II. 1 Schéma fonctionnel : Notions fondamentales








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II. Terminologie des Systèmes de commande :

II.1 Schéma fonctionnel : Notions fondamentales

Un schéma fonctionnel consiste en une représentation graphique abrégée de rotation de cause à effet entre le signal d’entrée et le signal de sortie d’un système physique.

Elément

Signal d’entrée

Signal de sortie

Le schéma fonctionnel le plus simple est constitué d’un seul élément avec un signal d’entrée et un signal de sortie.



x



On inscrit à l’intérieur du rectangle représentant l’élément, la description ou le nom de l’organe ainsi que le symbole de l’opération mathématique à effectuer sur le signal d’entrée pour obtenir le signal de sortie.

Exemple :

+

+

+

x+y+z

z

x

y

+

+

y

x

x+y

+

-

y

x-y

x

a

b

c

On représente les opérations d’addition et de soustraction d’une manière particulière. L’élément est figuré par un petit cercle, appelé comparateur ou aboutissent des flèches portant le signe + ou – selon les cas. Le signal de sortie est constitué par la somme algébrique des signaux d’entrée. On peut faire aboutir au même comparateur un nombre quelconque de signaux d’entrées.

x

x

x

x

On appelle « point de dérivation » le point ou l’on prélève un signal à destination de plusieurs organes d’un système de commande.

x

x

x

II.2 Terminologie d’un schéma fonctionnel d’un système de commande :

Le schéma fonctionnel ci-dessous illustre la structure de base d’un système de commande élémentaire en boucle fermée (à retour).

Schéma fonctionnel général d’un Système asservi

Elément de commande

Appareil

Elément de retour

Signal d’entrée de référence « r »

Signal de sortie réglé

L’erreur

e = r±b

+

Signal de commande

b

-

Les termes dont on se sert dans les schémas fonctionnels en boucle fermées peuvent se ramener à :

  • Appareil ou processus qui est le système, le sous système ou l’opération placée sous asservissement.

  • Signal de sortie réglé c’est la grandeur produite par l’appareil sous asservissement au moyen du dispositif de contrôle.

  • La chaine d’action : C’est l’ensemble des éléments placés entre le point de sommation et la sortie réglée.

  • Organe de commande : c’est les éléments de la chaine d’action qui engendre le signal de commande fourni à l’appareil. Les organes de commande sont en général des régulateurs, des correcteurs, égalisateurs et/ou des amplificateurs.

  • Signal de commande : c’est le signal de sortie délivré par les organes de commande à l’appareil.

  • Chaine de retour : c’est l’ensemble des éléments de la chaine de retour établissant une relation entre la sortie réglée et le point de sommation.

  • Signal de référence : ou valeur de consigne, c’est un signal externe fourni au système asservi, en général sur le sommateur, pour obtenir une réponse déterminée de l’appareil sous contrôle. Sa valeur correspond au fonctionnement optimal ou désiré de l’appareil.

  • Signale de retour primaire : C’est un signal fonction de la sortie réglée fournie par la chaine retour, que l’on somme algébriquement avec la référence pour obtenir un signal d’erreur.

  • Signal d’erreur : C’est la somme algébrique du signal de référence et du signal de retour. Le système évolue tant que le signal d’erreur ne revient pas à zéro.


II.3 Modélisation des systèmes :


En automatique on procède, principalement, à une modélisation par fonction de transfert c’est-à-dire une représentation algébrique du comportement de la sortie d’un système excité par une entrée. Cette modélisation passe souvent par un premier temps qui consiste à établir les équations différentielles régissant les différentes composantes.

La Transformée de Laplace est l’outil mathématique qui permettra une transformation de l’espace temps (différentiel) à l’espace de Laplace (algébrique). Des outils graphiques (diagrammes de Bode , Black, Nyquist) permettent également de caractériser le comportement d’un système sans avoir à résoudre les équations différentielles qui le régissent et sont basés sur l’exploitation des fonctions de transfert.

II.4 Outils mathématiques pour l'automatique


En écrivant les équations régissant les dispositifs physiques, ceux-ci ont toujours les propriétés de causalité et d’invariance (et nous n’étudions ici que les systèmes LTI (Linéaire et Temps Invariant)), donc à partir du modèle différentiel que l’on peut écrire comme ci-dessous, on aura toujours c’est-à-dire que le degré d'évolution de l'entrée (n) est toujours inférieur au degré d'évolution de la sortie du système (m).



Pour résoudre plus aisément, on utilise un outil mathématique : la transformée de Laplace. Sinon une résolution analytique, pour certains types d’équations, est possible.

