TB3 / td physique Vibratoire : vibrations monochromatiques








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TB3 / TD Physique Vibratoire : vibrations monochromatiques


Séance n°2


Rappels de Cours

Exercices avec éléments de correction


Exercice 1 : vibration monochromatique



Une vibration monochromatique a pour expression réelle : v1(t) = - 5 cos (6pt-p/4)
1.1) Mettre v1(t) sous la forme : v1(t)= A1 cos (wt-j1) en précisant les valeurs de A1

(avec A1 >0), w et j1.

1.2) Ecrire le signal analytique v1(t) associé à v1(t), ainsi que l'équation qui lie v1(t) à dv1(t)/dt
1.3) Mêmes questions pour v2(t) = 3 sin (pt-p/6).

Exercice 2 :



Quelle est l'amplitude Ar et le retard de phase jr de la vibration résultant de la superposition de

v1( t ) = A1 cos (wt-j1) avec v2 ( t ) = A2 cos (wt-j2) ?

On établira le résultat par la méthode trigonométrique, puis par la méthode complexe.

Exercice 3 :



Montrer que l'amplitude de la vibration résultant de la superposition de

v1(t) = cos wt, v2(t) = cos (wt - j) et v3(t) = cos (wt + j) peut s'écrire : .

Exercice 4 :



Une vibration quasi-monochromatique v(t) peut être considérée comme la somme de trois vibrations monochromatiques vo(t), v1(t) et v2 (t), d'amplitudes respectives Ao , A1 = Ao/2 = A2 et de fréquences respectives n0, n1=n0 - Dn/2 et n2=n0 + Dn/2 avec Dn << n0 (voir figure 1, ci-dessous).


Exprimer v(t) en fonction des paramètres Ao, n0 et Dn.

figure 1 : spectre de v (t) figure 2 : sinusoïde amortie exponentiellement

(voir page 4)


El


é


ments de correction


Exercice 1 :

1.1)

On identifie A1 = 5 et j1 = .

1.2) D’après le cours, .

En notation complexe : .


. Dériver par rapport au temps revient à multiplier par jw dans le plan complexe.
1.3) car , avec ici .

Cela donne [la fonction cos est paire :]

Enfin : ; .
Exercice 2 :



v1 (t) + v2 (t) =
v1 (t) + v2 (t) = AR (t) =

AR (t) = AR cos (wt-j) =
En identifiant, il vient :






Ensuite, on élève au carré les deux équations ci-dessous, et on fait la somme.

Tous calculs faits, on trouve :
Méthode utilisant la forme complexe analytique associée :
; .



De plus : On retrouve facilement le même résultat que pour la méthode trigonométrique.
Exercice 3 :
v1(t) = cos wt v2 (t) = cos(wt-j) v3 (t) = cos(wt + j)

Le module de valant 1, le module de v(t) dépendra uniquement du module de 1+cos 2j.

Ensuite, en multipliant numérateur et dénominateur par sin j/2, on peut simplifier l’expression, soit :

Or, on veut faire apparaître
Il suffit donc de montrer que .

Comme

Donc . Conclusion : .

Exercice 4 :

La résultante est obtenue en faisant la somme :
Enfin, on prend la partie réelle de
Remarque : le signal obtenu est un signal modulé en amplitude. Et pour , la vibration obtenue est quasi-monochromatique.


Exercices à préparer

Exercice 1 : Grandeurs sinusoïdales et amplitudes complexes



Soit les grandeurs sinusoïdales suivantes :
et .

1.1) Mettre ces expressions sous la forme :
et .
En déduire les amplitudes S1 max et S2 max , ainsi que les phases à l’origine et .
1.2) Quelle est la différence de phase de s1 (t) par rapport à s2 (t) ?

Exercice 2 : Grandeurs scalaires sinusoïdales



Calculer :
2.1) , avec a >0.
2.2) Quelle est l’amplitude A et la phase à l’origine du temps de s1 (t) ?

Exercice 3 : modulation d’amplitude



Dessiner le chronogramme de la vibration quasi-sinusoïdale étudiée dans l’exercice corrigé numéro 4, page 1. On supposera l’hypothèse vérifiée.

Exercice 4 : vibration quasi-monochromatique amortie exponentiellement.



Soit : v (t) = Ao[ cos 2pnot ] exp(-t / t) pour t >0 (voir figure 2, page 2).

On appelle t la durée de relaxation en amplitude de la vibration, qui correspond à la tangente à l'origine de la représentation temporelle.
4.1) Quel est le spectre V(n) de cette vibration ?
4.2) En déduire le carré du module du spectre et trouver la relation entre t et la largeur totale à mi-hauteur Dn1/2 de | V(n)| 2 ?

Exercice 5 : Force électromotrice d'un alternateur



On ajoute en série les f.e.m de 30 conducteurs régulièrement répartis sur un arc de 60° du stator d'un alternateur monophasé.

Le rotor comporte un pôle nord et un pôle sud et tourne à la vitesse angulaire w.

La f.e.m. dans le premier conducteur est e1= E cos wt, avec E = 10V.
5.1) Déterminer le retard de phase de la f.e.m. dans le nième conducteur, par rapport au premier.
5.2) En déduire l'amplitude et la phase de la f.e.m. résultante e de l'alternateur.
Indications : le déphasage entre les différentes f.e.m. vient du fait que pour une position du rotor

(aimant), les enroulements ne voient pas le même flux en même temps, mais avec un décalage temporel qui est le même entre deux enroulements successifs. D'autre part il est conseillé d'utiliser la notation complexe.


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