Un emprunt indivis est un emprunt contracté auprès d’une seule personne (physique ou morale). IL établit ainsi une relation bilatérale entre un seul prêteur et








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Les Emprunts Indivis


Chapitre 4 : Les emprunts Indivis

  1. Généralités

  1. Définition

Un emprunt indivis est un emprunt contracté auprès d’une seule personne (physique ou morale). Il établit ainsi une relation bilatérale entre un seul prêteur et un seul emprunteur. Un emprunt indivis est caractérisé par trois éléments à savoir : le capital emprunté, la durée de remboursement et le taux qui servira à calculer les intérêts.

Dans le système classique l’emprunteur rembourse périodiquement à son créancier une fraction du capital emprunté (amortissement) augmenté des intérêts calculés sur le capital restant dû. Ainsi l’annuité de remboursement est l’ensemble de l’amortissement et des intérêts. (a = A+ I)

  1. Système d’Amortissement

  1. Les Données

Vo : Capital emprunté

n : La durée de remboursement ou le nombre d’annuité

i : Le taux d’intérêt pour 1franc

Ak : Amortissement de la période k

Ik : Intérêt de la période k

ak : Annuité de la période k

Vk – 1 :Capital restant dû en début de la période k

  1. Tableau d’amortissement

    Période

    Dette de début de période

    Intérêts

    Amortissement

    Annuité

    Dette de Fin de Période

    1

    2

    3

    k

    k + 1

    n

    Vo

    V1

    V2

    Vk – 1

    Vk

    Vn – 1

    I1 = iVoI2 = iV1

    I3 = iV2

    Ik = iVk – 1

    Ik +1= i Vk

    In = i Vn – 1

    A1

    A2

    A3

    Ak

    Ak+1

    An

    a1 = A1 + I1

    a2 = A2 + I2

    a3 = A3 + I3

    ak = Ak + Ik

    ak+1=Ak+1+ Ik +1

    an = An + In

    V1 = Vo – A1

    V2 = V1 – A2

    V3 = V2 – A3

    Vk = Vk – 1 - Ak

    V k+1= Vk – Ak+1

    Vn = Vn-1 - An


  2. Relations importantes

Vk – 1 = Vk – 2 – Ak- 1  ; Vk = Vk – 1 - Ak ; Vn-1 - An = 0 soit Vn-1 = An

  1. LES FORMULES DE REMBOURSEMENT

  1. Remboursement par annuités constantes

Dans cette partie du cour l’important est de savoir que lorsque les annuités sont constantes les amortissements successifs sont en progression géométrique de raison (1+i). Ceci dit nous pouvons en déduire quelque formule á partir du tableau d’amortissement ci-dessus :

  1. Formule très importante à retenir

a1 = a2 = a3 = a4 = ----------------- = an = a


1 – (1+i)-n

(1+i) n - 1
A2 = A1 (1+i) 2-1


i

i
V0 = A1 ou soit V0 = a1



An = A1 (1+i) n-1 or an = An + In or In = i Vn-1 soit In = i An donc on a

an = An + I An an = An(1+i) An = an (1+i)-1 remplaçant cette formule dans la formule de départ. Donc on a:

an(1+i)-1 = A1 (1+i) n-1 soit a = A1 (1+i) n



  1. Exercices corrigés


Exercice1 :
Du tableau d’amortissement d’un emprunt remboursable par annuité constante, on tire les informations suivantes

7ème amortissement : 729 205,7983

11ème amortissement : 1 275 385,499

Dernier amortissement : 2 230 657,208



Suite á la page suivante



Déterminer :

  1. Le taux d’intérêt

  2. L’annuité constante

  3. Le 1er amortissement

  4. Le montant de la dette

  5. La durée de remboursement

  6. Le capital remboursé après paiement de la 8ème annuité

  7. Le capital restant dû après paiement de la 13ème annuité.

  8. Présenter la première et les deux dernières lignes du tableau d’amortissement

Résultat1 :

Déterminons :

En utilisant les informations données dans l’énoncé nous pouvons facilement répondre á toutes les questions posées.