III. Les Equations différentielles :

Les équations différentielles constituent un type d’équations qui trouvent de nombreuses applications dans la modélisation des systèmes physiques. Elles jouent un rôle fondamental dans la théorie des systèmes asservis. C’est pourquoi, il est important de savoir établir les équations différentielles, les résoudre et analyser leurs solutions.

III.1 Définition

On appelle équation différentielle une égalité algébrique ou transcendante qui relie une fonction à ses dérivées. L'équation est dite Equation Différentielle Ordinaire (EDO) si la fonction ne dépend que d’une seule variable indépendante et que les dérivées sont exprimées par rapport à cette variable. L'ordre d'une EDO est celui de la dérivée de l'ordre le plus élevé apparaissant dans l'équation.

L’exemple suivant représente une équation différentielle ou y(t) est la fonction dépendante de la variable t; x(t) est une fonction qui est, en général, supposée connue.


III.2 Equations différentielles linéaires et non linéaires


Les équations différentielles sont partagées en deux classes principales : les équations différentielles linéaires et les équations différentielles non linéaires.

  • Une équation différentielle est linéaire si elle est constituée d’une somme de termes linéaires comme dans les deux exemples suivants :

Exemple 1 :

Exemple 2 :

  • Une équation différentielle non linéaire contient des termes non linéaires en y(t). Les exemples suivants représentent des équations différentielles non linéaires.

Exemple 1 :

Exemple 2 :

Exemple 3 :

Notons que dans ce cours, on s’intéressera à particulièrement aux équations différentielles linéaires. Par ailleurs, il faut noter également, que l’on dispose de méthodes pour résoudre analytiquement les équations différentielles linéaires. Par contre, on ne dispose pas d’une théorie générale permettant de résoudre analytiquement les équations différentielles non linéaires.

III.3 Résolution des équations différentielles ordinaires à coefficients constants

Considérons la classe des équations différentielles linéaires à coefficients constants :



Ou t est la variable indépendante, les coefficients ai et bi sont des constantes, y = y(t) est la solution inconnue de l’équation que nous cherchons à déterminer. Pour pouvoir préciser le problème complètement, de manière à obtenir une solution unique y(t), on doit préciser l’intervalle de la variable indépendante t ou on désire déterminer la solution et l’ensemble des n conditions initiales portant sur y(t) et ses (n-1) dérivées.

L’ensemble des conditions initiales est :

On appelle un tel problème un problème aux conditions initiales.

III.3.1 Forme de la solution d’une équation différentielle

La solution totale d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants peut s’exprimer comme la somme de deux parties. La première partie correspond à la solution sans second membre et la seconde partie correspond à la solution particulière avec second membre.

  1. Operateur différentiel D, équation caractéristique :

Considérant l’équation différentielle à coefficients constants d’ordre m :



Il est commode de définir l’operateur différentiel , et plus généralement l’operateur différentiel d’ordre « m » : .

L’équation différentielle s’écrit maintenant :





Le polynôme en D, s’écrit :



Il est appelé Polynôme caractéristique.

L’équation est appelé équation caractéristique.

La recherche des racines de l’équation caractéristique nous permet d’identifier la famille génératrice des solutions de l’équation différentielle. Que l’équation admet des racines distinctes ou multiples, la famille génératrice de solution est définie comme suit :

  • Racine distinctes :

En général, si l’équation caractéristique à toute ces racines distinctes D1, D2, …, Dn alors une famille génératrice de solution de l’équation homogène : est constituée par les fonctions ; , …,

  • Racines multiples :

Lorsque l’équation caractéristique a des racines multiples, alors à chaque racine Di de multiplicité ni correspond ni élément de la famille génératrice , , .

  1. La réponse libre 

La solution sans second membre est appelée réponse libre de l’équation différentielle. Elle est obtenue pour x(t) =0. L’équation homogène correspondante devient:



La solution y(t) d’une telle équation ne dépend que des n conditions initiales. Elle s’appelle aussi la réponse propre du système.

  1. La réponse forcée

On appelle réponse forcée yf(t) d’une équation différentielle, la solution que l’on obtient quand toutes les conditions initiales  sont nulles. La réponse forcée ne dépend que de la fonction x(t). On peut écrire la réponse forcée d’une équation différentielle linéaire ordinaire à coefficients constants sous la forme d’une intégrale de convolution



On appelle réponse totale d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants la somme de la réponse libre et de la réponse forcée.

  1. Les réponses permanentes et transitoires :

La solution générale ou réponse totale peut aussi s’exprimer comme la somme de deux autres termes : la réponse en régime permanent et réponse en régime transitoire.

On appelle réponse de régime permanent la partie de la réponse totale qui ne tend pas vers zéro quand le temps tend l’infini.

On appelle réponse de régime transitoire la partie de la réponse totale qui tend vers zéro quand le temps tend l’infini.







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