Non prise en compte, la portance. Tout corps soumis à un écoulement est source de trainée voire de portance si la forme de celui-ci est adéquat. Aujourd'hui








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INTRODUCTION :

En 1852, la guerre fit une fois de plus avancer la science : Magnus découvrit que les boulets de canon de l'armée allemande était soumis à une force jusque là non prise en compte, la portance. Tout corps soumis à un écoulement est source de trainée voire de portance si la forme de celui-ci est adéquat. Aujourd'hui cette dernière est utilisée à de nombreuses fins. Malgré l'existence d'un modèle théorique, on constate en pratique que des effets liés à la nature physique du fluide en écoulement amoindrissent la portance.

Cependant, comment peut-on définir de manière invariante les deux forces et quelles similitudes entre elles a-t-on lors de leur étude selon le fluide ?
Le but de cet exposé est de tenter d'obtenir une justification de la modélisation empirique des forces de portance et de trainée de pression. Ensuite, nous traiterons de la similitude qui prend place dans les fluides que sont l'eau et l'air où toute portance se voit inférieure à sa valeur théorique à travers les 2 applications modernes : l'hydrofoil et l'aile.


Schématisation d'un profil et lexique technique le concernant



  1. Trainée et portance, 2 expressions similaires :




      1. Définition des deux forces :

        • Trainée de pression

        • Portance




      2. Explication du caractère portant optimal du corps profilé – Formules empiriques :

        • Trainée de pression

        • Portance




      3. Démonstrations physiques :

        • Formule de la trainée

        • Formule de la portance

        • Application du principe fondamental de la dynamique - Éléments de calcul des coefficients CL et CD

        • Limites de ces modèles



  1. Application à deux fluides :




      1. Dans l'eau, le foil :

        • Cavitation, ventilation, deux sources de diminution de la portance liées à la nature physique de l'eau

        • L'eau, un fluide liquide à la masse volumique importante par rapport à l'air




      1. Dans l'air : l'aile d'avion subsonique :

        • Les tourbillons de Prandtl

        • L'air, un fluide léger et turbulent



  1. Trainée et portance, 2 expressions similaires :




      1. Définition des deux forces :

Il existe de 2 types de pression dans un fluide :

  • la pression statique qui désigne la pression ambiante au sein de ce fluide,

  • la pression dynamique : une pression différentielle, d'expression .

La pression dynamique est une quantité propre à l'écoulement, conséquence de la vitesse de déplacement du fluide. Et la somme des pressions statique et dynamique définit alors la pression totale qui, d'après la loi de Bernoulli est constante (en incluant le terme de densité volumique d'énergie potentielle de gravité ou en se plaçant à une altitude constante). Cette loi permet d'expliquer l'existence des forces de trainée et de portance. Du fait donc de ces deux pressions, du théorème de Bernoulli et de la troisième loi de Newton, tout écoulement exerce sur un éventuel solide en présence une force : la résultante aéro/hydro-dynamique (résultante des actions de l'air/eau sur le solide). C'est de cette résultante que naissent la portance et la trainée. En effet, dans le plan muni d'un repère orthonormal xOy, où Ox est l'axe horizontal portant la vitesse, on décompose cette force en deux vecteurs :

  • l'un porté par l'axe Ox qui correspond à la force de trainée de pression,

  • l'autre par l'axe Oy qui correspond à la force de portance.

Afin d'obtenir des résultats expérimentaux pour éprouver les modèles physiques développés ci-après, on utilisera les logiciels mécaflux, héliciel et xfoils qui permettent de simuler des conditions expérimentales difficilement réalisables en l'absence de soufflerie ou de grands moyens et de modéliser les conditions pointues telles que celles du fluide parfait ou de l'écoulement laminaire.

        • Trainée de pression :

Tout d'abord, cette force devant être distinguée d'une trainée due à des frottements trouve son explication dans la loi de Bernoulli (où la pression totale doit demeurer constante). En effet, la vitesse et la pression dynamique diminuent à l'approche d'un obstacle et la pression statique en face de l'obstacle augmente donc. On ressent alors une surpression face à l'obstacle et une dépression derrière celui-ci.




Cette différence de pression entre les deux faces de l'objet entraine l'apparition de la trainée : colinéaire à la vitesse du fluide selon le même sens, entrainant l'objet avec le fluide.

En somme, la trainée de pression résulte de l'accroissement de la pression dynamique à l'avant de l'obstacle (et de la dépression se créant derrière).
De plus, la loi des actions réciproques (troisième loi de Newton) offre une explication scientifique à l'existence de cette force. En effet, la surface exerçant une force sur le fluide, celui-ci en exerce une opposée de la même intensité sur la plaque.

