Etude des mouvements indépendamment des causes








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Δx3 = 7,0 m

  • distance totale : Δx = Δx1 + Δx2 + Δx3

    Δx = 7,0 + 27,8 + 7,0

    Δx = 41,8 m
    Exercice N°6 Mouvement curviligne
    Ce qu’il faut savoir :

    • Les définitions du vecteur vitesse, du vecteur accélération et de leurs composantes dans un repère (Ox, Oy)

    • Calculer une fonction dérivée

    • Représenter un vecteur vitesse et un vecteur accélération à l’aide d’échelles choisies.


    Rappel mathématique : Dérivée d’un vecteur

    Soit, dans un repère orthonormé (O,), un vecteur de coordonnées [x(t) ; y(t)] . La dérivée du vecteur est le vecteur obtenu en dérivant l’expression de . Les vecteurs et sont indépendants du temps, donc cette dérivée s’écrit

    Les coordonnées du vecteur dérivée de sont les dérivées des coordonnées du vecteur

    Enoncé.

    Dans un repère (Ox, Oy), on donne le vecteur espace (ou position) d’un mobile ponctuel M de coordonnées en mètres (m): où t s’exprime en secondes (s)

    1. Déterminer par dérivation de x et de y, les coordonnées vx, vy du vecteur vitesse et ax, ay. celles du vecteur accélération

    2. Calculer les valeurs des différentes coordonnées x, y, vx, vy ,ax, ay., aux instants t(s) : 0, 1, 2, 3, 4, 5. Les reporter dans un tableau. Tracer la courbe y = f(x) (échelle : 1cm1m). Quelle est l’allure de la trajectoire dans le repère choisi ?

    3. Tracer aux 6 positions calculées pour le tableau, les composantes puis les vecteurs vitesse. (Echelle pour les vitesses : 1cm1m.s-1);
    4. Tracer aux mêmes positions les vecteurs accélération. (Echelle des accélérations : 1cm1m.s-2). Que peut-on constater ?

    1.

    Dans ces expressions, on remplace t par ses différentes valeurs numériques et on obtient le tableau

    t (s)

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    x (m)

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    y (m)

    1

    1,5

    3

    5,5

    9

    13,5

    vx (m.s-1)

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    vy (m.s-1)

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    ay (m.s-2)

    1

    1

    1

    1

    1

    1


    Sur le plan d’axes Ox, Oy on porte les points M de coordonnées x et y les composantes vx et vy , on en déduit le vecteur . On porte ay on en déduit le vecteur
    Trajectoire y = f(x), représentation des vecteurs vitesse et accélération


    On constate que le mouvement est uniformément accéléré ( constant), mais n’est pas rectiligne : y = f(x) n’est pas une droite.
    Remarque très importante: il ne faut pas confondre la représentation y = f(x) qui donne l’allure de la trajectoire du mobile et y = f(t) (ou x =f(t)) qui donne l’équation horaire du mouvement.

    Sur la représentation y = f(x) on peut faire figurer les vecteurs vitesse et les vecteurs accélération. On ne le peut pas sur y = f(t)

    3. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE.

    Exercice N°7 Equations horaires littérales. Tracés de courbes et trajectoires

    Dans les deux cas où l’accélération est positive (a>0) et où elle est négative (a<0) déterminer de façon générale l’équation de la vitesse v = f(t) et l’équation horaire x = f(t).

    Faire les représentations graphiques de ces différentes fonctions.

    Parallèlement à l’axe Ox tracer la trajectoire. Montrer comment se déroule le mouvement et indiquer en quelques points les vecteurs vitesse et accélération.
    p.5

    Exercice N° 8 Utilisation du graphe v = f(t)
    La représentation graphique de la vitesse v = f(t) d’un mobile sur une trajectoire rectiligne est donnée ci-dessous.


    1. Calculer les accélérations du mobile au cours des trois phases du mouvement

    2. Tracer la représentation graphique a = g(t) de l’accélération a en fonction du temps, avec en secondes

    3. Calculer l’espace parcouru par le mobile


    Corrigé

    1. L’accélération du mobile est

    La trajectoire est rectiligne le vecteur conserve la même direction, celle de la trajectoire, il en est de même de l’accélération dont la norme est . La vitesse v = f(t) est représentée par des portions de droite. Sa dérivée est égale à la pente de chacune de ces portions de droite.




    P :hase 1 : accélération a1
    avec vA = 10 m.s-1, vO = 0, tA = 5s, tO= 0
    a1 = 2 m.s-2
    Phase 2 : accélération a2

    avec vB = -10 m.s-1, vA =10 m.s-1, tB = 7s, tA= 5 s

    a2 = -10 m.s-2

    Phase 3 : accélération a3

    avec vC = 0 , vB = -10 m.s-1, vA =10 m.s-1,tC = 12 s, tB = 7s,

    a3 = 2 m.s-2
    2. Accélération a = g(t)



    a (m.s-2)


    - v > 0 a1 > 0 v.a > 0 mouvement accéléré

    Sur la trajectoire les vecteurs sont de même sens
    - v > 0 a2 < 0 v.a < 0 mouvement retardé

    Sur la trajectoire les vecteurs sont de sens opposés
    - v < 0 a2 < 0 v.a > 0 mouvement accéléré

