SS2)-(SS1). La géométrie des triangles S1S2S et S1S2M étant analogues, le calcul de cette deuxième contribution est identique à celui de la première. S2M-S1M= et SS2-SS1 = La ddm et l’éclairement en M s’écrivent donc, d étant la distance du plan des trous à la source S, distance supposée grande devant l’écart des trous « a » : I(M) I1 + I2+2 Les franges sont toujours d’équation x=cst : ce sont toujours des droites orthogonales à la direction S1S2 . L’interfrange est toujours le même : i=D/a. La frange centrale a été translatée par rapport au cas « symétrique » « S en O’’ », dans le sens opposé au sens de déplacement de la source Le plan contenant la frange centrale et S passe toujours par le milieu du segment S1S2 . III-Interférences par Division d’amplitude Le champ d’interférences dans ce cas n’est pas limité et les interférences sont dites non localisées. Il existe cependant une autre façon de produire des interférences en utilisant la division de l’amplitude d’une onde qui, partiellement réfléchie et transmise sur un dispositif, peut se recombiner pour former des interférences. On montre dans ce cas que les interférences sont localisées soit sur le dispositif soit à l’infini. Etude d’une lame mince Nous considérons une lame mince dont les deux faces sont rigoureusement parallèles entre elles que l’on éclaire par une source monochromatique en incidence normale placée au dessus de la lame. Le phénomène est observé en réflexion (ou en transmission) sur un écran placé à grande distance de la lame si la source est étendue. On observe une figure d’interférences constituée d’anneaux sombres et brillants concentriques dont le diamètre diminue quand l’épaisseur e de la lame augmente. L’utilisation d’une lentille permet de projeter les anneaux sur un écran placé à la distance focale f de la lentille de projection. Les anneaux sont aussi visibles à l’œil nu puisque le cristallin de l’œil permet de focaliser les rayons lumineux sur la rétine. Figure 1 : Illustration de la division d’amplitude au passage aux points A, B et C du faisceau Incident sur un dioptre. L’onde incidente est divergente et est donc constituée d’une infinité de rayons contenus dans le cône d’émission de la source. Un rayon particulier issu de la source (Figure 1) se réfléchit en partie au point A sur le haut de la lame. De façon complémentaire une fraction du rayon incident est transmise à travers la lame en subissant une réfraction avant de se réfléchir au point B du bas de la lame pour ressortir au point C après une seconde réfraction. Au point A, l’onde incidente d’amplitude E0 subit donc une division d’amplitude puisque le champ réfléchi s’écrit r0;1E0 et le champ transmis t0;1E0: Les coefficients r0;1 et t0;1 sont respectivement les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude du dioptre air-lame. Ces coefficients sont définis par les relations de Fresnel qui traduisent la continuité du champ électrique et de sa dérivée à l’interface. En incidence normale, on peut montrer que avec la relation constitutive de Fresnel 1+r0;1 = t0;1 Pour le dioptre air-verre, n0=1et n1=1.5 Le coefficient de réflexion r0;1 est alors négatif et vaut sensiblement 20% ce qui conduit à une transmission de 80% du champ incident dans la lame. Le caractère négatif du coefficient de réflexion traduit le fait que l’onde est réfléchie en opposition de phase avec le champ incident ce qui peut aussi sevoir en écrivant Une réflexion sur le dioptre air-verre se fait donc avec un changement de phase de Si le dioptre du bas est le dioptre milieu-air, nous pouvons réutiliser ces relations en interchangeant les indices et l’on obtient Il n’y a pas de changement de phase dans ce cas et l’on voit que r1;2 = -r0;1 = r et t1;2=120%. Il est à première vue surprenant que l’amplitude transmise puisse être supérieure à celle de l’onde incidente mais il n’y a pas de contradiction car ce qui importe c’est la conservation de l’énergie. Il est facile de vérifier que les modules au carré, R et T, des coefficients de réflexion et de transmission vérifient R+T=+ Nous voyons donc