Collège Central des Moines Libanais Jounieh








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Département de mathématiques.

Année scolaire : 2012 – 2013.

Collège Central des Moines Libanais - Jounieh

Cycle Lycée.

Classe de seconde.
http://www.ccj00.com/forms/logoccjbw.jpg
Mes travaux d’été…


Chers élèves,

En vue de vous assurer un passage certain en classe de première, consolider la base en mathématiques que vous avez reçue dans la classe de seconde et l’ouvrir vers des horizons plus vastes, nous avons jugé utile de mettre entre vos mains ces quelques fiches et nous avons eu soin que chaque problème ait une importance bien définie et une portée particulière.

Tout en vous invitant à travailler sérieusement ces fiches, nous vous souhaitons de bonnes vacances d’été et une admission en première dépourvue de toutes les lacunes.

Fiche 1
Exercice 1 :
On donne un triangle ABC et on note L, M et N les points définis par :



  1. Montrer que :  ;

  2. Exprimer en fonction de et .

  3. Montrer que = + 3 .

  4. Montrer que L ; M et N sont alignés.


Exercice 2 :
Calculer la valeur exacte de :


  1. cos b) sin c) cos d) sin


Exercice 3 :
On donne le polynôme

1) Calculer le réel m ; pour que soit une racine de

2) On suppose pour la suite de l’exercice que

a) Factoriser

b) Soit

i) Calculer les réels a ; b et c pour que :

ii) Résoudre l’équation :

Exercice 4 :
ABC est un triangle tel que :

Calculer : sin et cos
Exercice 5 :
On donne tel que 

Calculer

Exercice 6 :
ABCD est un rectangle de dimensions 6 et 10.

Calculer

Exercice 7:
Une usine fabrique des roues d’engrenage dans le diamètre di est donné en dixième de millimètres.

Sur 100 roues, on a la série statistique suivante :


di

35

36

37

38

39

40

41

ni

5

16

25

22

18

8

6



  1. Déterminer les effectifs cumulés et les fréquences cumulées en pourcentage.

  2. Déterminer le mode (Mo), la médiane (Me), la moyenne et l’écart type.

  3. Calculer le pourcentage des roues ayant un diamètre compris entre et


Exercice 8:
Soit le nombre A =

  1. Développer

  2. Rendre rationnel le dénominateur de la fraction

  3. Déduire que : A = 0


Exercice 9 :
1) Trouver les réels a et b tels que :

2) Résoudre l’équation :

Fiche 2

Exercice 1 :
On sait que appartient à :

  1. Montrer que :

  2. En déduire que :


Exercice 2 :
Résoudre dans R, l’équation : 2
Exercice 3 :
a et b étant deux réels positifs tels que : b a2, on donne deux réels A = et

B =

1) Montrer que :

2) Comparer A et B.

3) En déduire que :

Exercice 4 :
Soit un parallélogramme ABCD et I et J les points définis par :

et

1) Faire une figure.

2) Montrer que :

3) Déduire que :

4) Montrer que :

5) Que peut – on dire alors des points C ; I et J ?

Exercice 5 :
étant un arc tel que : et

1) Calculer tan.

2) Calculer
Exercice 6 :
On donne A =

Montrer que : A = 0
Exercice 7 :
Soit la fonction définie sur R par :

1) Étudier la parité de

2) Étudier les variations de dans, puis déduire les variations dans [0 ; + .

3) Montrer que 3 est un maximum de

4) Dresser le tableau de variations de

5) Compléter le tableau suivant :




-3

-2

-1

0

1

2

3

























6) a) Tracer la courbe (c) qui représente dans un repère orthonormal pour : - 3

b) Résoudre graphiquement :
Exercice 8 :
Soit les droites (Dm) d’équation : (m + 1) + (-2m-1) +5 – m = 0 avec m.

1) Calculer m pour que la droite (Dm) :

a) Soit parallèle à la droite (d) d’équation : 2 +3 3 = 0

b) Coupe l’axe x’x au point d’abscisse -5

c) Soit parallèle à l’axe x’x.

2) Démontrer que toutes les droites (Dm) passent par un point fixe E dont on calculera les coordonnées.
Fiche 3

Exercice 1 :
Partie A
[AB] est un segment tel que : AB = 11 cm

partir d’un point M de ce segment,

on construit deux carrés comme indiqué

sur la figure ci – contre.

On pose AM = avec


On propose de déterminer pour que la somme des aires des deux carrés soit 65

1) Prouver que la somme S des aires, en fonction de , s’exprime par :

2) Montrer que si S est égale à 65 , alors est solution de l’équation :


Partie B
Dans un repère orthogonal (1cm sur x’ox et 4 cm sur y’oy), (P) est la courbe représentative de la fonction définie sur R par : .

1) Montrer que

2) a) Monter que est décroissante dans et croissante dans.

b) Dresser le tableau de variations de

3) a) Compléter le tableau suivant :







0


2


4





7


9


10



























  1. Tracer la courbe (P) qui représente .

  2. En déduire les valeurs de pour lesquelles l’aire S est égale

Exercice 2 :
Dans un repère orthonormé, on considère les droites

(D1) : et (D2) :

  1. Tracer (D1) et (D2).

  2. Trouver un système d’équations paramétriques de (D2)

  3. Calculer les coordonnées du point I intersection de (D1) et (D2).

  4. Déterminer un point P de (D1) et un point Q de (D2) pour que le point G (0 ; 1) soit le

centre de gravité du triangle PIQ.

