Etude des mouvements indépendamment des causes

2. DETERMINATION DES VECTEUR VITESSE ET VECTEUR ACCELERATION 2.1. Par la méthode expérimentale ou graphique. Exercice N° 1 Cas du mouvement rectiligne. L’enregistrement suivant donne quelques points de la trajectoire d’un mobile. L’intervalle de temps qui sépare le marquage de deux points successifs est  = 60 ms. 1. Tracer les vecteurs vitesses aux instants où le mobile est en M1, M5, M10, M15. Préciser si le mouvement est uniforme, accéléré ou retardé. 2. Tracer le vecteur accélération au point M10 1. Détermination des vecteurs vitesses On calcule d’abord leur valeur Détermination de v1 : on mesure la distance M0M2 ; M0M2 = 0,95 cm, on en déduit : De même : Remarque 1 : v1 < v5 < v10 < v15 la vitesse est croissante, le mouvement est accéléré. Echelle de vitesses choisies : 1 cm représente 0,1 m.s-1 qui s’écrit 1 cm  0,1 m.s-1 Tracé des vecteurs vitesse : ils sont dans la direction de la trajectoire et dans le sens du mouvement v1  0,8 cm v5  1,1 cm v10  1,6 cm v15  2,1 cm Remarque 2: cette méthode utilise la détermination de la vitesse moyenne entre deux points de la trajectoire, très rapprochés, donc entre deux instants t1 et t3, très proches. La vitesse moyenne ainsi calculée peut être considérée, comme la vitesse instantanée à l’instant t 2, parce qu’elle est déterminée sur un petit intervalle de temps. C’est une méthode approchée qui néanmoins donne de bons résultats. De plus elle permet de mieux sentir ce qu’est une dérivée, puis une dérivée vectorielle qui est le rapport d’une variation du vecteur position sur la durée de la variation. En effet, = donc 2. Détermination du vecteur accélération en M10 .Comme les vecteurs sont colinéaires et de même sens, l’équation vectorielle se transforme en a10 = Il faut pour cela déterminer les vitesses v9 et v11 Par la méthode précédente, on détermine v9 = v9 = 15,8. 10-2 m.s-1  v11 = v11 = 17,9. 10-2 m.s-1 d’où a10 = soit : a10 = 0,17 m.s-2 Remarque 3: cette différence entre les valeurs des vitesses est possible parce que tous les vecteurs ont même direction car le mouvement est rectiligne et parce qu’ils sont de même sens. (S’ils étaient de sens opposés, il faudrait faire la somme des valeurs.) Tracé du vecteur accélération. échelle choisie : 1 cm représente 0,1 m.s-2 soit 0,1 m.s-21cm, donc a10 1,7 cm. La direction du vecteur est celle de la trajectoire. Son sens est le même que celui du vecteur vitesse Remarque 4: le vecteur accélération et le vecteur vitesse en M10 ont le même sens, ce qui confirme que le mouvement est accéléré: Exercice N°2 Chute d’une bille : Ce qu’il faut savoir : Déterminer la valeur d’une vitesse instantanée à partir d’un enregistrement Tracer une courbe expérimentale à partir des coordonnées de quelques points. Déterminer mathématiquement, la pente d’une droite et reconnaître sa signification physique On utilise un appareil photo pour étudier la chute d’une bille. Dans sa chute, la bille reçoit des éclairs lumineux régulièrement espacés de Δt = s. L’objectif est ouvert pendant la chute ce qui donne la photo ci-jointe : 1. Déterminer la vitesse instantanée de la bille, en chacun des points de passage qui apparaissent sur la photo 2. Tracer la courbe expérimentale v = f(t). En déduire l’accélération du mouvement de chute libre. 