I. Etude statique : vérification du théorème des moments








télécharger 49.36 Kb.
titreI. Etude statique : vérification du théorème des moments
date de publication30.03.2017
taille49.36 Kb.
typeDocumentos
p.21-bal.com > comptabilité > Documentos
Montage n° 13

Étude expérimentale en statique et en dynamique d'un solide mobile autour d'un axe fixe.

Introduction


Archimède fut le premier à analyser le phénomène de levier (3ème siècle av JC). On luis doit d’ailleurs la fameuse citation : « Donnez-moi un appui et un levier et je soulèverai la terre. » Je vais mettre ce phénomène en évidence en m’aidant de la porte (ou d’un disque).

On réalise ici une série d’expériences qualitatives illustrant la notion de moment d’une force.

La force étant créée avec la main, on procède de la façon suivante (figure 4). Il n’y a aucune rotation si :

1 • la force est nulle ;

2 • la direction de la force passe par l’axe D ( appartient au plan du disque);

3 • le point d’application de est sur l’axe D (OM = 0) ;

4 • est parallèle à l’axe D

Il y a une rotation si : le point d’application de est dans le plan du disque (ou de la porte) et la direction de est quelconque. Le sens de la rotation dépend de sens de .

Elle est d’autant plus « facile » que le point d’application est plus éloigné de l’axe D et que la direction de est perpendiculaire à l’axe D.


Toutes ces constatations peuvent se résumer dans ces formules :

Au 18ème siècle, Huygens et Koenig ont mis en évidence la notion de moment cinétique.

Théorème du moment cinétique : avec . Dans le cas du solide,

Expériences :


Montage prépa Capes : plan OK

  1. statique : portique soumis à 3 forces  notion d’équilibre, vérification du théorème des moments [1] [3]

  2. dynamique :  mouvement uniformément accéléré ; influences de différents paramètres sur la vitesse de rotation [1]. Mesures au chronomètre pour pouvoir montrer que l’accélération est constante.

  3. mvt périodique : pendule de torsion  on fait varier le bras de levier pour remonter à I.



I.Etude statique : vérification du théorème des moments


Dans un référentiel galiléen, la condition nécessaire pour qu’un solide mobile autour d’un axe fixe soit en équilibre est que la somme des moments par rapport à un axe  des forces qui lui sont appliquées soit nulle. ∀ ,)=0 (application du théorème du moment cinétique)

On travaille avec 2 ou 3 masses. On vérifie que le solide est équilibré.

Fil inextensible. Donc la norme des forces exercées = poids de la masselotte.

Forces exercées sur le solide : Fi, poids du solide (P) et réaction exercée par l’axe du solide (R). Mais le moment de R et de P par rapport à l’axe de rotation du solide est nul car leur point d’application passe par l’axe de rotation du solide.

avec

Calcul d’erreur : ℳ/ℳ=g/g+d/d+m/m avec d=2mm (épaisseur du fil) et m/m et =g/g négligeables.


II.Etude dynamique

    1. II.1 solide en rotation soumis à une force de moment constant [1]

On utilise une poulie à plusieurs gorges, mobile autour d’un axe vertical D sur lequel est fixé une tige comportant deux masselottes diamétralement opposées, de positions réglables.



On appelle :
  • M la masse des masselottes cylindriques de rayon r et de hauteur h


P

T

T’

R le rayon de la poulie autour de laquelle la ficelle est enroulée
  • m la masse du corps qui provoque le

  • mouvement

  • J0 le moment d'inertie par rapport à  de l'ensemble sans masselotte

  • JM le moment d'inertie d'une masselotte par rapport à 

  • JG le moment d'inertie d'une masselotte par rapport à G //  passant par le centre G d'une masselotte

  • T la tension du fil appliquée à la poulie de rayon R

  • d la distance entre  et le centre d'une masselotte

  • n le nombre de tours effectués par la tige.




Théorie :

PDF appliqué à m : mg – T = ma T=m(g-a) avec a= z=z0+R si on dérive 2 fois :

=R T=m(g- R)






Appliquons le théorème du moment cinétique à l’ensemble {poulie 3 gorges,masselottes,barre}

d’où J=RT’=RT=Rmg – mR2 (mR2 + J)= Rmg

L’accélération angulaire est constante pour m donnée et I donné. Donc =constante.


