Rapport U/I en val efficaces








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T STI GEE PHYSIQUE APPLIQUEE

Plan du cours de terminale




  1. circuits électriques




    1. circuits linéaires

    2. circuits non linéaires



  1. fonctions mises en œuvre dans le traitement du signal




    1. filtrage

    2. amplification à référence commune et amplification de différence

    3. fonctions mathématiques : addition, soustraction, intégration, multiplication

    4. comparaison à un et deux seuils

    5. temporisation

    6. associations de fonctions, adaptation d’impédances



  1. conversion numérique-analogique et analogique-numérique




    1. exemples de convertisseurs

    2. chaîne de mesure d'un multimètre numérique



  1. systèmes commandés




    1. exemples de systèmes commandés en chaîne ouverte

    2. exemples de systèmes commandés en chaîne fermée



  1. générateurs de signaux périodiques




    1. génération d'oscillations quasi-sinusoïdales

    2. génération de signaux non sinusoïdaux



  1. conversions d'énergie relatives à l'électricité




    1. conversion statique par hacheur série

    2. conversion par machines tournantes



  1. optique



(1.1) Dipôles élémentaires en régime sinusoïdal (convention récepteur)
dipôle résistor bobine condensateur
Impédance complexe Z ZR = ZL = ZC =

Module de Z

(rapport U/I en val. efficaces)

Argument de Z (phase de u par

rapport à celle de i)

Admittance complexe Y

u par rapport à i

Loi d'Ohm en valeurs instantanées

Loi d'Ohm en valeurs complexes

Loi d'Ohm en valeurs efficaces


    1. Exercices



  1. Ecrire l’expression de la valeur instantanée représentée par la valeur complexe I = 12 + 5j



  1. Ecrire l’expression de la valeur instantanée représentée par la valeur complexe
    U = -110 + 190j



  1. Quelle est la valeur complexe I associée à l’intensité i(t) = 13 sin (t - /3)



  1. On applique une tension u = 5 sin t aux bornes d’un dipôle d’impédance Z = -250j.
    Calculer l’expression de la valeur instantanée i(t) en mA.



  1. Pour un dipôle passif, les expressions des valeurs instantanées de la tension u et de l’intensité i sont : u(t) = 120 sin (100 t) et i(t) = 0,25 sin (100t + 0,6)
    Calculer l’impédance complexe Z de ce dipôle.
    En déduire le modèle série équivalent.



  1. Calculer l’admittance complexe d’une association en parallèle R = 100  ; L = 2 mH à la fréquence f = 10 kHz



  1. Calculer, à la fréquence f = 10 kHz, le modèle parallèle d’une bobine dont le modèle série a pour caractéristiques : inductance L = 35 mH et résistance Rs = 1000 

1.1 EQUIVALENCE

CIRCUITS SERIE/CIRCUITS DERIVES




Le modèle série d'une bobine est constitué d'un résistor de résistance rs et d'un élément purement inductif d'impédance ZL = jL

L rS

schéma :


On définit le coefficient de qualité par :

Dans le cas (le plus courant) où le coefficient de qualité a une valeur (à la fréquence de résonance f0 ) suffisamment élevée, telle que

Q2  1, un autre modèle, de structure dérivée, équivalent au précédent, peut être attribué à la bobine.
L’
schéma :
rd

Déterminer la valeur de L' et de rd pour que l'admittance complexe du modèle de structure dérivée soit pratiquement égale à l'admittance complexe du modèle de structure série, à la fréquence f0 .
Application numérique : rs = 1 ohm, L = 10 mH, fo = 16 kHz.



    1. Exercices (suite)


  1. Une source sinusoïdale E est placée en série avec une bobine d’inductance L, de résistance r et un condensateur de capacité C


L, r

A
E C Ru

B

E = [24 V ; 0] ; f = 50 Hz ; L = 2 H , r = 5  ; Ru = 1 k


  1. calculer la capacité C du condensateur pour obtenir la résonance en courant du circuit. Calculer I0

  2. Déterminer les paramètres U0 et Z0 du M.E.T. du circuit vu des points A et B

  3. On branche une résistance Ru entre les bornes A et B. Calculer l’intensité I dans Ru. Préciser le déphasage de i par rapport à e.