Finalement, on peut aussi remarquer que le terme de trainée peut être employé pour d'autres forces de résistance à l'avancement, mais différentes de la trainée de pression qui sont au nombre de trois :

  • La trainée de profil englobe l'action de la couche limite, des écoulements turbulents et tourbillonnaires sur l'extrados ainsi que les frottements visqueux sur la surface du plan portant ;

  • La trainée induite, résultat de l'écoulement d'un fluide réel sur un profil d'envergure non infini due à l’effet de « downwash » (développé dans la partie 2.b)) ;

  • La trainée de forme liée aux paramètres physiques tels que la rugosité du plan porteur, sa forme, etc.

Cependant, il n'est pas question de faire une étude linéaire et différenciée des différents types de portance mais plutôt de voir comment elles interviennent dans l'air et dans l'eau et à quelle hauteur.

        • Portance :

Toujours du fait du théorème de Bernoulli, plus la pression dynamique augmente en un point du fluide (à cause de l'augmentation de la vitesse), plus la pression statique se doit de diminuer, au voisinage d'un obstacle par exemple. La particule qui se déplace sur l'extérieur a plus de chemin à parcourir. En conséquence, elle se voit accélérée et atteindre une vitesse supérieure à celle de l'autre particule. En effet, du fait de sa viscosité, le fluide en mouvement qui rencontre un obstacle à la surface bombée suit la surface de celui, c'est l'effet Coanda. Restant ainsi « collée » au profil tout en accélérant, une dépression locale se crée et l'obstacle à l'origine de cette variation de pression se voit alors aspiré par cette dépression. L'explication de cette aspiration trouve là aussi son explication dans la troisième loi de Newton : en réaction à la quantité de mouvement de la masse d'air déviée dans un sens, la surface portante est déviée dans l'autre.
La portance est alors causée par la circulation du fluide autour de l'obstacle où la circulation est définie par la forme du profil de l'obstacle. Celle-ci est alors perpendiculaire à la vitesse du fluide.

On peut tenter d'expliquer la portance avec le théorème de Bernoulli en se plaçant dans le cadre d'un fluide parfait, irrationnel, homogène, incompressible et en régime stationnaire afin que le théorème s'applique en tout point du fluide :

c
omme alors l'augmentation de la vitesse due à l'accélération des particules sur la partie bombée entraine une diminution de la pression locale d'où l'aspiration conséquente et la portance se manifeste. Ayant une vitesse supérieure sur l'extrados, la pression sur l'extrados y est moindre que sur l'intrados où la vitesse ne varie pas, impliquant donc une attraction vers la zone de basse pression. En effet, on aura pour une altitude donnéeet comme on obtient alors.

(1) : zone de vitesse maximale
(2): portance en son maximal

C
Champ de vitesse tel que v=vx= U
hamp de vitesse autour d'un cylindre et accélération de la vitesse localement :


A
l'état initial, sans cylindre et pour un fluide non visqueux, le vecteur vitesse est défini par vx= U et vy = 0 (les vecteurs horizontaux bleus ci-dessus). L’introduction du cylindre dans l'écoulement modifie ensuite l'écoulement car les particules de fluide se voient forcées à contourner sa paroi.
On obtient alors pour le vecteur vitesse les composantes suivantes en résolvant l'équation d 'Euler linéarisée et en négligeant l'effet de la pesanteur :
et pour tout point de l'espace de coordonnées (r, θ).

A


Champ théorique des lignes de champ de l'écoulement de fluide parfait

la surface du cylindre où r = R la vitesse admet donc pour composantes : et
Le produit scalaire étant nul pour tout point de coordonnées (R,θ) on prouve alors que sur le cylindre, la vitesse est toujours perpendiculaire à tout rayon. La vitesse est donc tangente au cylindre et cet écoulement contourne bien l’obstacle cylindrique.


De plus, d'où .
Ainsi finalement, on trouve bien un maximum de vitesse à la surface du cylindre aux points θ=π/2 et θ=-π/2.
Et dans le cas du demi cylindre ci-dessus, on a bien la distribution des vitesses suivante et la portance maximale là où la vitesse est la plus importante (en θ=π/2).


Simulation mécaflux de l'écoulement autour d'une sphère dans un écoulement à faible Re



En voulant simuler l’écoulement étudié plus haut, on observe ici un écart au modèle idéal de fluide parfait. En effet, malgré de très faibles vitesses de l'écoulement et dimensions de la sphère, dans l'air (possédant une masse volumique très faible) et avec du verre (matériau le moins rugueux proposé par le logiciel mécaflux), tout cela dans le but de minimiser le nombre de Reynolds et pour obtenir un écoulement laminaire, l'écoulement demeure turbulent et décroche de la sphère (cadre « RESULTAT » et encadré rose).
Le modèle théorique est ainsi mis à mal. Néanmoins, on remarque que l'écoulement demeure laminaire sur la partie frontale de la sphère sous faible nombre de Reynolds, assurant un minimum de portance dans le cas du demi-cylindre établi précédemment. Par conséquent, au delà de la divergence des résultats entre les modèles théorique et pratique, on constate finalement que la portance s'établie malgré tout même si son effet sera moindre.