  1. Le taux d’intérêt

A11 = A7 (1+i) 11-7 = 4 soit (1+i) 4 = soit i =
- 1

i = - 1 i = 0,15 soit t = 15 %

  1. L’annuité constante :

a = An (1+i) soit a = 2 230 657,208 (1,15) soit a = 2 565 255,789 frs

  1. Le 1er amortissement

A1 = A7 (1+i) 1-7= -6 soit A1 = 729 205,7983 (1,15)-6 soit A1 = 315 255,7897 frs

  1. Le montant de la dette

a1 = A1 + I1 avec I1 = iV0 donc a1 = A1 + iV0 soit V0 = soit

V0 = soit

V0 = 15 000 000 frs



i

a1 – A1

A7

A11



Suite á la page suivante



5. La durée de remboursement (n)

V0 = A1 soit (1+i) n = + 1 soit (1,15) n = + 1 soit

(1,15) n = 8,137062 soit n = soit n = 15 ans

6. Le capital remboursé après paiement de la 8ème annuité (V8)

V8 = A1 soit V8 = 315 255,7897 soit V8 = 4 327 459,190 frs

7. Le capital restant dû après paiement de la 13ème annuité (V13)

Pour calculer V13 on a au moins deux possibilités :

1ère Possibilité : si la 13ème annuité a été payée cela suppose qu’il reste deux annuités á savoir a14 et a15 puisque n = 15. Ceci nous permet d’écrire la formule suivante :

V13 = a soit V13 = 2 565 255,789 soit
V13 = 4 170 359,128 frs

2ème Possibilité : si la 13ème annuité a été payée cela suppose qu’il lui reste á payer la valeur de la dette – les 13 premiers Amortissement. Ceci nous permet d’écrire la formule suivante :

V13 = V0 – A1 soit V13 = 15 000 000 – 315 255,7897

V13 = 4 170 359,128 frs

8. Présenter la première et les deux dernières lignes du tableau d’amortissement.

Période

Dette Début Période

Intérêt

Amortissement

Annuité

Dette Fin Période

1

14

15

15 000 000

4 170 359,128

2 230 657,208

2 250 000

625 553,8692

334 598,5811

315 255,7897

1 939 701,920

2 230 657,208

2 565 255,789

2 565 255,789

2 565 255,789

14 684 744,21

2 230 657,208

0



i

0,15

1 – (1,15) -2

1 – (1 – i) -2

A1

iV0

315 255,7897

0,15 x 15 000 000

i

(1+i) n - 1



Exercice 2 :

Un emprunt indivis de valeur nominale V0, contracté á intérêts composés au taux annuel i pour 1F, doit être remboursé en 20 ans par des annualités constantes, la première devant être versée un an plus tard. Chaque annuité contient un intérêt et un amortissement.

On désigne par I1, I2, I3, ….. I20 les intérêts successifs et par A1, A2, A3, ….. A20 les amortissements respectifs.

  1. Montrer que = (1+i)3




  1. On donne :


I7 = I12 + 722 161,090 F

A15 = A10 + 1 014 584,334

Calculer

  1. Le taux d’évaluation i .

  2. Le premier amortissement A1 .

  3. La valeur V0 de l’emprunt (arrondie au millier de francs le plus proche).

  1. Construire les lignes n°7 et n°15 du tableau d’amortissement de l’emprunt.

Résultat 2 :

  1. Montrons que = (1+i) 3



  • a7 = A7 + I7 soit I7 = a7 – A7 (1)

  • a12 = A12 + I12 soit I12 = a12 – A12 (2)

  • (1) – (2) soit I7 – I12 = (a7 – A7) - (a12 – A12) (3)

  • Puisque les annuités sont constantes on a : a7 = a12 = a

  • Donc (3) devient I7 – I12 = a – A7 – a + A12 soit I7 – I12 = A12 – A7 (4)

  • Les annuités étant constante alors les amortissements sont en progressions géométrique de raison (1+i). Alors on a (4) : I7 – I12 = A7 (1+i)5 – A7 soit I7 – I12 = A7 [ (1+i)5 – 1 ] (5)