On intègre 2 fois en considérant que et

On a =2πn d’où
II.1.1. Influence de la masse

On mesure au chronomètre, le temps que met l’équipage mobile pour faire n tours.

m (g)

n

t(s)

(rad.s-2)

50

1

6,31

0,32

2

9,12

0,30

100

1

4,62

0,59

2

6,37

0,62

20

1

10

0,13

2

15,09

0,11


(mR2 + J)= Rmg si J >> mR2 (R le plus petit possible et d le plus grand possible) , alors J= Rmg

On trace =f(m). la pente sera égale à Rg/J

Connaissant R et g, on en détermine J
On peut comparer à la théorie : J = J0 + 2JM = J0 + 2 Md2
II.1.2. Influence du moment d’inertie

=

On rapproche les masselottes de l’axe. On trace =f(d2).

Pour m=20g et R constant. On peut faire la mesure pour n=2. On utilise toujours


d (mm)

t(s)

(rad.s-2)





































= ==Ad2+B
Conclusion : si on diminue J, l’accélération angulaire augmente. Cf la patineuse qui rapproche ses bras pour avoir une vitesse de rotation plus importante.
L’ordonnée à l’origine, B, nous permet de remonter à J0. A comparer avec la théorie ( ?)

    1. II.2 mouvement d’oscillation (si on a le temps)


Pendule réalisé avec mobile + tige rigide sur la table à digitaliser

On montre que la période des oscillations dépend

  • de m (on peut ajouter une bague sur le mobile)

  • de g (en modifiant l’inclinaison de la table, c’est comme si on diminuait g)

  • de la longueur de la barre ???



Conclusion


Les exemples d’application des solides en rotation autour d’un axe fixe sont nombreux : on peut citer roue de voiture, machine outil.

BIBLIO


  • [1] Bellier Dunod Ch 13 p235 (théorie Tbien expliquée) TB pour exp

  • [2] Duffait p228 Bof…

  • BUP n°

  • [3] Quaranta moment d’une force p.228

rotation autour d’un axe p. 375

pendule de torsion p. 315


QUESTIONS


r
Attention : le moment d’inertie J n’est pas un scalaire : uniquement quand coïncide avec un axe principal de , donc la matrice [J] se diagonalise .

  1. Quel est le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe.



J homogène à [M][L]2

  1. Pourquoi ajoute t’on des volants d’inertie sur les machines outils ? pour augmenter le moment d’inertie. En effet il y a une hétérogénéité des pièces àusiner. Donc parfois, il y a variation brusque de la vitesse de rotation de la fraise. On augmente donc I.

  2. Equilibrage statique : si un système est mal équilibré, il y a des efforts sur les roulements qui peuvent entraîner leur destruction. Dans l’équilibrage statique, on cherche à confondre le centre de masse avec l’axe de rotation (symétrie de révolution autour de l’axe de rotation. Si ce n’est pas le cas, on ajoute des masselottes)

  3. Equilibrage dynamique : réalisé après l’équilibrage statique. On cherche à confondre l’axe de rotation de al roue avec l’axe principale du tenseur d’inertie (sinon, un couple s’exerce sur l’axe, qui va avoir tendance à plier l’axe.



Historique

Avant de devenir une science à part entière, la mécanique a longtemps été une section des mathématiques.

De nombreux mathématiciens y ont apporté une contribution souvent décisive, parmi eux des grands noms tels que Euler, Cauchy, Lagrange, ... Jusqu'à la fin du XVIIIe siècle, la mécanique a été le domaine applicatif naturel des mathématiques, le domaine dans lequel on pouvait tenter de faire entrer les faits expérimentaux dans le cadre rigoureux des mathématiques. Inversement, certains problèmes de mécanique ont donné naissance ou orienté l'intérêt des mathématiciens vers des théories telles que la géométrie ou les équations différentielles.

Historiquement, la mécanique statique a été le premier domaine étudié par les savants. De l'antiquité jusqu'au Moyen Âge des notions fondamentales telles que l'équilibre, le célèbre bras de levier d'Archimède (287 av JC – 212 av JC) (« Donnez-moi un appui et un levier et je soulèverai la terre. »)ou encore la notion beaucoup plus abstraite de force ont été étudiées. Plus tard, l'intérêt s'est porté vers la dynamique, c'est-à-dire les phénomènes qui régissent le mouvement des solides, domaine dans lequel Galilée, pour la chute des corps, et Newton dans ses célèbres Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ont apporté des contributions décisives.