      1. Explication du caractère portant optimal du corps profilé – Formules empiriques :

On s'intéresse maintenant à la forme optimale du profil d'une surface portante, le profil d'une voilure représentant une coupe verticale de celle-ci .
Un profil créant un minimum de traînées et offrant un maximum de portance semble donc être le plus apte à être utilisé comme plan profilé, soit possédant le meilleur « lift to drag ratio » (terme utilisé dans l'avitation.
C'est pourquoi la forme la plus courante retrouvée dans le domaine des plans profilés est celle du plan convexe (3)


Profil (3)





        • Trainée de pression :

Formule de la trainée :
La formule de la trainée est empirique et définie par où q est la pression dynamique ce qui donne finalement : avec :


- V la vitesse différentielle entre le fluide et la surface en m/s ,
- ρ la masse volumique en kg/m3,
- S la surface en m2 projetée dans un plan perpendiculaire au champ de vitesse,
- CD est le coefficient de portance (nombre sans dimension).

Ce coefficient CD est défini expérimentalement en soufflerie. Et l'on remarque que cette expression possède bien la dimension d'une force (longueur/secondes2). De plus, le coefficient de trainée correspond au rapport de la trainée de l'objet étudié à celui d'un corps fictif de même surface qui aurait un coefficient de trainée de 1.

Réduction de la trainée par l'utilisation de profil adapté :

L
a trainée est la partie nuisible à l'avancement de la résultante aérodynamique : c’est la résistance du fluide devant l’objet en mouvement. Celle-ci variant en fonction de la forme de l’objet, on cherche donc à l'amoindrir grâce au profil (3).
Plus la quantité de fluide à déplacer vers l’avant est grande, plus il sera difficile de réaliser ce déplacement car, à la fois beaucoup de molécules doivent être déplacées, et peu de place libre existe pour les accueillir rapidement. Plus précisément, c’est la différence de surface par rapport à la position précédente qui importe, ici, un cône permet d’obtenir la même surface mais les efforts à faire pour avancer sont plus faibles.
Une fois le fluide passé de l’autre côté de l’objet, il intègre l’espace libre laissé à l’ancienne position de l’objet qui a avancé. Ce mouvement génère une dépression qui tend à aspirer l’objet vers l’arrière et à l’empêcher d’avancer, c'est la trainée de pression. De fait, plus la surface « arrière » est grande, plus cet espace à combler sera grand et induira une dépression importante. Là encore, c’est plus précisément la différence par rapport à la position précédente qui compte et un « arrière » d’objet profilé permettra de réduire cette traînée en l’absorbant graduellement le fluide déplacé au lieu de le faire à un seul endroit.




En conséquence, le profil (3) présentant une surface frontale minime, notamment inférieure à la surface de l'obstacle de la figure page 4 (la plaque grise), la surpression en amont de celui sera amoindrie par rapport à l'obstacle de cette figure, rendant alors la trainée moindre. Et la forme du profil, suite au bord d'attaque, est favorable à l'évacuation du fluide diminuant là aussi la dépression engendrée par son déplacement.

I
l est possible de valider cette théorie à l'aide de mécaflux. On peut en effet y constater que le modèle de plaque qui modélise l'avancement du pavé orange dans le fluide violet précédemment développe une trainée de 10 newtons pour seulement 0,1 newton de portance tandis que le plan plus profilé se rapportant au quadrilatère orange plus profilé ci-dessus développe 20 fois plus de portance pour environ 60 fois moins de trainée !






        • Portance :

Formule de la portance :

La formule de la force de portance est empirique et définie par où q est la pression dynamique ce qui donne finalement :avec :


- V la vitesse différentielle entre le fluide et la surface portante en m/s,
- ρ la masse volumique en kg/m3,
- S la surface en m2 projetée dans un plan perpendiculaire au champ de vitesse,
- CL est le coefficient de portance (nombre sans dimension).

Ce coefficient CL est défini expérimentalement en soufflerie. On remarque que cette expression possède bien la dimension d'une force (longueur/secondes2). Dans le cas de la portance, le coefficient quantifie la capacité portante d'une surface.

Optimisation du caractère porteur d'une surface profilée :

La portance étant causée par une accélération du fluide sur une face du profil (effet Venturi) on cherche donc à créer cette accélération sur la face voulue, en l’occurrence celle bombée du profil (3) à l'avant afin d'obtenir la meilleure traction. Ainsi, la circulation d'un fluide entraine une accélération (et donc une diminution de la pression dynamique) là où le celui-ci doit parcourir la plus grande distance, c'est-à-dire dans ce cas sur la partie supérieure, sur l'extrados. Tandis que l'accélération sur l'intrados (ici partie inférieure) est moindre, voire négative selon l'incidence (dans le cas de la figure ci-dessous, le fluide est ralenti), et ainsi la portance apparaît (symbolisée sur le schéma (4) par les
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