  • A15 – A10 = A7(1+i)8 – A7(1+i)3 soit A15 – A10 = A7 (1+i)3 [ (1+i)5 – 1 ] (6)

= = = en simplifiant on a = (1+i)
3



A15 – A10



I7 – I12



A15 – A10



I7 – I12



(6)



A15 – A10

A7 (1+i) 3 [(1+i) 5 – 1]

A
15 – A10

(5)



I
7 – I12

A7 [(1+i) 5 – 1]

I7 – I12



  1. Calculons

  1. Le taux d’évaluation i

On a

  • I7 = I12 + 722 161,090 F soit I7 – I12 = 722 161,090

  • A15 = A10 + 1 014 584,334 soit A15 – A10 = 1 014 584,334

= = (1+i)3 soit (1+i)3 = 1,404928 soit i =
– 1

Alors i = 0,12 soit t = 12%

  1. Le premier amortissement A1

A15 = A10 + 1 014 584,334 soit A15 – A10 = 1 014 584,334 soit

A1 [(1+i) 14 – (1+i) 9] = 1 014 584,334 soit A1 = =

Donc on a A1 = 479 928,1062

  1. La valeur V0 de l’emprunt (arrondie au millier de francs le plus proche).

V0 = A1 avec n = 20 , i = 0,12 donc V0 = 479 928,1062

Donc V0 = 34 579 999,97 soit V0 = 34 580 000 F

  1. Construire les lignes n°7 et n°15 du tableau d’amortissement de l’emprunt.

Période

Dette début Période

Intérêt

Amortissement

Annuité

Dette Fin Période

7

15

30 685 291,82

19 033 876,21

3 682 235,019

2 284 065,146

947 293,1949

2 345 463,068

4 629 528,214

4 629 528,214

29 737 998,63

16 688 413,15


A7 = A1 (1+i) 6 soit A7 = 947 293,1949

A15 = A1 (1+i) 14 soit A15 = 2 345 463,068
V0 = a n = 20 et i = 0,12 soit V0 = 7,469 444 a soit a = 4 629 528,214





1 014 584,334

A15 – A10



722 161,090

I7 – I12



1 014 584,334

1 014 584,334



2,114034

[(1+i) 14 – (1+i) 9]



(1,12) 20 + 1

(1+i) n – 1



0,12

i



1 – (1+i) -n



i


NB : Dans cette première partie, l’important est de maîtriser le tableau d’amortissement. Grace á ce tableau vous pouvez écrire toutes formules possible pouvant vous aider á répondre aux différentes questions.

  1. Remboursement par amortissement constant

Dans cette deuxième partie du cour l’important est de savoir que lorsque les amortissements sont constants, les annuités successives sont en progression arithmétique de raison r = - i. Avec premier terme a1 = + i Ceci dit nous pouvons en déduire quelque formule á partir du tableau d’amortissement ci-dessus :

  1. Formule très importante à retenir

A1 = A2 = A3 = A4 = --------------- = An = A

V0 = A1 + A2 + A3 + A4 + ------------------ + An soit V0 = nA soit A =

Vn – 1 – An = 0 soit Vn–1 = An donc on a : an = An + iVn–1 , an = An + iAn or An = A soit an = A(1+i) soit A = an (1+i)–1

ak+1 – ak = Ak+1 + iVk – Ak – iVk–1 or Ak+1= Ak = A , Vk – Vk – 1 = – Ak donc on a : ak+1 – ak = + i (Vk – Vk – 1) soit ak+1 – ak = – iAak+1 – ak = i

  1. Exercices corrigés


Exercice1: Une dette de 900 000 frs est contractée au taux de 10% pour être remboursé en 8 ans par des amortissements constant.

Présenter les deux lignes extrêmes (la première et la dernière ligne) du tableau d’amortissement.

Resultat1 : Présentons les deux lignes extrêmes (la première et la dernière ligne) du tableau d’amortissement.

