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Chapitre 2. Cinématique 2. CINÉMATIQUE Etude des mouvements indépendamment des causes.
.Dérivée d’une fonction. Définition. Soit f la fonction qui à un instant quelconque t associe la grandeur physique x = f(t). A l’instant t+Δt (où la durée Δt est très petite) x devient x+Δx et x+Δx = f (t+Δt). La dérivée première de x par rapport à t est f’(t) = ![]() f’(t) = ![]() ![]() ![]() ![]() Interprétation géométrique de la dérivée Si on trace la courbe C représentant la fonction f = x(t) dans un repère orthonormé, la dérivée de f à t0 soit f’(t0) = ![]() ![]() - Pour t = t1 f’(t1) = ![]() - Pour t = t2 f’(t2) = ![]() - Pour t = t3 f’(t3) = ![]() Ci-dessous, la courbe © ![]() Pour calculer la dérivée ![]() ![]() ![]() on trouve ![]() ![]() ![]() Quelques dérivées à connaître f(t) = Cte ![]() ![]() ![]() ![]() f(t) = t + Cte ![]() ![]() ![]() ![]() f(t) = k t + Cte ![]() ![]() ![]() ![]() où k, et n sont des grandeurs constantes. Mais en physique, attention aux unités. Dérivée d’un vecteur. Si la variable est le temps comme cela arrive souvent en cinématique, la dérivée d’un vecteur représente la variation du vecteur par unité de temps. C’est donc encore un vecteur qui a une valeur, une direction et un sens. La dérivée du vecteur ![]() ![]() Primitive d’une fonction Une fonction F(t) est une primitive de la fonction f(t) si la dérivée F(t) est égale à f(t) : F’(t) = f(t) Quelques primitives à connaître : f(t) = k = Cte ![]() ![]() ![]() f(t) = t ![]() ![]() ![]() ![]() f(t) = k t ![]() ![]()
Définitions Les grandeurs fondamentales de la cinématique sont l’espace ou longueur [L] et le temps [T] Les grandeurs dérivées sont :
Les unités du Système International (S.I.) sont pour la longueur, le mètre (m) et pour le temps, la seconde (s) ce qui donne pour la vitesse, le m.s-1 et pour l’accélération, le m.s-2. On se limite au mouvement d’un mobile ponctuel. C’est le cas où les dimensions du mobile sont petites par rapport aux distances parcourues. C’est aussi le cas de la translation où tous les points du mobile ont même mouvement, connaître le mouvement d’un point, c’est connaître totalement le mouvement du mobile. Pour étudier le mouvement d’un mobile, il faut choisir :
Par exemple, si on étudie le mouvement de la valve d’une roue de vélo : dans le référentiel de la roue, elle est immobile dans le référentiel du cadre du vélo, son mouvement est circulaire dans le référentiel de la route (terrestre), son mouvement est cycloïdal. On choisira le référentiel, en fonction du type de mouvement étudié : référentiel terrestre, pour un train, une voiture, un vélo. Pour étudier le mouvement des planètes et des sondes spatiales, on utilise le référentiel héliocentrique, lié au centre S du Soleil. Un repère associé a comme origine le centre du Soleil et comme axes trois droites orientées joignant ce centre à trois étoiles si lointaines qu’elles nous paraissent immobiles. Pour étudier le mouvement des satellites terrestres on utilise le référentiel géocentrique lié à la Terre dans son mouvement autour du soleil, mais pas dans son mouvement de rotation journalier. Le repère qui lui est associé a comme origine, le centre T de la Terre et comme axes trois droites orientées joignant T à trois étoiles si lointaines qu’elles semblent fixes. (Voir figure en dynamique)
Le repère est muni d’une origine O, et de 3 axes perpendiculaires entre eux. Ces axes portent des vecteurs unitaires ![]() ![]() ![]() Le repère terrestre ou du laboratoire,se simplifie, si le mouvement s’effectue dans un plan ; il n’a plus que deux axes ( ![]() ![]() ![]() ![]() Repères : à 3 dimensions, à 2 dimensions à 1 dimension Mouvement dans l’espace Mouvement dans le plan Mouvement rectiligne
Les grandeurs d’espace, position, vitesse, accélération se représentent par des vecteurs attachés à la trajectoire du mobile. Alors et de façon générale, - Le vecteur position ![]() ![]() - Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : ![]() - Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse : ![]() Dans le cas d’un mouvement circulaire Il y a deux autres choix possibles pour définir la position du mobile : - L’abscisse curviligne. Lorsque le mobile se déplace sur une trajectoire courbe, il est commode de repérer sa position sur la courbe. Pour cela il faut choisir une origine M0 sur cette courbe et l’orienter. La position du mobile M peut être repérée par son abscisse curviligne s qui est la distance parcourue par M depuis son origine, affectée d’un signe. ![]() ![]() - l’abscisse angulaire Dans le cas d’un mouvement circulaire de centre O et de rayon R, la position de M peut être par son abscisse curviligne s ou par son abscisse angulaire définie par ![]() ![]() s = R.θ (θen rad) Le vecteur vitesse est donné par ![]() ![]() Le vecteur accélération peut s’exprimer en fonction de deux autres composantes, l’accélération tangentielle ![]() ![]() ![]() Les deux méthodes de résolution d’un problème de cinématique. La méthode expérimentale est utilisable quand la trajectoire du mobile est connue par l’enregistrement graphique de quelques points à intervalles de temps réguliers. Les vitesses et accélérations sont déterminées à partir de mesures de longueur. (Exercices 1, 2, 7) La méthode mathématique. La trajectoire est connue à partir de son équation horaire. Les vitesses et accélérations sont déterminées par calculs de dérivées. (Exercices 3, 4, 5, 6, 8) Méthode pour le tracé des vecteurs. Tracé du vecteur vitesse - Détermination de la valeur de la vitesse en un point ; exploitation de l’enregistrement : Soit l’intervalle de temps entre 2 positions successives, ![]() 1) cas d’un mouvement rectiligne 2) cas d’un mouvement curviligne On considère les deux positions Mi-1 et Mi+1, qui encadrent Mi. La vitesse moyenne sur le parcours Mi-1Mi+1 s’identifie à la vitesse en Mi : m ![]() ![]() ![]() ![]() C’est la valeur vi de ![]()
Tracé du vecteur accélération (voir exercices n°1 et 2) Le vecteur accélération représente une variation du vecteur vitesse par unité de temps.
![]() 1) cas d’un mouvement rectiligne 2) cas d’un mouvement curviligne Pour avoir la valeur ![]() ![]()
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![]() | «Aviméca») on obtient le document figurant en annexe qui représente les positions successives (M0 à M12) de la balle toutes les 33... | ![]() | «suivre la route» au côté d’individus circulants afin de mettre en lumière la multiplicité des trajectoires et l’emboitement complexe... |
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