I. Introduction : I généralités








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Chap. 1
Cinématique du point matériel


I. Introduction : 2

I.1. Généralités : 2

I.2. Point matériel : 2

I.3. Référentiels et repères : 3

I.3.1. Description : 3

I.3.2. Référentiels galiléens et non galiléens : 4

I.4. Les systèmes de coordonnées usuels : 5

I.4.1. Coordonnées cartésiennes : 5

I.4.2. Coordonnées cylindriques : 6

II. Vecteur vitesse – vecteur accélération : 8

II.1. Vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes : 8

II.2. Vitesse et accélération en coordonnées polaires : 10

II.2.1. Expression générale de la vitesse : 10

II.2.2. Expression générale de l'accélération : 11

II.2.3. Cas particulier – Mouvement circulaire : 12

II.3. Vitesse et accélération en coordonnées cylindriques : 13

II.4. Vitesse et accélération dans une base de Frenet : 13


Chap. 1
Cinématique du point matériel

I. Introduction :

I.1. Généralités :


L'étude du mouvement des corps ne date pas d'aujourd'hui. Elle a commencé depuis plusieurs millénaires déjà. Dans la mesure où la curiosité a pris le pas sur l'habituel, le mouvement a été mis en question. Nous pouvons citer le plus illustre des précurseurs, Aristote, qui a, dans son traité du ciel, essayé de bâtir une théorie qualitative du mouvement, ou des mouvements. Selon lui, par exemple, les corps terrestres se meuvent en ligne droite, et les corps célestes en cercles. Avant lui, Héraclite (576-480 av.J.C.) a lui aussi parlé du mouvement. Lui est plus intéressé par le devenir des choses que par ce qu'elles sont.
La cinématique traite des mouvements, quels qu'ils soient, des plus simples aux plus complexes, sans chercher à savoir l'origine de ces mouvements. En mécanique dite classique, un objet en mouvement est complètement déterminée par sa position dans l'espace et dans le temps, donc par sa vitesse et son accélération, contrairement à la mécanique quantique, qui est une mécanique non déterministe. Nous nous arrêterons dans ce chapitre à la cinématique classique non relativiste, autrement dit au mouvement d'objets dont la vitesse est très inférieure à celle de la lumière.

I.2. Point matériel :


Dans la réalité, le point matériel n'a pas de sens. Un point est une notion mathématique, et non physique. Cependant, cette notion est malgré tout bien utile parce qu'elle simplifie les problèmes. Prenons l'exemple d'une clef à molettes (Figure 1), lancée en l'air. La clef a un mouvement ascendant puis descendant, et en même temps un mouvement de rotation sur elle-même. Si le mouvement est aisé à décrire, le calcul de la position de chacun des points est certainement très difficile. Malgré tout, il est décomposable en deux mouvements : le mouvement de la clef par rapport à son centre de gravité G, et un mouvement du centre de gravité lui-même. Or ce dernier est un mouvement simple. Le point G suit une parabole (Figure 2). Par cet exemple, nous voyons que l'introduction d'un point particulier simplifie le tout.







Figure 1

Figure 2


Un point matériel n'a pas de dimension, ce qui signifie en fait que ses dimensions sont très inférieures aux dimensions d'observation (< 0.1 mm). Cependant, il a une masse. Un des objets les plus proches du point matériel est l'électron, dont les dimensions classiques sont de l'ordre du fm, et dont la masse est ~ 10-30 kg.

I.3. Référentiels et repères :

I.3.1. Description :


Les notions de référentiel et de repère sont à bien différentier. Un référentiel est lié à un observateur. Par exemple, je suis dans un train qui roule avec une certaine vitesse. En tant qu'observateur, je me considère comme étant fixe, et j'observe le mouvement d'objets. Dans mon référentiel, la vitesse d'une vache qui broute dans un champ n'est pas nulle. Sa vitesse est la même que celle du train dans un référentiel lié à la terre, mais avec le signe opposé. Le référentiel étant défini, il faut, pour décrire le mouvement, connaître la position de l'objet à tout instant, donc définir un repère. A un référentiel donné, il existe une infinité de repères possibles. Cependant, pour des raisons pratiques, il est plus judicieux de choisir un repère lié au référentiel qui a été fixé. En effet, toutes les descriptions étant réalisées par l'observateur, celui-ci rapportera ses propres conclusions, dans son propre référentiel.
Prenons un homme marchant à côté d'une voie ferrée (Figure 3) sur laquelle passe un train animé d'une vitesse vt. Cet observateur peut choisir un repère lié au train pour donner la vitesse de ce train. Il dira que, dans ce repère, la vitesse est nulle. Mais ce n'est plus là la conclusion d'un observateur, mais plutôt d'un mathématicien. L'observateur va plutôt prendre un repère lié à lui. Dans ce repère, il dira que sa vitesse est vt.