Période

Dette Début Période

Intérêt

Amortissement

Annuité

Dette Début Période

1

8

900 000

112 500

90 000

11 250


112 500

112 500

202 500

123 750

697 500

0





Exercice 2 : Pour un emprunt remboursable par des amortissements constants, on a les informations suivantes : I1 = 21 000 frs ; I2= 18 000 frs ; an = 78 000 frs

Calculer :

  1. Le taux.

  2. Le nombre d’annuités.

  3. Le capital emprunté.

Résultat 2 :

Nous devons rappeler que les amortissements sont constants

Calculons :

  1. Le taux i

  • I1 = iV0 et I2 = iV1 avec V1 = V0 – A1 Alors on a I1 – I2 = iV0 – i(V0 – A1) soit I1 – I2 = iA1 (1)avec A1 = A

  • an = An +iVn–1 avec Vn–1 = An = A soit an = A(1+i) Alors A = an(1+i)–1 (2)

  • remplaçons (2) dans (1) soit I1 – I2 = i an(1+i)–1 alors i(1+i) = = alors i(1+i)–1 = 0,038462 soit = 0,038462

  • 0,038462 + 0,038462i = i alors i = = 0,04 soit t = 4%

  1. Le nombre d’annuité n

  • I1 – I2 = iA1 alors A = = 75 000 frs

  • V0 = nA or I1 = iV0 Alors n = alors n = soit n = 7 ans

  1. Le capital emprunté. V0

V0 = nA soit V0 = 7 Alors V0 = 525 000 frs


NB: Dans cette partie aussi l’important est de maîtriser le tableau d’amortissement. Chaque ligne du tableau d’amortissement est importante. Et de plus cette partie semble être plus facile que la précédente.

  1. Remboursement en Bloc

L’emprunteur peut s’engager á rembourser la totalité de la dette une seule fois á la fin de la dernière période. Trois cas peuvent être envisagés :

1er Cas : L’emprunteur décide ici de payer la totalité des intérêts á la fin de la dernière période. La valeur de son remboursement S est :

S =

2ème Cas : Pour éviter la capitalisation des intérêts, l’emprunteur peut décider de payer périodiquement les intérêts de la dette.

iV0 iV0 iV0 iV0+V0 = an

0 1 2 n-1 n

a1 = a2 = ------------------- = an-1 = iV0

an = V0(1+i)


a’ a’ a’ a’
3ème Cas (Système Américain) : Dans ce cas, l’emprunteur décide de payer en une seule fois la dette V0 á l’époque n et de verser á chaque fin de période l’intérêt iV0. Pour tenir son engagement á la période n, le débiteur s’engage de verser périodiquement dans une autre institution financière de fond d’amortissement rémunéré au taux i’ (taux d’épargne) avec i’< i.

iV0 iV0 iV0 iV0

0 1 2 n-1 n

  • Fonds d’amortissement a’

V0 = a’ soit a’ =

  • Charge périodique C

C = iV0 + a’

  • Taux effectif

V0 = C


Exercice : Une dette de 10 000 000 est contractée au taux de 9% pour être remboursée une seule fois á la fin de la 10ème année. Le débiteur verse parallèlement dans une autre banque des sommes constantes á la fin de chaque année pour pourvoir constitué le capital emprunté. Le taux utilisé par la banque pour lui calculer ses intérêts est de 7%.

Calculer :

  1. La charge annuelle de l’emprunt

  2. Le taux effectif

  3. En réalité cette dette devrait être remboursée par des annualités constantes mais pour tenir compte de l’évolution de l’inflation, le créancier décide de pratiquer des taux variant de la manière suivante

11,5% pour les trois premières années

12% pour les quatre années suivantes

10,5% pour les trois dernières années.

Déterminer dans ces conditions la valeur commune des annuités de remboursement.

Résultat : Calculons

  1. La charge annuelle de l’emprunt

C = iV0 + a’ soit C = 0,0910 000 000 +

C = 1 623 775,027 frs

  1. Le taux effectif

V0 = C soit = = = 6,158 489

D’après la TF4 on a :

6,144 567 6,158 489 6,211116

10 te 9,75

= soit te = - 0,20919990,25 + 10 donc te = 9,947%

  1. Déterminer la valeur commune des annuités de remboursement. a

10 000 000 = a + a + a

Soit a = 1 740 970,009 frs



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