Toutefois, jusqu'à la fin du XVIIIe siècle, la mécanique se séparait en deux branches : la mécanique du point d'un côté et la mécanique des fluides de l'autre. Dans le cas de la mécanique du point, les objets étudiés sont supposés implicitement indéformables et le mouvement du solide complet peut alors être décrit par le mouvement d'un de ces points remarquables : le centre de gravité. Il a fallu attendre le courant du XIXe siècle pour voir apparaître les premières théories des solides déformables qui allaient permettre de réunir la mécanique des solides et la mécanique des fluides dans un même cadre, celui de la mécanique des milieux continus.

Parallèlement, un autre formalisme prenait naissance pour expliciter le mouvement des solides : Lagrange, dans un premier temps, puis Hamilton ont développé une approche dite analytique qui prenait comme axiome non plus l'équilibre des forces et de l'accélération mais l'existence d'un potentiel d'énergie minimal auquel obéit tout mouvement de solide. On peut démontrer que cette approche est rigoureusement équivalente à l'approche newtonienne ; elle permet toutefois de développer un formalisme radicalement différent. Les principaux domaines de la physique ayant recours à la mécanique analytique sont la physique du solide et le mouvement de mécanismes complexes tels que les bras de robot.

Au début du XXe siècle, Einstein a développé sa célèbre théorie de la relativité et a mis en évidence les insuffisances de la mécanique telle qu'elle a été décrite par Newton. Toutefois, il s'avère que cette dernière constitue un cas particulier de la théorie de la relativité dès lors que l'on considère des vitesses relativement faibles. On a alors défini la mécanique newtonienne, ou mécanique classique, comme le domaine de la physique qui décrit les mouvement des corps à des vitesses faibles devant celle de la lumière (soit très inférieures à 300 000 km/s environ). Dans ce domaine, tout en étant plus simple, elle fournit des résultats très voisins de ceux de la relativité restreinte, adaptée quant à elle à tous les domaines de vitesse.

Conceptuellement, la mécanique a connu trois révolutions :

  1. la prise de conscience que c'est l'accélération qui est proportionnelle à la force (on pensait initialement que c'était la vitesse) ;

  2. la prise de conscience que le mouvement des planètes est régi par le même phénomène que la chute des corps, la fameuse attraction universelle de Newton ;

  3. la modélisation de la gravitation non plus par une force, mais par une déformation de l'espace avec la théorie de la relativité générale d'Einstein.

similaire:

I. Etude statique : vérification du théorème des moments iconDe l’importance du référentiel et de la methodologie des entretiens pour la vérification

I. Etude statique : vérification du théorème des moments iconCahier des charges maintenance et verification des extincteurs

I. Etude statique : vérification du théorème des moments iconRésumé du procédé 6 Livraison 6 Préparation des documents 6 Vérification...

I. Etude statique : vérification du théorème des moments iconRapport de stage ingénieur-maître Année 2003 Spécialisation Chimie...
Etude préliminaire de la situation radiologique des anciens sites d’extraction d’uranium du Lodévois

I. Etude statique : vérification du théorème des moments iconÉtude de quelques forces I étude du poids d'un corps

I. Etude statique : vérification du théorème des moments iconLes trois moments dogmatiques de l’icône

I. Etude statique : vérification du théorème des moments iconLes odeurs d’une ville sont des impressions parfois fortes ou parfois...

I. Etude statique : vérification du théorème des moments iconTd t2 : Statique des fluides dans le champ de pesanteur
«Atmosphère Standard Internationale» (A. S. I), on admet que dans la troposphère (entre 0 et 11 km d'altitude) la température t varie...

I. Etude statique : vérification du théorème des moments iconSection 2 la protection humaine
«poste fixe» ou «vigie», la garde statique est une technique de protection humaine que ne remplacent par les moyens mécaniques ou...

I. Etude statique : vérification du théorème des moments iconLa légende vivante du Rock a sans conteste marqué l’année 2015/2016
«Gabrielle» à «Allumer le feu», mais aussi des titres plus rock et plus récents, dans un déluge d’effets scéniques et de moments...








Tous droits réservés. Copyright © 2016
contacts
p.21-bal.com