Figure 3
Nous verrons des exemples dans le chapitre sur la dynamique qui feront mentir en apparence ce que nous venons d'énoncer.

I.3.2. Référentiels galiléens et non galiléens :


Un référentiel est galiléen s'il a un mouvement de translation uniforme par rapport à un référentiel fixe, appelé aussi référentiel absolu. Evidemment, un référentiel fixe n'existe pas, puisque tous les objets sont en mouvement les uns par rapport aux autres. Mais à l'échelle d'une observation, certains référentiels sont plus fixes que d'autres. L'un de ceux-ci a pour centre le soleil, et des axes caractérisés par la position de trois étoiles. Ce référentiel est appelé référentiel héliocentrique ou copernicien. Rappelons que l'héliocentrisme, attribué à Copernic (XVIème siècle), a en fait été déjà mentionné vers 300 av. J. C., par Aristarque de Samos, dont le seul ouvrage existant actuellement est "Sur les dimensions et des distances du Soleil et de la Lune".

Un référentiel est non galiléen s'il a un mouvement accéléré par rapport à un référentiel galiléen. Un référentiel lié à la Terre, ou géocentrique, n'est pas galiléen puisque la Terre tourne autour du Soleil (rappelons sans entrer dans les détails que le fait de tourner est dû à une accélération dirigée vers la courbure de la trajectoire). Cependant, avec une bonne approximation, nous considèrerons ce référentiel comme galiléen dans la plupart des expériences faites. En effet, dans le temps d'une expérience, la Terre parcourt une trajectoire qui peut être considérée comme rectiligne, avec une vitesse constante (Figure 4).


Figure 4

I.4. Les systèmes de coordonnées usuels :

I.4.1. Coordonnées cartésiennes :




Nous vivons dans un espace à trois dimensions. Nous avons dans cet espace des repères presque naturels, définis par des axes perpendiculaires entre eux. Chacun des axes est défini par un point et un vecteur unitaire. Un système de coordonnées cartésiennes est donc composé d'un point O et de trois axes portés par trois vecteurs unitaires et orthogonaux , et (Figure 5).




Figure 5

Dans ce système, tout point M est repéré de façon unique (Figure 6). Le point M a pour coordonnées x, y et z dans ce repère signifie que .




Figure 6



I.4.2. Coordonnées cylindriques :


Il est souvent utile, comme nous le verrons par la suite dans des exemples concrets, d'utiliser d'autres systèmes de coordonnées. Ceux-ci sont moins naturels, mais présentent de réelles simplifications suivant le mouvement à étudier. Notons les systèmes de coordonnées cylindriques, sphériques et elliptiques. Nous n'étudions cette année que le système de coordonnées cylindriques (Figure 7).
Soit P la projection de M sur le plan (xOy). Dans le repère , . Le point P peut être caractérisé autrement, en introduisant les vecteurs et définis ainsi :
ou .

Puisque , nous obtenons

et , étant l'angle entre (Ox) et (OP).



Figure 7
Le vecteur est orthogonal à (Figure 8) et fait donc un angle égal à avec (Ox). Ses coordonnées sont donc . Remarquons que les coordonnées de ce vecteur s'obtiennent très simplement à partir des coordonnées de , en les dérivant par rapport à . Pour résumer, nous écrirons :

Autrement dit, dériver un vecteur par rapport à un angle, c'est lui faire faire une rotation de .



Figure 8
Dans le plan (xOy), le système de coordonnées dont le repère est est appelé système de coordonnées polaires. Si, à ce repère à deux dimensions, nous ajoutons le vecteur orthogonal aux deux vecteurs, c'est à dire , nous obtenons le repère , définissant un système de coordonnées cylindriques.

II. Vecteur vitesse – vecteur accélération :

II.1. Vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes :


Soit un point M de coordonnées (x,y,z) dans un repère orthonormé , et suivant une trajectoire quelconque. Ses coordonnées dépendent du temps, et s'écrivent , et . Le vecteur vitesse instantané du point M, noté , a pour coordonnées les dérivées des coordonnées de M par rapport au temps.



Nous noterons, pour simplifier, . Cette notation (attention, ce n'est qu'une notation) signifie :

(Figure 9). Le vecteur vitesse a ainsi la direction du vecteur , et est donc tangent à tout instant à la trajectoire.




Figure 9





donc







Nous avons ainsi démontrer la relation reliant la vitesse et les coordonnées de M.
De la même manière, le vecteur accélération instantané est défini comme étant la variation du vecteur vitesse au cours du temps :

Les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération sont .