  1. Placer les points A (- 2 ; - 3) et B (5 ; -1). Écrire le système d’inéquations dont l’ensemble de solutions est la région intérieure au triangle IAB.



Exercice 3:
Dans un repère orthonormal (o; ), la droite (d) a pour équation et la droite (d1) : . (d) et (d1) se coupent en I.

(d) coupe y’y en A et (d1) coupe x’x en B.

Soit E le milieu de [AI] et F le symétrique de B par rapport au point E.

  1. Calculer les coordonnées de I.

  2. Sans chercher les coordonnées de F et E, écrire une équation cartésienne de la droite (EF).


Exercice  4:
On donne les deux droites (D1) : et (D2) : avec tR

et les points A (1 ; -1) et B (-4 ; 3).

  1. Tracer (D1) ; (D2) et placer les points A (1 ; -1) et B (-4 ; 3).

  2. Donner une équation cartésienne de (D2)

  3. Donner une représentation paramétrique de (D1)

  4. Trouver les coordonnées de I intersection de (D1) et (D2).

  5. Écrire une équation cartésienne de la droite (d1) passant par I et B, celle de la droite (d2) passant par I et A, et celle de la droite (d3) passant par B et A.

  6. Déterminer un point P de (D1) et un point Q de (D2) sachant que J (4 ; 0) est le milieu de [PQ].

  7. Donner une représentation paramétrique de (D3), la médiane issue de I dans le triangle ABI.

  8. Former le système d’inéquation dont l’ensemble de solutions est représenté par l’intérieur du triangle IAB.



Fiche 4

Exercice 1 :
Dans un repère orthonormal (O;), on donne les points A (-4 ; 0) ; B (-7 ; 3) ; C (3 ; 7) et les vecteurs (t -  ; 2) ; (-t ; t +) et ( ; -3).

  1. Trouver t pour que et soient colinéaires.

  2. Quelle est la nature du triangle ABC.

  3. Trouver les coordonnées de B et C dans le repère (A;).



Exercice 2 :
ABC est un triangle rectangle isocèle en A. D ; E et F les points tels que :

; ;

En choisissant le repère (A;) :

a) Calculer les coordonnées de A ; B ; C ; D ; E et F.

b) Calculer les coordonnées de G centre de gravité du triangle CBD.

c) Soit L (0 ;), démontrer que (LG) est parallèle à (AB).
Exercice 3 :
En informatique, les lettres majuscules et minuscules sont codées sous la forme d’un nombre de huit chiffres égaux à 0 ou à 1. Ce nombre s’appelle octet. Combien y a-t-il d’octets différents possibles.

Exercice 4 :
SABC est un tétraèdre. E est le symétrique de A par rapport à B et F est le symétrique de A par rapport à C.

1) Démontrer que la droite (EF) est parallèle au plan (SBC).

2) Déterminer l’intersection des plans (SEF) et (SBC).

3) M est un point quelconque de [SB].

a) Déterminer le point H intersection de (SA) et du plan (MEF).

b) Déterminer le point N intersection de (SC) et du plan (MEF).

c) Démontrer que (MN) et (EF) sont parallèles.


Exercice 5 :
est définie sur [-3 ; 5] par.

Montrer que est croissante sur [-3 ; 5].
Exercice 6 :


  1. On donne : -1

  2. Démontrer que  si

  3. Si


Exercice 7 :
Soit un tétraèdre SABC.

I, J et k sont respectivement trois points dans les faces (SAB) ; (SBC) et (SAC).

a) Tracer l’intersection de la droite (SI) avec le plan (ABC), puis l’intersection de (SIJ)

avec le plan (ABC).

b) Tracer la droite d’intersection des plans (SIK) et (ABC).
Exercice 8 :
Calculer la moyenne et l’écart-type de l’ensemble suivant de notes sur 20 d’un examen

Score

5

6

7

8

9

10

11

12

Effectifs cumulés croissants

1

7

12

19

29

35

38

40



  1. Trouver le mode et la médiane de cette série.

  2. Calculer l’étendue de cette série.

c) Donner la signification de l’effectif cumulé croissant de la modalité “9”.

d) Quel est le nombre des notes qui appartiennent à et exprimer le en

pourcentage.



Fiche 5
Exercice 1 :

Simplifier et écrire la réponse à l’aide de puissances positives:
A= ; B=
Exercice 2 :

Soit les points A (2;3) et B (4;2) et la droite (d) d’équation : .

a) Calculer AB.

b) Calculer la distance de A à (d).

c) Trouver les coordonnées du point E symétrique de A par rapport à (d).

Exercice 3 :
On considère la fonction f définie sur

l’intervalle I = [-6 ; 7] par sa courbe (c)

tracée ci-contre.


  1. Dresser le tableau de variations de f et déterminer le minimum absolu et

le maximum absolu de f sur I.

  1. Déterminer : f (-2) ; f (4).

  2. Trouver tel que f () = 7.

  3. Résoudre graphiquement : f ()=0 ; f () > 0.


Exercice 4 :
La courbe (C) est la représentation graphique, dans un repère orthonormé (O ;;) ,

d’une fonction f.


  1. Déterminer le domaine de définition de f.

  2. Déterminer f (-9) ; f (-4) ; f(0)  et f(6)

  3. Soit g la fonction définie par.

Résoudre graphiquement :



.

  1. Dresser le tableau des variations de f.

Exercice 5 :
Résoudre, dans IR, les équations et les inéquations suivantes :
a) ; b) ; c)


DEVOIRS DE VACANCES Classe: 2nd passage en 1ère
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