  1. Exprimer les éléments IN et RN du M.E.N. équivalent au dipôle AB en fonction de
    EG, , r et RE.

    Application numérique : , r = 2 k et RE = 1 k



IB r A


IB
EG RE Ru

B

1.2 Circuits non linéaires



  • Une tension rectangulaire symétrique d’amplitude E et de fréquence f peut se décomposer de la façon suivante :







  • Une tension triangulaire symétrique d’amplitude E et de fréquence f peut se décomposer de la façon suivante :






Problèmes


1- u est une tension rectangulaire symétrique d’amplitude E = 2 V et de fréquence f = 50 Hz



  1. Calculer l’amplitude du fondamental



  1. Calculer les amplitudes des harmoniques 2, 3, 4, 5, 6, 7.



  1. Donner la représentation temporelle et fréquentielle de cette de cette tension u



  1. Sachant que la valeur efficace de la tension u est donnée par la relation :


U² = ² + (UFond+ UH2² + UH3²+ UH4²+ UH5² +…
combien faut-il prendre en compte d’harmoniques pour obtenir la valeur efficace à 2 % près de la valeur exacte ?

2- u est une tension triangulaire symétrique d’amplitude E = 3 V et de fréquence f = 50 Hz
Répondre aux mêmes questions que celles du problème précédent
(la valeur efficace théorique d’un signal triangulaire vaut : )

2.1. Filtrage


Problème.
On considère le filtre passif R-C suivant :

R
K
vs

ve

C

Rc



  1. Rappeler l’expression de sa transmittance T à vide (K ouvert) en fonction de R, C, .
    Préciser sa pulsation de coupure c et la valeur maximale Tmax du module




  1. La sortie est chargée par une résistance Rc (K fermé). Quelles sont les expressions de T’, c’ et de la valeur maximale T’max en fonction de R, Rc, C, .




  1. Comparer c’ avec c et T’max avec Tmax . Représenter l’allure des courbes G() et G’().




  1. Application numérique : R = 10 k ; C = 100 nF.
    Pour quelle valeur de Rc la perte de gain G’max - Gmax atteint-elle –1 dB ?



Remarque : pour trouver un nombre connaissant son logarithme décimal, on inverse à partir de la puissance de 10. [touche inverse (shift) de la calculatrice pour la fonction log]
Exemple : log T = 0,5 donne T = 10 0,5

2.2. Amplification (rappels de 1ère )

A) Définition : un système constitué d'une source, d'une charge, d'une alimentation continue et d'un quadripôle est un amplificateur si la puissance moyenne absorbée par la charge est supérieure à la puissance moyenne fournie par la source.
alimentation

L'amplification en puissance continue

Pa

Pe PS

source (ve,ie) amplificateur (vs,is) charge

est alors supérieure à 1.
On définit l'amplification en tension et l'amplification en courant
L'amplificateur est linéaire si la grandeur de sortie a la même forme que la grandeur d'entrée, quand elle est sinusoïdale ; Av et Ai sont des nombres complexes..
B) Amplificateur intégré linéaire ou AIL (ou ALI ou amplificateur opérationnel ou amplificateur différentiel intégré). Il est constitué d'un monocristal de silicium dans lequel ont été intégrés plusieurs dizaines de transistors.

Il possède deux entrées E+ et E-, une sortie S et deux entrées pour deux sources continues d'alimentation +Vcc et -Vcc. La masse correspond au point milieu des 2 alimentations.
Symbole : 7 +Vcc brochage DIL :



8 7 6 5

E- 2 _
741 ou 081
O

vd ou

3 6 S

E+ + vs

4 -Vcc

1 2 3 4

Caractéristique de transfert :

C'est la courbe représentatives de la sortie vs en fonction de l'entrée ve (ici vd).

vs

saturation

Vsat
Régime linéaire

-70 µV

vd

70 µV
-Vsat

saturation
L'amplification différentielle en "boucle ouverte" correspond au coefficient directeur de la partie linéaire de la caractéristique de transfert ; elle possède, pour des AIL du type TL081, une valeur très élevée (la tension de sortie vaut deux cent mille fois la tension différentielle d'entrée) :