1. Quand la chute commence, elle est peu rapide et on ne peut distinguer les différentes images qui semblent se superposer. Il faut donc choisir arbitrairement, la position initiale. C’est M0 à t = 0 et on commence à étudier le mouvement depuis cet instant là. Mi représente la position de la bille à l’instant ti. Ces données permettent de calculer la vitesse vi de la bille par l’expression vi = = où xi = OMi (O est M0) Sans bouger la règle plate, on mesure les différentes valeurs OMi et on obtient le tableau de mesure suivant avec vi= OMi+1 – OMi-1= Mi-1Mi+1 (mm) vi (m.s-1) Mi OMi(mm) ti (s) M-1 40 -1/30 M0 70 0 118 - 40 = 78 1,2 M1 118 1/30 170 - 70 = 100 1,5 M2 170 2/30 240 - 118 = 122 1,8 M3 240 3/30 320 - 170 = 150 2,3 M4 320 4/30 405 - 240 = 165 2,5 M5 405 5/30 500 - 320 = 180 2,7 M6 500 6/30 615 - 405 = 210 3,2 M7 615 7/30 740 - 500 = 240 3,6 M8 740 8/30 870 - 615 = 255 3,8 M9 870 9/30 1010 - 740 = 270 4,1 M10 1010 10/30 1165 - 870 = 295 4,4 M11 1165 11/30 1330 - 1010 = 320 4,8 M12 1133 12/30 2. On trace la courbe v = f(t). On ne joint pas les points tous assez imprécis, mais on fait une moyenne en passant entre les points. On voit qu’ils sont disposés sur une droite Son équation est de la forme v = a t + v0 Où v et v0 sont en m.s-1 , t en s et donc a en m.s-2 . a est la pente mathématique de la droite et à cause de son unité, c’est donc bien l’accélération du mouvement a = numériquement a = = a = 9,9 m.s-2 valeur proche de 9,8 m.s-2 que l’on reconnaît comme accélération de la pesanteur ag Cette détermination est faite à 1% près, ce qui est une bonne détermination () Exercice N°3 Mouvement curviligne Un solide autoporteur décrit une trajectoire circulaire de rayon R = 60 cm. Les positions de son centre d'inertie sont repérées à intervalles de temps réguliers de durée,τ. = 40 ms / l , _ 1. Montrer que la vitesse est constante. 2. Calculer la vitesse du mobile. 3. Calculer son accélération. 4 Tracer le vecteur vitesse et le vecteur accélération du mobile au point M1. On précisera les échelles utilisées pour la représentation des grandeurs. corrigé 1. Sur l’enregistrement les points sont régulièrement espacés de 15 mm. En considérant l’échelle utilisée, on en déduit que le mobile parcourt 15 cm en 0,4 s. Vitesse du mobile : Accélération : Tracé du vecteur vitesse en M1. échelle Tracé du vecteur accélération en M1 : la valeur de est représentée par 1,8 cm donc Δv = 0,18 m.s-1; a1 = 0,22 m.s-2 avec l’échelle () a sera représenté par 4,4 cm caractéristiques de Remarque : les résultats des questions 3 et 4 sont proches. Leur écart relatif est de   Exercice N°4. Cas d’un mouvement circulaire (voir tracé des vecteurs). Les positions du centre d’inertie d’un mobile sont repérés à intervalles de temps réguliers égaux à  = 40 ms. 1. D’après l’observation de l’enregistrement, quelle est la nature du mouvement (trajectoire, vitesse) ? 2. Déterminer la valeur de la vitesse du mobile. Tracer les 2 vecteurs vitesse et 3. Déterminer les vecteurs accélération aux mêmes points. Représenter les vecteurs accélération aux mêmes points. 