TB3 / Physique Vibratoire : séries de Fourier td3 Séance n°3








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TB3 / Physique Vibratoire : séries de Fourier TD3

Séance n°3





Exercices avec réponses

Exercice 1 (ultra-classique, tiré du livre “ Physique des ondes et des vibrations ” , André Lecerf, éditions Tec&Doc)
Développer en séries de Fourier les fonctions périodiques ( de période T= ) suivantes :
1.1) Courbe en créneaux irréguliers

Réponse :





1.2) Courbe en créneaux réguliers (cas précédent avec q = T /2)



Réponse :


1.3) Sinusoïde redressée simple alternance.




réponse : fonction paire, donc Bm= 0. et pour m > 1, il n'y a plus d'harmoniques impairs.

On pose m = 2p et




1.4) Sinusoïde redressée double alternance.



Réponse : fonction paire, donc Bm=0. et .
1.5) Courbe en dents de scie à flanc vertical



Réponse :
fonction impaire, donc :


1.6) Courbe en dents de scie à flancs dissymétriques.




Réponse :
A0 = 0. Fonction impaire, donc Am = 0.

Enfin, Bm =


Exercices avec solutions



Exercice 1

On considère le signal périodique ci-contre (figure 1) :
1.1) Quelle est la fréquence fondamentale?
1.2) Quelle est la valeur moyenne de ce

signal ?
1.3) Calculer la valeur efficace de V (t).
1.4) Donner la décomposition en série de Fourier de V (t).
1.5) On veut reconstruire V (t) à l’aide des fonctions trouvées dans la décomposition en série de Fourier.
Combien d’harmoniques devra-t-on utiliser pour que le signal “ reconstruit ” ait une énergie au moins égale à 90 % de celle du signal donné à la figure 1 ?
1.6) Même question si le signal était carré, symétrique et de valeur moyenne nulle.

Exercice 2 : Courbe en dents de scie à flancs symétriques



Calculer le développement en séries de Fourier

du signal suivant :

Solutions


Exercice 1



1.1) Fréquence fondamentale
On mesure graphiquement T = 2,8 ± 0,1 cm et l’échelle des temps nous apprend que l’on a

1,1 cm pour 1 ms.

Donc T est comprise entre 2, 54 et 2,72 ms, ce qui revient à dire que F (fréquence du fondamental) est comprise entre 368 et 394 Hz.


F = 380 Hz

Conclusion : on prend la valeur moyenne, soit

1.2) Valeur moyenne de ce signal.
Il apparaît clairement que le signal périodique donné à étudier est un signal triangulaire symétrique -2V / +2V , décalé de +1V.

On sait (cf cours et TD) qu’un signal périodique est la somme d’un signal alternatif (de valeur moyenne nulle) et d’une composante continue, égale à la valeur moyenne.
Ici, le signal triangulaire est la partie alternative du signal et la composante continue, égale à +1V est la valeur moyenne.
Dit autrement : si on décale V(t) de 1 V vers le bas, on retrouve un signal de valeur moyenne nulle.

Conclusion : Vmoyen = + 1V

1.3) Valeur efficace de V (t).
V (t) est un signal du type : V (t) = f (t) + C ste
avec : f (t) = signal triangulaire symétrique et C ste = valeur moyenne = +1 V.
Par définition :
= = = + +
Il ne reste donc qu’une intégrale à calculer (la première), soit :
= = + C2 = +1 car C = 1



  1. Calcul de :



f(t) est donnée à la figure 1 ci-contre. C’est un signal triangulaire symétrique -2V/+2V, de période T
Sur la figure 1 bis, qui représente f 2 (t), on s’aperçoit que le fait d’élever au carré donne une période qui devient T / 2 et que l’axe Oy est axe de symétrie (en effet, la surface de -T/4 à 0 est la même que de 0 à T/4....même chose sur chaque intervalle de durée T/4).





Dans les calculs, on peut utiliser les égalités suivantes :

= = = J
Une rapide étude de nous donne l’équation de f(t) de - T/ 4 à 0, soit f (t) = sur cet intervalle.

D’où J = = = = après calculs.


Conclusion : la valeur efficace Veff =


1.4) Décomposition en série de Fourier de V (t) = f (t) + 1.
V (t) est une fonction paire. Donc quel que soit n entier, Bn = 0 (pas de termes en sinus).
A0 = valeur moyenne = 1 V est connue.
Par ailleurs, comme le signal est symétrique, il n’y aura pas de termes de rang pair dans la décomposition en série de Fourier de V (t).
Il reste à calculer le terme général A2 n + 1 :

A2 n + 1 = =+




Et sur [ 0 ; T/2], f (t) est du type a t + b.
Pour t = 0, f (0) = 2 = b.

Pour t = T/2, f (T/2) = -2 = a =

D’où f (t) = t + 2 sur l’intervalle [ 0 ; T/2 ].

