Longueur et courbure d’un arc paramétré








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date de publication28.03.2017
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Longueur et courbure d’un arc paramétré




Ici, P désigne un plan affine euclidien, muni d’un repère orthonormé (voire direct si besoin)

I désigne un intervalle infini de R.

est un arc paramétré de classe , et on note .




Changement admissible de paramètre
Proposition, définition :

Soit une bijection de classe , et de réciproque d’un intervalle J de R vers I (on dit que est un difféomorphisme de J vers I). Ce qui revient à dire que , est , ne s’annule pas et que .

Soit l’arc paramétré .

Alors a essentiellement les mêmes propriétés que .

On dit alors que définit un changement admissible de paramètre sur l’arc .

Plus précisément :

  • a la même classe et le même support que .

  • Soit , et notons .

est un point multiple de si et seulement si c’est un point multiple de

Le point est stationnaire sur si et seulement si est stationnaire sur .

Il y a une tangente en sur si et seulement si il y a une tangente en sur , et dans ce cas c’est la même.

est birégulier sur si et seulement si est birégulier sur . Etc.

Explications :



- La classe de , c’est la classe de , c'est-à-dire de . Comme est de classe et est de classe aussi, est bien de même classe que .

- Le support de , c’est



- Si avec  :

Soient tels que et .

Alors , et .

Inversement, si avec ,

Alors et (car est injective)

-

Soit (1) (avec )



-

Soit (2) (avec )

(1) et (2) montrent que est libre si et seulement si l’est :

(En notant toujours )

Supposons que est libre.

Soient maintenant , supposons que .

Alors .

Donc, comme est libre, et

Donc, comme , , puis .

Supposons maintenant que est liée.

Soit alors tel que .

Si , alors (car alors ), et donc , donc est liée.

Si , alors , et donc :



C'est-à-dire , et , donc est liée.

D’où l’équivalence pour la birégularité.

Cela montre aussi que si est stationnaire mais , alors est stationnaire, mais avec et colinéaire à .

On admet que c’est vrai dans tous les autres cas…

Simplification des notations :

  • On enlève les chapeaux, ce qui revient à ne plus distinguer dans les notations et .

  • On se repère alors avec les noms de variables.

  • est notée .


Les formules (1) et (2) deviennent alors :

.

Ou encore .



Exemple :

,



Longueur d’un arc compact au moins
Soit un arc de classe , où .

Par définition, longueur de

Explication :

Version physique…

Version mathématique :

Pour , on introduit , subdivision régulière de (soit )

On introduit les .

Soit

L’inégalité de Taylor–Lagrange à l’ordre 1 pour (de classe ) donne :



Ainsi,

Donc

Donc

Donc, en sommant pour i de 1 à :



Remarque :

dépend à priori de (c'est-à-dire du paramétrage) et pas seulement du support.

Pour calculer une longueur d’une courbe géométrique simple : être raisonnable (en particulier, ne pas avoir de points doubles autres qu’en des points isolés)

Exemples :



, .



Donc (si on avait pris , on aurait eu le même support, mais  : d’où l’utilité de ne pas avoir « trop » de points doubles)

Ellipse : ,



(Pas de formule simple)

Formules :

Si , alors

Cas particulier : pour une courbe d’équation , dont un paramétrage est : , on a

Par exemple, avec .

Longueur de l’arc de parabole entre les points d’abscisse 0 et  :



Abscisse curviligne
On suppose toujours de classe au moins.
Définition
On appelle abscisse curviligne sur toute primitive de .

Ainsi, une abscisse curviligne sur , c’est une fonction , dérivable, telle que . Si S en est une, on a donc, pour tous  :

 : longueur (algébrique par rapport au sens des t croissants) de l’arc de courbe situé entre les points de paramètre et .

Si S est la primitive de nulle en un certain , est alors la longueur algébrique de l’arc situé entre et .

Ainsi, si , est l’abscisse curviligne nulle en a.

Paramétrisation admissible avec l’abscisse curviligne
Ici, et jusqu’à la fin du chapitre, est un arc régulier de classe .

Dans ce cas, est de classe  :

est de classe , et comme ne s’annule pas, a la même classe.