4. Comparer ce résultat à celui que donne la théorie relative au mouvement circulaire uniforme : où est le vecteur normal à la trajectoire, dirigé vers le centre de la trajectoire. Ensemble des points de la trajectoire Corrigé 1. Les points inscrits forment un cercle dont on peut déterminer le centre 0 et le rayon R. On trouve R = 0,12 m. Les points sont équidistants. Les espaces parcourus pendant des intervalles de temps égaux sont donc égaux et le mouvement est uniforme. Conclusion: le mouvement est circulaire uniforme 2. Calcul de v: on calcule une vitesse moyenne sur la longueur L d'un quart de cercle parcouru en 13 . v = 0,36 m.s-1 Les vecteurs- sont tangents à la trajectoire et ont le sens du mouvement échelle: 1 cm représente 0,1 m.s-1 . 3,6 cm représentent 0,36 m.s-1.Leur longueur est de 3,6 cm 3. Détermination du vecteur accélération a8 : On définit le vecteur en M8. On trace : sa direction est celle du segment M8 M10. On lui donne une longueur de 3,6 cm. On trace - ayant M8 pour origine de même longueur et de direction M8 M6. On transporte - à l'extrémité de On obtient ainsi . On mesure la longueur de la représentation du vecteur : on trouve 0,9 cm. v = 0,9 cm x 0,1 v = 0,09 m.s-1. On calcule a8 = a8 = a8 = 1,12 m.s-2 1,l m.s-2 Remarque : quand on exprime la valeur d’une grandeur vectorielle et qu’elle peut être suivie d’une valeur numérique, le symbole littéral ne porte pas de flèche : exemple v, valeur de Représentation de : Direction : celle de Sens : celui de Longueur : ceci nécessite le choix d'une échelle, soit 1 cm représente 0,2 m.s-.2, la valeur est donc représentée par 5,5 cm ² On détermine de la même manière Conclusion On trouve a8 = a16= 1,1 m.s-2 Les directions des vecteurs convergent vers le centre du cercle. 4. Comparaison avec la théorie : La théorie dit que où est le vecteur normal, unitaire dirigé vers le centre du cercle. Notre détermination graphique vérifie bien que est dirigé vers le centre du cercle D’autre part la valeur a de l'accélération est a =: on calcule = on trouve : a =.1,1. m.s-2 Cette valeur est en accord avec la détermination graphique. 2.2. Détermination par la méthode mathématique Exercice N° 5. Mouvement rectiligne Un mobile décrit une trajectoire rectiligne. On donne la représentation graphique de sa vitesse en fonction du temps. 1. Calculer son accélération au cours des trois phases du mouvement. 2. Calculer la distance parcourue par le mobile, jusqu’à son arrêt à la date 20 s. . Corrigé 1.Calcul des accélérations v1 = 10 km.h-1 = 2,78 m.s-1 1ère phase : t[0 ; 5 s] a1= = a1 = 0,56 m.s-2 v1 > 0 ; a1 > 0 soit le produit v1.a1 > 0 le mouvement est accéléré 2ème phase : t[5 ; 15 s] a2 = a2 = 0 m.s-2 le mouvement est uniforme 3ème phase : t[15 ; 20 s] a3 = = = - a3 = - 0,56 m.s-2 v1 > 0 ; a3 < 0 soit le produit v1.a3 < 0 le mouvement est retardé 2. Distance parcourue. 1ère phase : t[0 ; 5 s] la distance parcourue est Δx1 = a1 Δt12 + v0 Δt1 + x0 où Δt1 est la durée de la 1ère phase , Δt1 = 5 s ; a1 = 0,56 m.s-2 ; v0 = 0 ; x0 = 0 on trouve Δx1 = . 52 Δx1 = 7,0 m 2ème phase : t[5 ; 15 s] la distance parcourue est Δx2 = v1.Δt2 où v1est la vitesse atteinte à la fin de la 1ère phase  et Δt2, la durée de la 2ème phase, Δt2 = 15 – 5 = 10 s : Δx2 = 2,78 x 10 Δx2 = 27,8 m 3ème phase : t[15 ; 20 s] ] la distance parcourue est Δx3 = a3 Δt32 + v1 Δt3 où Δt3 est la durée de la 3ère phase , Δt3 = 5 s  avec a3 = - 0,56 m.s-2 v1 est la vitesse de début de cette 3ème phase : Δx3 = .(-0,56).52 + (2,78 x 5)

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