A 2 n + 1 = = + = K + L


  1. Calcul de L :

L = =


  1. Calcul de K :

K = On intègre par parties avec u = t et dv = cos (2n+1) wt dt

du = dt et v =

K = =



ce terme est nul
K = =

K =


A2 n + 1 =


Donc :


Le développement en série de Fourier de V (t) est donc :

V (t) = 1 + [ cos wt + + + ... + + ... ]


1.5) Nombre d’harmoniques nécessaires pour que le signal “ reconstruit ” ait une énergie au moins égale à 90 % de celle de V (t).

D’après la question 1.3, l’énergie de V (t) vaut = .

Comme V (t) est constitué de plusieurs composantes, chacune d’entre elles apportera une énergie égale à la valeur efficace au carré.
Rappels :

  1. Pour un signal sinusoïdal, Veff = , donc = .

  2. Pour un signal constant V0 = 1 V , la valeur efficace vaut (V0 ) 2 = 1.


Pour répondre à la question posée, il suffit donc d’additionner l’énergie des différentes composantes, en partant de V0 . Ceci jusqu’à l’ordre n tel que l’énergie obtenue soit supérieure ou égale à 0,9 fois celle de V (t).
Par ailleurs, comme la décroissance de l’amplitude des harmoniques est en 1 / (2n+1) 2 ,

on peut supposer qu’il faudra très peu de composantes pour que 90 % de l’énergie de V (t) soit présente.


Composante

A0

A1

A3

A5

Amplitude

1

1.62

0,18

0,065

(Valeur efficace)2

1

1,31

0,016

0,002




Conclusion : comme 0,9 x = 2,1 on constate qu’il suffit d’utiliser A0 et A1 pour que 90 % de l’énergie de V (t) soit présente dans le signal reconstitué.


1.6) Même question si le signal était carré, symétrique et de valeur moyenne nulle.
Un signal carré symétrique (variant entre -A et +A), de valeur moyenne nulle a pour valeur efficace A 2 .
Ce signal admet une décomposition en série de Fourier qui ne comporte pas de termes de rang pair, et dont la décroissance est en 1 / (2n +1).
On peut faire le même tableau que précédemment, mais cette fois-ci, il faudra plus de composantes :


Composante

A1

A3

A5

A7

A9

Amplitude

1,27A

0,42A

0,25A

0,18A

0,14A

(Valeur efficace)2

0,81A2

0,082A2

0,03A2

0,017A2

0,01A2



Conclusion : dans ce cas, il faudra prendre un terme supplémentaire (A3) pour obtenir 90 % de l’énergie du signal carré.


Exercice 2



Dents de scie à flancs symétriques :

La fonction étudiée est paire, donc Bn = 0, . De plus, O ' est centre de symétrie, donc pas d'harmoniques pairs (voir cours).

A0 = 0 car la fonction est alternative.
On peut calculer directement qui est le seul terme

non-nul, soit :
la seconde intégrale s’intègre par parties en posant :



=


Conclusion :


Exercices à préparer


Exercice 6 : Identification d’un signal périodique inconnu



L’analyse spectrale d’un signal périodique à l’analyseur de spectre a donné (voir figure) :

1.1) Quelle est la période T de ce signal ?
1.2) Ce signal possède-t-il une valeur moyenne ? Si oui, quelle est son amplitude Vo ?
N.B. : on donne Vréf = 1 µV efficace pour 0 dB (décibel), et on définit .
1.3) Expliquer pourquoi la largeur de raie des pics observés n’est pas nulle ?
1.4) Quelle est l’amplitude du fondamental, notée VF ?
1.5) S’agit-il d’un signal : - triangulaire symétrique ?

- carré symétrique ?
N.B. : il faut justifier le résultat par un calcul rigoureux, en utilisant les propriétés des séries de Fourier.
1.6) Calculer le taux de distorsion harmonique à l’ordre 10 de ce signal.

Exercice 2



En réalisant la différence, puis la somme de deux séries de Fourier d'une sinusoïde redressée simple alternance, décalées d'une demi-période, retrouver :
2.1) La S.d.F d'une simple sinusoïde.

2.2) La S.d.F d'une sinusoïde redressée double alternance.

Exercice 3



On considère le signal périodique suivant :


3.1) Déterminer le spectre des fréquences du signal s(t).
3.2) De quel paramètre dépend la "distance" entre deux raies consécutives.
3.3) Définir la largeur de spectre utile. De quel paramètre dépend cette largeur ?
3.4) Que devient le spectre fréquentiel si la période du signal tend vers l'infini ?



Exercice 4 : Séries de Fourier



On considère une machine asynchrone triphasée. Chaque phase est alimentée par une tension du type décrit ci-dessous :


4.1) Développer V(t) en série de Fourier. On calculera l'amplitude des 3 premiers termes en fonction de A.
4.2) Calculer la valeur que doit avoir A si on veut que l'amplitude du fondamental soit de 1500 V.


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