Deux utilisations très distinctes de l'AIL sont donc possibles :

a) l'AIL est utilisé en régime de saturation pour constituer, par exemple, un comparateur :

* si vd > 0 alors vs = + Vsat

* si vd < 0 alors vs = - Vsat

b) pour constituer un amplificateur linéaire l'AIL est donc pratiquement inutilisable sans une "rétroaction" ou contre-réaction de la sortie sur l'entrée E- qui va diminuer l'amplification mais augmenter la stabilité et la linéarité

c) si l'amplificateur ne fonctionne pas dans des conditions optimales, le signal de sortie peut ne pas être linéaire pour toute valeur de t ; on a alors une distorsion dès lors que le produit de ve par Av atteint la tension de saturation. Cette distorsion est perceptible à l'oreille du fait des harmoniques créés.
Modèle équivalent de l'AIL en régime linéaire :
i- E- S
i+ vd

v- vs = Ad.vd

E+

v+
M
Compte tenu de la grande valeur de Ad, la tension différentielle d'entrée vd peut être négligée.

D'autre part, les intensités d'entrée i- et i+ sont pratiquement nulles.

Le dipôle de sortie est équivalent à une simple source de tension.
R2

Exemple d'un

amplificateur inverseur.

R1 + VCC contre-réaction



A ie E-

_ S is

R1 = 1 k vd
R2 = 10 k source ve + vs Rc

E+

Rc = 10 k - VCC
M M

Exemple d'un amplificateur non inverseur


A E+

+ S
vd

_

E-

GBF ve vs

Rc

R2

R1

M

Dans les cas précédents, la masse est une borne de référence commune à l’entrée et à la sortie.


  1. Dans le cas où la tension d’entrée ne possède aucune borne commune avec la sortie, on parle d’entrée différentielle puisque la tension d’entrée est considérée comme une différence entre deux tensions référencées à la masse :


vAB = vAM - vBM


Exemple d'un

amplificateur différentiel :
R2


R1



B i1 E-

_ S

vAB i2 A R3 v- vd +

vB E+ + vS

vA R4

v+
M M

R1 = R3 = 1,8 kW ; R2 = R4 = 18 kW ; Vcc =  15 V

a) Amplificateur de différence parfait

Déterminer l'expression de vs en fonction de vA, vB, R1, R2, R3, R4

Réécrire vs si on considère que R1 = R3 et R2 = R4
b) Amplificateur de différence réel
Dans ce cas la relation donnant la tension de sortie peut s'écrire:

(1)
Ad est l'amplification différentielle,

Ac est l'amplification de mode commun,

V0 est la tension de décalage du montage,

est la tension différentielle d'entrée,

la tension de mode commun vs
1) Tension de décalage V0.
On relie les points A et B à la masse M pour

avoir vA = vB = 0; réécrire l’expression (1) ;

la tension de sortie est alors égale à V0
2) Amplification de mode commun Ac ve
On relie les points A et B à un point E (de

potentiel vE variable entre –5 V et 5V) pour

avoir vA = vB = vE,

a) Réécrire l’expression (1)

b) On relève la caractéristique de transfert

en tension du montage (vs en fonction de ve)

Déterminer la valeur de Ac et de V0 d’après

le graphique.
3) Amplification différentielle Ad ve : 1 V / div. ; vs : 10 mV / div.
Le point B est relié à la masse pour avoir vB = 0.
a) Réécrire l’expression (1)

Si l'amplificateur intégré est parfait et si l'on réalise de façon rigoureuse R2.R3 = R4.R1 déterminer la valeur théorique de Ad

Compte tenu du fait que Ac est très faible devant Ad, et que V0 est égal à quelques millivolts, dès que la tension vA dépasse quelques dizaines de millivolts, vs peut s'écrire : vs = Ad.vA
b) Dans ces conditions, tracer la caractéristique de transfert en tension du montage

vs = f(vA)
4) "taux de réjection de mode commun" du montage :
En déduire le taux de réjection de mode commun :
en dB

2.2. Problèmes sur l’amplification

A. On considère l’amplificateur à gain réglable représenté ci-dessous :
R2


R1



E-

_ S

R3 v- vd +

vE E+ + vS

R4

v+
M M

R1 = R2 = R4 = 10 kW ; R3 est un potentiomètre de 1 M


  • Entre quelles valeurs peut-on régler l’amplification du montage ?