Ainsi, si S est une fonction abscisse curviligne, S est alors de classe sur I. Sa dérivée, ne s’annule pas et garde donc un signe constant. Donc S réalise une bijection de I vers un intervalle J. Comme sa dérivée ne s’annule pas, c’est donc un difféomorphisme de classe de I vers J. Cela correspond donc à un changement admissible de paramétrage sur (pour )

On note

Exemple :



On prend comme origine d’abscisse curviligne .

Le point correspond dons au point d’abscisse curviligne s. On a alors un mouvement uniforme (), et même .

Proposition :

, où (rappel : est la tangente à la courbe, orientée, en et )

En effet,

.

On retiendra :



Ou encore, avec les notations simplifiées :

.

Repère de Frenet, courbure

Repère de Frenet


Le repère de Frenet en un point M de la courbe est, par définition : est tel que ce repère soit orthonormé direct.

Attention : M, et « bougent » et sont fonctions, au choix, de t ou s.

Remarque : est fonction de classe de t (ou de s). On introduit les fonctions a et b de classe telles que .

Alors , donc est aussi de classe .

Dérivées des vecteurs et (en tant que fonctions de s)


En effet, .

Donc

Il existe donc tel que (dépendant de s).

s’appelle la courbure algébrique au point M considéré.

(même raisonnement)

Il existe alors tel que

Mais .

La dérivation donne alors , c'est-à-dire .

Donc .
Composantes de et dans le repère de Frenet
et .



Ainsi : ,

Il en résulte que M est birégulier si et seulement si (puisque déjà M est régulier, donc )

Commentaires (en supposant ) :



. Or, est l’accélération pour le paramétrage avec s. Il doit donc être dirigé dans la concavité de la courbe.

De plus, en considérant toujours le mouvement uniforme correspondant au parcours avec s, « on sait » (intuitivement) que est d’autant plus grand que c’est « courbe », puisque plus c’est courbe, plus l’accélération normale est importante.

Explication plus précise du mot courbure (toujours avec ) :



On note  : rayon (algébrique) de courbure en M.

L’accélération normale est alors , c'est-à-dire celle qu’on obtient pour un mouvement sur un cercle de rayon R.

Soit tel que . s’appelle le centre de courbure au point M.

Le cercle de centre et de rayon (passant par M) s’appelle le cercle osculateur à la courbe en M. C’est celui qui est « le mieux » tangent à la courbe (voir fin du cours)


Autre formule
Théorème « de relèvement » (admis) :

Soit une fonction vectorielle de classe () sur un intervalle I, à valeur sur un R-ev euclidien orienté de dimension 2, muni d’une base orthonormée .

On suppose que .

Alors il existe une fonction de classe telle que :



En d’autres termes, on peut trouver une mesure de l’angle orienté de sorte que soit de classe .

Ici, la fonction est de classe et de norme 1.

Il existe donc , de classe de sorte que :

.

Ainsi,

D’où la formule :

En pratique :

Récapitulation des méthodes
1ère méthode :

, , donc

(avec , )

Et

Or, d’une part,

Et d’autre part , soit

D’où on tire après calculs…

2ème méthode :

, ,

, .

Donc

D’où .

3ème méthode :

est une mesure de l’angle orienté , ou aussi de .

Exemple :

Parabole

,, .

Donc , et .

Donc .
Complément hors programme : à propos du cercle osculateur

Soit un arc birégulier de classe . Soit un point de l’arc, origine des abscisses curvilignes. Le repère de Frenet en est noté .

Développement limité de à l’ordre 3 en 0 :



, et .

Composantes de dans  :



Un cercle de centre (dans ) passant par a pour équation



Définition : Puissance d’un point M du plan par rapport à ce cercle

Ici,

Pour que soit infiniment petit d’ordre le plus élevé possible, on prend (ainsi, ), ce qui revient à prendre sur la normale à l’arc en  ; et on peut prendre aussi (ainsi, ), ce qui revient alors à prendre le cercle osculateur. Ainsi, pour ce choix,

Ainsi, le cercle osculateur traverse en général la courbe (car change de signe), et c’est bien celui qui est « le mieux » tangent à la courbe.

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