que le champ incident se divise en amplitude à chaque fois qu’il rencontre un dioptre. Les rayons issus de cette division ont une amplitude qui dépend du nombre de divisions effectuées. Ainsi le rayon incident d’amplitude E0 se divise en deux rayons d’amplitude -rE0 et t0;1E0 ce qui conduit à un rayon émergeant en C d’amplitude t0;1t1;0rE0: Nous pouvons facilement extrapoler le résultat aux rayons qui subissent des réflexions multiples pour trouver que leurs amplitudes seraient t0;1t1;0r3E0; t0;1t1;0r5E0… Les rayons émergeants ont donc une amplitude qui varie comme ¡0:2; 0:2x0:96, 0:23x0:96; 0:25x0:96: Il s’ensuit que les deux premiers rayons ont des amplitudes équivalentes alors que les rayons suivants ont des amplitudes négligeables. Il est clair que les interférences observées sur l’écran proviennent de la superposition des deux premiers rayons que l’on appellera R1 et R2. Ces deux rayons sont issus du même rayon incident dont l’amplitude est divisée en A. Ils présentent donc à leur sortie de la lame une cohérence parfaite et ils interfèrent car ils ne parcourent pas le même trajet dans la lame. Calcul de la différence de marche Les rayon R1 et R2 sont parallèles entre eux après les diverses réflexions. Pour connaître leur différence de marche il convient d’établir la différence de chemin optique parcourue par les deux ondes à l’issue de leur division en A (Figure 1). Nous remarquons qu’à partir des points C et H les deux rayons parcourent les mêmes chemins optiques. La différence de marche est donc En utilisant la loi de Snell-Descartes, n0 sini = n1 sin r; nous obtenons Cette différence de marche correspond à une différence de phase entre le rayon 2 et le rayon 1 qui est égale à Il convient de se souvenir alors que le rayon R1 a subi un déphasage de à la réflexion ce qui n’est pas le cas du rayon R2. Il s’ensuit que Nous voyons ainsi que la différence de phase entre les deux rayons R1 et R2 est obtenue en faisant la somme des différences de phase dues à la propagation et à la réflexion soit Avec et Nous remarquons que le déphasage entre les deux rayons ne dépend que : de l’épaisseur de la lame et de son indice de l’angle de réfraction dans la lame donc de l’angle d’incidence par application de la loi de Snell-Descartes de la longueur d’onde d’observation Il en résulte que le déphasage est constant pour une lame et une longueur d’onde données si l’angle d’incidence (égal à l’angle de réflexion) est constant soit Le lieu des points d’incidence constante à partir de la source est un cône de demiangle au sommet i. On voit donc de suite qu’un déphasage constant correspondra à des rayons incidents donc réfléchis ayant tous la même inclinaison ce qui explique pourquoi a) on observe des anneaux si l’on place l’axe principal de la lentille perpendiculairement à la lame b) les anneaux sont qualifiés de franges d’égale inclinaison. c) les franges sont localisées à l’infini et que les anneaux sont observables dans le plan focal image d’une lentille mince Nous notons que les anneaux brillants correspondent à un déphasage multiple de 2 ce qui donne leur ordre d’interférence p p= avec p=0,1,2 L’ordre d’interférence est demi-entier pour les anneaux sombres. D’une façon générale pour un angle r on peut calculer un ordre p quelconque (fractionnaire) qui vérifie p= Calcul des rayons des anneaux : L’ordre d’interférence de kième anneau : p = δ/λ = 2 ne cos rk /λ + 1/2 L’ordre d’interférence au centre (i = 0 => r = 0) : p0 = δ0/λ = 2 ne/λ + 1/2 L’anneau central admet donc l’ordre d’interférence le plus élevé p0. Pour une incidence : ik ≠ 0, la variation d’ordre rapportée au centre est : k = p0 – p = 2ne (1 – cos rk)/λ ; k entier k ≈ (2ne/λ). (n/ik)2 /2 = (e/nλ). ik2 D’où C’est l’angle sous lequel on observe le kième anneau. Dans le plan focal (E) de la lentille (L), le rayon de cet anneau est : ρ k = : la distance focale de la lentille Cette mesure nous permet de déterminer par exemple soit l’épaisseur e, soit l’indice de réfraction n, ou bien la longueur d’onde λ.

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