B. montage redresseur à diode

La tension v1 est un signal alternatif sinusoïdal de fréquence f et d’amplitude E.

a- Pour quelles valeurs de v1 la diode D est-elle passante ?

Donner dans ce cas la relation qui existe entre v2 et v1 .

b- Pour quelles valeurs de v1 la diode D est-elle bloquée ?

Déterminer alors la valeur de v2 en la justifiant.

c- On donne v1 (t) = E sin (1000  t) avec E = 5,0 V.

Représenter l’allure des tensions v1 (t) et v2 (t) en concordance de temps .
D) Montages amplificateurs à transistor



  1. Polarisation d'un transistor


Transistor NPN 2N2222 ou 2N2219 vu de dessous :

IC
C

IB B C
VCE

VBE B

E
E : émetteur (N pour un transistor NPN) E

B : base (P pour un transistor NPN)

C : collecteur (N pour un transistor NPN)
Un transistor NPN conduit normalement si :

  1. la jonction base-émetteur est polarisée en sens direct (VBE > 0,6 V environ)

  2. la jonction collecteur-base est polarisée en sens inverse (VBC < 0 ce qui a pour effet que
    VCE = VCB + VBE doit être supérieur à VCEsat 1 V environ)


Le courant de base IB va de B vers E ;
le courant de collecteur IC va de C vers E et est très grand devant IB : le courant d'émetteur est donc égal à IC et va dans le sens de la flèche, symbole de l'émetteur.


  1. Les trois modes de fonctionnement d'un transistor




  1. l'état bloqué : la jonction base émetteur n'est pas polarisée en sens direct (VBE  0 ) ; le transistor n'est pas conducteur et tous les courants sont nuls :
    IC = IB = 0 : le dipôle C-E est équivalent à un interrupteur ouvert




  1. l'état saturé : le courant de base dépasse une valeur limite : IB > IBsat et la tension
    VCE = VCEsat 1 V est pratiquement négligeable : le dipôle C-E est équivalent à un interrupteur fermé




  1. le régime linéaire : le courant de collecteur est proportionnel au courant de base : IC = IB

lorsque IB n'est pas nul mais reste inférieur à IBsat . Le transistor fonctionne alors en amplificateur de courant


3) Amplificateur de puissance classe A
Rb = 100kW (réglé pour que VCE = Vcc/2) ; Ru = 100 W ; Vcc = 20 V


ic

M0
vCE


4) Amplificateur classe B (montage "push pull")

Montage de principe n°1



Montage n°2 avec diodes


Montage n°3 avec système bouclé à AIL



2.3. Fonctions mathématiques (dont quelques rappels de 1ère )

R2


  1. amplificateur inverseur.

R1 + VCC contre-réaction



A ie E-

_ S is

vd
GBF ve + vs Rc

E+

- VCC
M M



  1. amplificateur non inverseur.




A E+

+ S
vd

_

E-

GBF ve vs

Rc

R2

R1

M


i R'

  1. amplificateur sommateur inverseur





A i1 R E-

S is

R vd

B i2

v1 + vs Rc

E+

v2
M M


  1. amplificateur différentiel (ou amplificateur de différence)


R'
R



A i1 E-

_ S

i2 B R v- vd

v1 E+ + vs Rc

v2 R'

v+
M M



  1. Fonction dérivation.

R


C



A ie E-

_ S is

vd
GBF ve + vs Rc

E+

M M
R2

  1. Fonction intégration.


C
R1



A ie E-

_ S is

vd
GBF ve + vs Rc

E+

M M
7) Fonction multiplication.

v1

v2

Applications de la fonction multiplication
A. Wattmètre En régime sinusoïdal, la puissance active P absorbée par le dipôle D est la valeur moyenne du produit des valeurs instantanées de u et de i : P = < p > = < u.i >
Schéma fonctionnel :


Filtre

passe-bas
moyenneur
D u vu= ku

Sonde de tension

vp vs

i vi=ki

sonde de courant

On rappelle la formule mathématique : 2 sin a . sin b = cos (a - b) - cos (a + b)
Sachant que i = I sin (t) et que u = U sin (t+) avec = 2000 


  1. Déterminer les composantes spectrales de la tension vp (proportionnelle au produit u.i).
    On donne k = 0,1 et U0 = 10 V pour le multiplieur.