    Sur la trajectoire les vecteurs sont de même sens
    - v < 0 a3 > 0 v.a < 0 mouvement retardé

    Sur la trajectoire les vecteurs sont de sens opposés



    trajectoire

    3. Espace parcouru par le mobile :
    - méthode 1

    Si pendant la petite durée Δt la vitesse est considérée constante et égale à v, la distance parcourue est Δx = v.Δt
    Sur l’intervalle de temps
    la distance parcourue Σ Δx = Σ Δt
    Sur le graphe ci-contre, cette longueur est représentée par la surface hachurée des deux triangles égaux de mêmes aires, l’une est comptée positive et l’autre négative. La somme est nulle l’espace parcouru est nul
    - méthode 2

    On utilise les équations horaires dans chaque phase de la forme

    Phase 1

    Δx1 = 25 m
    Phase 2

    Δx2 = 0 m
    Phase 3

    Δx2 = -25 m

    x = Δx1 + Δx3 + Δx3 x = 25 + 0 + -25 x = 0

    On retrouve le même résultat : le point de départ et le point d’arrivée sont les mêmes
    Exercice N°9. Détermination de distance parcourue
    Un mobile se déplace sur un axe x’Ox avec l’accélération a = 0,8 m.s-2. Sa vitesse initiale est v0 = -20 m.s-1 et à l’instant t = 0, son abscisse est x0 = -20 m

    1. Ecrire l’équation horaire x = f(t)

    2. Calculer la durée du parcours du mobile jusqu’à l’origine O

    3. Faire la représentation graphique de x = f(t) et sur la trajectoire, représenter approximativement les vecteurs et à la date t = 0 et à l’instant de passage en x = 0

    .1.Equation horaire : x = a t² + v0 t + x0 d’où x = 0,4 t2 – 20 t - 20

    Remarque : si on calcule la vitesse : v = 0,8 t – 20

    on trouve que v = 0 pour t = 250 s

    et donc, pour t < 250 s v < 0 puis pour t > 250 s v > 0
    2. Quand le mobile est en O, x = 0. Cette valeur reportée dans l’équation horaire donne
    0,4 t2 - 20t – 20 = 0 Mathématiquement les solutions de l’équation du second degré en t donne la valeur des instants où le mobile est en O. Ces solutions mathématiques sont :

    t1 = t2 =

    t1 = = 51 s ; t2 = = - 1 s

    Par les mathématiques, on trouve une solution négative qui n’a pas ici de sens physique si on admet que le mouvement commence à t = 0 quand on déclenche le chronomètre. La durée du mouvement est donnée par = t1 -0 = 51 s
    3.Dans la représentation graphique de x = f(t) on prend la partie de la courbe pour t>0.


    Exercice N°10. Rencontre de deux mobiles. M. Chin attrapera-t-il son taxi pour Phnom Penh ?
    Ce qu’il faut savoir :

    • Ecrire l’équation horaire d’un mobile pour un mouvement uniforme ou uniformément varié


    M. Chin court derrière un taxi avec la vitesse 6 m.s-1. A l’instant t=0 le taxi part avec une accélération a = 1 m.s-2 et M. Chin est à une distance de 30 m du taxi.

    Est-ce qu’il peut attraper le taxi ?

    Si il ne peut pas, quelle est la distance minimale entre M. Chin et le taxi ?



    1. Par la méthode mathématique.

    Pour répondre à ces questions il faut :

    • tracer le repère x’x

    • placer 0 l’origine (avec vecteur unitaire , pour orienter l’axe selon le sens de )

    • représenter les positions des mobiles à t = 0 (O : M. Chin, M : le taxi)

    Les équations horaires des mouvements :
    . Chin, taxi

    xc = v t xT = a t² + v0 t + x0

    x = 6 t xT = t² + 30 (a = 1 m.s-2 ; v0 = 0 ; x0 = 30 m)

    Quand M. Chin attrape le taxi xC = xT

    6t = t² + 30

    t² - 6 t + 30 = 0

    Si cette équation a des racines, M. Chin peut attraper le taxi. On calcule Δ’ = b’² - a c

    Δ’ = (-3) –2- .30 < 0. L’équation n’a pas de racines, donc M. Chin ne peut attraper le taxi
    Chercher la distance minimale entre M. Chin et le taxi.

    d représente la distance entre M.Chin et le taxi à tout instant

    d = xT – xC = t² + 30 – 6t

    On peut trouver la distance minimale dmin par deux méthodes :

    1. Par la méthode mathématique

    Pour que la distance soit minimale, il faut que la dérivée de la fonction soit nulle.

    (d)’ = t - 6 (d)’ = 0 ce qui entraîne t = 6 s

    On remplace dans (B) t = 6 s

    dmin = 12 m








    2. Par la méthode physique

    On divise en deux parties les mouvements des deux mobiles :

    • au début M. Chin court plus vite que le taxi et s’en approche.

    • Ensuite, M.Chin se déplace à une vitesse constante, mais le taxi va plus vite et le taxi s’éloigne de M. Chin.

    Conclusion : M.Chin approche du taxi au plus près quand leurs deux vitesses sont égales.

    vC = vT ce qui donne puisque vT = at, vC = at donc t = vC/a or vC 6 m.s-1 ; a = 1 m.s-2  t= 6 s

    On remplace t = 6s dans d = t² + 30 – 6t et on trouve dmin = 12 m




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