Ici, p désigne un plan affine euclidien orienté, un repère orthonormé








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date de publication20.05.2017
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Courbes d’équation ρ = f(θ) en coordonnées polaires




Préliminaire
Ici, P désigne un plan affine euclidien orienté, un repère orthonormé.

Pour , on note .



Soit . M admet le système de coordonnées polaires .

Ainsi, M est sur la droite , et .

et sont de même sens si et seulement si .

Soit I un intervalle infini de R. Soit , de classe au moins.

La courbe d’équation polaire dans R, c’est



C’est donc le support de l’arc paramétré .

Rappel :

est de classe sur R, et , noté .

Et, par récurrence, .

La donnée de et du signe de donne l’angle , ce qui suffit quasiment à tracer la courbe (ou du moins l’allure).

Exemple : .

Données :

f est de classe , et on a le tableau de signes :





Réduction de l’intervalle d’étude
On considère une courbe . Divers exemples :

  • Si il existe tel que , alors , puisque .

On obtient ainsi tout C pour décrivant un intervalle d’amplitude .

  • Si il existe tel que  :



On obtient donc encore tout C avec un intervalle d’amplitude .

  • Si



On obtient alors C en se limitant à (ou ), et en opérant sur la courbe obtenue une symétrie d’axe

  • Si



On obtient tout C en se limitant à puis en faisant une symétrie d’axe .

  • Si



Idem que précédemment, avec (ou )

  • Si

On obtient C en se limitant à , puis en faisant une symétrie d’axe .

  • Si



On dessine sur un intervalle d’amplitude , puis on fait une symétrie par rapport à O.

  • Autres cas plus variés :

Si  :

On dessine sur , puis on fait une rotation d’angle (3 fois) et de centre O.

Si  :



On fait l’étude pour , puis une symétrie par rapport à la première bissectrice.

Si  :

On étudie sur un intervalle d’amplitude , puis on fait toutes les homothéties de centre O et de rapport .

Exemples, construire les courbes :



Pour les , on peut se limiter à un intervalle d’amplitude .

  • Pour  : on se restreint à

 : On peut se limiter à , puis on fait une symétrie d’axe

 ; rien de mieux.

On obtient un cercle :



  • Pour  :

. On peut donc se restreindre à .

 : Etude sur , puis symétrie d’axe .

 : Etude sur , puis une symétrie d’axe donne sur .





  • Pour  :

 : Etude sur un intervalle d’amplitude .

 : Etude sur un intervalle d’amplitude , puis 2 rotations d’angle et de centre O.

 : Etude sur , puis symétrie d’axe donne la courbe sur





  •  :

 : Etude sur

 : Etude sur , puis symétrie d’axe .





Etude des tangentes
Soit , où f est de classe (au moins)

Soit , on cherche la tangente en .

. Donc

Ainsi, sur une courbe d’équation polaire , si , alors ce point n’est pas stationnaire (la famille est en effet libre, pour tout , elle forme même une base orthonormée directe de la direction de P)

  • Si  :

fait un angle avec tel que

En effet :

Si on note , alors

Donc et , (et donc )

D’où le résultat.
Ainsi :

Si , ce point n’est pas stationnaire, et la tangente en ce point fait avec un angle orienté tel que

On peut aussi retenir que si et sinon.



  • Si  :



  • Si , alors n’est pas stationnaire et la tangente est dirigée par .

  • Si et qu’on peut dériver suffisamment de façon à tomber sur le premier non nul (s’il en existe) :



Ainsi, dans tous les cas la tangente est dirigée par .
Exemple :

(« cardioïde »)

 : Etude sur

 : Etude sur , puis symétrie d’axe .

Si  :





Etude des tangentes :



Donc

En , on a donc , donc (et ).

En , , donc (et ).

Branches infinies
Diverses situations :

Soit I est un intervalle infini.

  • Si I n’est pas majoré/minoré et , on a une branche infinie spirale.

  • Si  : on obtient une direction asymptotique dirigée par /d’angle polaire .

En effet, en coordonnées cartésiennes :



Donc si , au voisinage de  : .

On a alors une direction asymptotique de pente .

Si , au voisinage épointé de  :

Pour avoir les asymptotes, on fait ensuite l’étude de

Exemple :

.

 : Etude sur .

 : Etude sur puis symétrie par rapport à .







Autre exemple :



 : Etude sur .





Déjà, on a une direction asymptotique horizontale :



Tangente au point de paramètre  :

.

.

Donc . Donc et OM est horizontal. Donc T est de pente 2.

En  :

. On note

On a

Donc . Donc la tangente est de pente

Recherche de points doubles
On doit chercher les points doubles parmi les solutions de :



Et



Et



Exemple : on reprend celui de la fin du paragraphe précédent :

On cherche un point double, pour et (d’après l’allure de la courbe). On cherche donc tel que .

C'est-à-dire

Soit

Soit

Soit

C'est-à-dire

Soit . Donc .

Quelques courbes classiques en coordonnées polaires

Droites


  • Droite passant par : est une équation en coordonnées polaires de D.



  • Droite orthogonale à unitaire et passant par H tel que .



Rappel :



Soit :



Donc

Si (alors , ), c'est-à-dire si D ne passe pas par O, l’équation s’écrit aussi .

Cercles


  • Cercle de centre :

Pour , est une équation du cercle de centre O et de rayon a ( en est aussi une)

  • Cercle C passant par O et de centre de coordonnées polaires .

(C'est-à-dire telles que )

Soit . On a les équivalences :



Une équation polaire de C est donc

L’équation trouvée est donc de la forme .

Inversement, soit .

Si , alors .

Sinon, et se met sous la forme

(avec et tel que , )

On reconnaît le cercle passant par O de centre tel que .
Conique dont un des foyers est O.
Soient D une droite ne passant pas par O, , H est le projeté orthogonal de M sur D.

Si , on a une hyperbole, si une parabole et si une ellipse.

Disons que D est orthogonale à et passe par K tel que ( car D ne passe pas par O)



Ainsi,

Soit (donc )

H est déterminé par : et est colinéaire à .

Donc .



Donc .

Ainsi, on a les équivalences :



(Pour la dernière équivalence, si , on a en effet car sinon ou ce qui est faux)

Une équation polaire de C est alors . (En effet, est solution de (1) si et seulement si est solution de (2))

s’appelle le paramètre de la conique.

On retrouve la nature de la conique avec l’équation :

  • Si ne s’annule pour aucune valeur de (c'est-à-dire si ), tout les sont permis, on a donc une ellipse.

  • Si s’annule pour deux valeurs de (modulo ), c'est-à-dire si a deux solutions , c'est-à-dire si , on a alors une hyperbole.

  • Si ne s’annule qu’une fois modulo , c'est-à-dire si , on a alors une parabole.


Réciproque :

Soit avec , .

1er cas : Si .

avec , on obtient une droite.

2ème cas : Si et

avec et .

On reconnaît une conique d’excentricité e, de foyer O et de directrice associée



3ème cas : Si et

. On obtient un cercle de centre O.

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