II.2. Vitesse et accélération en coordonnées polaires :

II.2.1. Expression générale de la vitesse :


Soit un point matériel M ayant une trajectoire quelconque dans le plan (xOy) (Figure 10). Dans le repère , ces coordonnées sont r et 0. . Par rapport aux coordonnées cartésiennes, l'écriture du vecteur position est plus simple, mais les expressions des vecteurs vitesse et accélération sont plus compliquées, parce que, a priori, les vecteurs de base et dépendent du temps. Leurs dérivées par rapport au temps ne sont donc pas nulles en général.


Figure 10



Nous avons vu que , donc

Le vecteur vitesse a donc deux composantes en coordonnées polaires (Figure 10).


Cette expression peut être retrouvée autrement. Rappelons que la vitesse instantanée est déterminée à partir du vecteur , celui-ci étant le plus petit possible (Figure 11).
Comment aller de M à M' en suivant les vecteurs de base polaire ? Pour cela, nous pouvons augmenter OM d'une quantité infinitésimale MH = dr, puis aller de H en M'.



Figure 11







Nous retrouvons finalement la même expression.

II.2.2. Expression générale de l'accélération :


L'accélération s'obtient de la même manière, en dérivant la vitesse par rapport au temps :










L'accélération a une expression compliquée en apparence. Mais nous allons voir que dans beaucoup de cas, elle se simplifie, faisant apparaître des termes faciles à caractériser.

II.2.3. Cas particulier – Mouvement circulaire :



Les expressions de la vitesse et de l'accélération en coordonnées polaires ne sont utiles que lorsque le mouvement n'est pas une translation, donc lorsque la trajectoire "tourne". Prenons le cas le plus simple d'un mouvement circulaire (Figure 12).
Dans ce cas, r = R, rayon du cercle et donc indépendant du temps.



Figure 12


Donc .




Nous obtenons un terme en , avec un signe négatif, qui indique la courbure que prend la trajectoire, et un terme en , qui caractérise l'accélération le long de la trajectoire.
Si, de plus, le mouvement est uniforme, la vitesse est constante en norme, donc la vitesse angulaire est aussi constante, et = 0 :
et




Même si le mouvement est uniforme, c'est à dire si l'accélération tangentielle est nulle, il existe une accélération, appelée normale (perpendiculaire à la tangente à la trajectoire). Cette caractéristique est utilisée dans les centrifugeuses afin de provoquer des accélérations fortes pour les astronautes (Figure 13).






Figure 13



II.3. Vitesse et accélération en coordonnées cylindriques :


Les expressions de la vitesse et de l'accélération sont similaires à celles obtenues précédemment. A ces expressions, il faut ajouter les contributions selon l'axe (Oz). Comme le vecteur est constant au cours du temps, sa dérivée par rapport au temps est nulle. Nous obtenons ainsi, après avoir rappelé que :




II.4. Vitesse et accélération dans une base de Frenet :


Il existe une base très utile, construite de telle manière que le vecteur vitesse a une expression simple. Dans cette base, la vitesse s'écrit :






Le vecteur unitaire est tangent à la trajectoire (Figure 14). Dans ce cas, l'accélération fait intervenir, comme dans le cas de coordonnées polaires, la dérivée par rapport au temps de :


Ici, il faut être très prudent dans le calcul de . Nous aurions tendance à écrire sans faire attention : , en prenant le même angle que pour les coordonnées polaires. Nous avons le droit de le faire, mais est difficilement calculable. Par contre, il faut se rappeler ce que signifie . Cette quantité signifie que l'on prend comme point d'application du vecteur un point M' très proche de M (Figure 14). Or l'arc MM' est, lorsque M' est très voisin de M, assimilable à un arc de cercle, de centre C et de rayon = CM. La quantité est appelée rayon de courbure de la trajectoire.



Il existe une relation simple entre et :


La quantité s est l'abscisse curviligne. C'est la longueur de la trajectoire. Par exemple, dans le cas d'un cercle de rayon R, l'abscisse curviligne après un tour complet est . Comment relier la quantité et la vitesse ?

donc ce qui donne

Finalement, l'expression de l'accélération est :

Nous avons coutume d'écrire et . Ces deux quantités sont appelées respectivement accélérations tangentielle et normale. Remarquons que . L'accélération tangentielle est la dérivée seconde de l'abscisse curviligne.

Dans le cas particulier d'une trajectoire circulaire, l'accélération normale est . Nous retrouvons la même expression que celle obtenue en coordonnées polaires. Le signe moins obtenu en coordonnées polaire est dû au fait que .

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