  2. Démontrer que la valeur moyenne de p est : P = U.I cos

  3. A quelle condition, quant à la fréquence de coupure, le filtre passe-bas délivre-t-il une tension vs proportionnelle à P ?


B. Doubleur de fréquence
R = 100 k ; C = 100 nF
R' R'



i' E-

_

i R vd

GBF v1 E+ + vs

C v2

v+


v1 = V1 sin t quadripôle déphaseur


  1. Calculer la transmittance T du quadripôle déphaseur

  2. En déduire que T = [1,] où  est réglable de 0 à - par l'intermédiaire de R

  3. Déterminer les composantes spectrales de vs = K v1.v2 en fonction de la fréquence f de v1

  4. A quelle condition un filtre passe-haut transformerait-il vs en tension purement sinusoïdale de fréquence 2f ?

2.4. Fonction comparaison à un et deux seuils


-

Problème 1 : comparateur à un seuil
tachymétrique

(les tensions de saturation sont + 15 V et - 15 V) v1

v1 est la tension triangulaire représentée au verso (courbe 1), V3 v4

V3 est une tension continue.

  1. Donner la valeur de la tension v4 dans le cas où v1 > V3.

  2. Donner la valeur de la tension v4 dans le cas où v1 < V3.

  3. Représenter sur le document ci-dessous la tension v4(t) en concordance de temps avec v1(t) dans le cas où V3 = 2,5 V (courbe 2) ; dans le cas où V3 = 5 V (courbe 3)

  4. On note le rapport cyclique

TH est la durée de l'état haut de la tension v4 au cours d'une période T

Préciser les valeurs de pour les valeurs de V3 suivantes : 0 V ; 2,5 V ; 5 V ; 7,5 V.

Comment évolue quand V3 augmente entre 0 et 7,5 V ? (trouver la relation qui lie  à V3)

v1(V)
v4(V)

T

t

0

10

v4(V)

Courbe 3

Courbe 2

Courbe 1

Problème 2 : comparateur à deux seuils
On considère le circuit représenté par le schéma suivant :

R2


R1 Vcc





+ S

vd +

_

Ug US

Eréf

- Vcc
M M

On suppose Vsat = Vcc = 15 V

  1. établir l'expression de vd en fonction de Eréf , Ug , US , R1 , R2.




  1. quelle condition doit satisfaire vd afin d'obtenir le basculement du comparateur ?




  1. Exprimer les deux seuils de basculement en fonction de Eréf , VSat , R1 , R2




  1. on donne ci-dessous la caractéristique de transfert en tension US = f(Ug). Déterminer la relation liant R1 et R2 en utilisant les données numériques.




  1. On donne R1 = 33 kW. Calculer R2 et Eréf


US
Ug
 5 V


Problème 3 : Comparateur à circuit spécialisé LM 311

RC

+Vcc
8 7
3 _ 

 _

2 +
ve -Vcc 4 R2 1 vs


R1
Vcc = 15 V ; R1 = 10 k ; R2 = 39 k ; RC = 1 k VCEsat = 0


Le circuit intégré du montage est un comparateur analogique LM311.
Lorsque la tension différentielle d'entrée  est positive, le transistor de l'étage de sortie est bloqué. Lorsque cette tension est négative, le transistor est saturé.



  1. Quelles sont les valeurs que peut prendre la tension de sortie vs ?




  1. Déterminer les deux valeurs V1 et V2 de la tension d'entrée qui provoquent le changement d'état de la tension de sortie.




  1. Représenter la caractéristique de transfert de ce comparateur


2.5. Temporisation


  1. Courbe de charge d'un condensateur

uc


37 %

63 %

V1

t/

La variation de uc en fonction du temps de charge t sous une tension E à travers une résistance R est une fonction exponentielle dont la tangente à l'origine coupe l'asymptote u = E au point d'abscisse
= R.C (constante de temps du circuit) [voir TP de 1ère]E






  • La constante de temps est le temps de charge nécessaire pour que le condensateur soit chargé à 63 %.
    Le condensateur mettra un temps égal à 3. pour se charger à 95 % (5. pour 99 %)

Une fois le condensateur chargé, on a : u = E et


  • Lorsque le condensateur n'est pas déchargé à l'instant t = 0, le temps mis pour que le condensateur se charge de la valeur V1 (à t = 0) à la valeur V2 (à l'instant t = t) est :




Cette relation est valable aussi bien pour la charge (uc croissant) que pour la décharge
(uc décroissant)

  1. Montage monostable à AIL :

(hors programme) -

R

+

E = - 5 V

u1 C u2

Vcc =  5 V E v+

uc

 basculement : impulsion négative

durée de l'état instable : t = R.C ln 2



  1. Montage monostable à portes logiques CMOS


a) à portes NON OU
VDD
uc

R

ic

 1  1
C R'

u1 u2 u3 u4
 basculement : impulsion au niveau 1

durée de l'état instable : t = R.C ln 2
b) à portes NON ET
VDD
uc

ic

 
C R

ue u1 u2 us

cf. Exercice 9.11

2.6 Association de fonctions

3.1. Exemples de convertisseurs N/A et A/N



  1. Convertisseur numérique-analogique à résistances pondérées


R3 = R

a3.E R' = 8R
R2 = 2R

a2.E

N

_ 

+

+

R1 = 4R i

a1.E

R0 = 8R


E a0.E us
Entrée : N = (a3 a2 a1 a0)2 sortie : us = - (23a3 + 22a2 + 21a1 + 20a0) E
En décimal : N = us = q.N avec q : quantum (valeur de us quand N = 1)



  1. Convertisseur numérique-analogique à réseau R-2R


1ère structure : R' = 2R

R R R

A B C D i

_ 

+

+

R' R' R' R' R'
us

a0E a1E a2E a3E

M

us = - (23a3 + 22a2 + 21a1 + 20a0)

2ème structure :

R R R R' = 2.R

A B C D

R' R' R' R'

R

E I3 I2 I1 I0

a3 a2 a1 a0

0 1 0 1 0 1 0 1 I E-




us
M
_ 

+

+

En fonction de la position des interrupteurs, on a : I = a3 I3 + a2 I2 + a1 I1 + a0 I0 (loi des nœuds) et on remarque que, quelle que soit la position des interrupteurs, la borne inférieure des résistances R' est au potentiel de M ( = 0 donc l'entrée E- de l'AIL est pratiquement à la masse).

On en déduit que l'on peut calculer, en fonction de E et des résistances, les tensions et les intensités dans le circuit équivalent suivant :

R R R R' = 2.R


E R' U2 R' U1 R' U0 R'
I3 I2 I1 I0



  1. à partir des diviseurs de tension successifs, exprimer U0 en fonction de U1 puis U1 en fonction de U2 puis U2 en fonction de E. En déduire l'expression de chaque tension en fonction de E.

  2. en déduire l'expression de chaque intensité de courant en fonction de E et de R.

  3. dans le montage complet, déterminer us en fonction de I, puis en fonction de E, R, et des bits a3 a2 a1 a0

  4. En déduire que l'on a :


us = - (23a3 + 22a2 + 21a1 + 20a0)
3) Convertisseur analogique-numérique à simple rampe

Départ (RAZ)


uC _

u'

+ & N

+

comparateur

générateur de rampe compteur



ue
horloge
horloge

t
ue


uC

u'
t1


entrée du compteur


Le nombre N d'impulsions est proportionnel à la tension analogique ue : N =

La résolution du CAN est la valeur de ue pour que N = 1

  1. Convertisseur analogique-numérique à double rampe : mesure de température (bac 91)



v5 (V) feuille-réponse n°1
5 v4 (V)

-10 0 10
-10
feuille-réponse n°2

v (V)

4

v = f(t) pour 1 = 25 °C

2
t
0

50000T 100000T 150000T


-2

-4

v (V)

4

v = f(t) pour 2 = 37 °C

2
t
0

50000T 100000T 150000T


-2

-4

3.2 chaîne de mesure d'un multimètre numérique
schéma de principe (entrée DC) :


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